光学信息技术 (4).docx

1、第一章 习题解答1.1不变线性系统的输入为(x) = coirb(x)系统的传递函数假设b取(1) b = 0.5 (2) 6 = 1.5,求系统的输出g(X)。并画出输出函数及其频谱的图形。答： g(x)=Fb(x)=l图形从略，I17(2) g(x)=F 5(/(£ +1) =l+-c(2nx)图形从略。-DDJ D1. 2假设限带函数/(x,y)的傅里叶变换在长度L为宽度W的矩形之外恒为零,(1)如果同 ：,例，试证明1.(入.(x；i-smc sine | /d b)1.(入.(x；i-smc sine | /d b)*/(%)，) = "% y)证明:.F f(x

2、,y)=F /U，y)"彳令F /(“，)wa0； "Jsinesine/(%)F -(F f(xfy)rect(afx 灰)上乙 m(2) 如果问、 网5,还能得出以上结论吗?答：不能。因为这时F/Gj，)wa(，卷F/(x,)，)a4v)。1.3对个空间不变线性系统，脉冲响应为y) = 7sinc(7xW(y)试用频域方法对下面每一个输入力(x,y),求其输出&(x,y)。(必要时，可取合理近似)znmx, yI 2Bx2By00/J J UoC，77) sin c. 28xJ)xsin dm _ 2§ x-COU'o(x，)')=，U

3、o4,77)sind28x(x4)xsind23y()，一)必勿 > 利用5函数性质（1.8）式，上式可写为U'o(x, y)=op oOEEn="a> m=F这一点源的方形阵列构成的等效物场可以和真实物体u0产生完全一样的像此题利用系统的传递函数，从频率域分析物象关系，先找出等效物的频谱，再通过 傅立叶逆变换，求出等效物场的空间分布，这种频域分析方法是傅立叶光学问题的基本 分析方法。(1)工(x, y) = cos 4女答:& U，y)=F F 工(x,y)F (x,y)=F " F cos4n xF 7 s 山(7x)8 (y)=F，F co

4、s4jt _rrec« -y-1 =F F cos4n x=cos4ti答:答:(2) f2(x,y)=cos(4兀x)rectreel外(内"F t F f(x,y)F (x j)"，F cos(4it x)rect=F -l«(F cos4克 x*75-75sinc(75fx )sinc(75fy )recr-sin=<?av(4jr x)rect<75；<75；(3)(3)4 (x,y ”l+cos(8兀 x)rectg3(x，y"F tf1+cos(8兀访" 尸协血双丁) .=F -) 答：=F二Ig3(x，

5、y"F tf1+cos(8兀访" 尸协血双丁) .=F -) 答：=F二I|(F l+cos(8n x)*75s 而47犷15亿加00(x) +(/,吟(A +4)卜5山47次 欣)卜桔 75sinc=F 175s加47比)6亿geet(4) f4(x,y)=conib( x)*(rect(2x)rect(2y)答：g2(凡 y”F ”F combe x) *(rect(2x)rect(2 y )F -(lsin(7xf)(y)=F -呜(5(”0.6375(片1 J)0.637b(/；+l J)0.21 加一3,/).%佶=F -呜(5(”0.6375(片1 J)0.63

6、7b(/；+l J)0.21 加一3,/).%佶=F t 0.256 (",卜0.1596 gf, >0.1595力)-0.0535 (人-3仆0. 0538 亿+3 Jv)=0.25+0.31 Scos(2jrx)-0.1 06cos(6jtx) 1.4给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波*A(x)对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。(1) /(/)= rect(2) H(/)=rect：f4)-rectT答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形G(f) = F g(x) =« F -comb() *F « re

7、ct(-) «A(x)- JJJU J-I=comb(3f) * 50sin c(50/)sin c2f方括号内函数频谱图形为：图 1.4 (1)sine?/图形为:0.6850.170.04一*f图 1.4 (2)因为sine?/的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差5()倍。两者相乘时忽略中心 五个分量以外的其他分量，因为此时sine?/的最大值小于0.04%。故图解G(/)频谱结 果为：G(5050*0.685500.1712 1123 333A图 1.4 (3)传递函数(1)形为:fi图 1.4 (4)因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表

8、达式为："(7) + 0.68*(/ + g) + 5(/ g) *50sinc(50/) +0.171 / + $ +其反变换，即输出函数为：x2 "Ix1 +1.37 cos 2乃二 十 0.342 cos2乃x rect()_3350该函数为限制在-25,25区间内，平均值为1,周期为3,振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5,振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。传递函数(2)形为：图 1.4 (5)此时，输出函数仅剩下在-2,-1及1,2两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数(2)在的零值也是不能忽略的，由于sin /(g) =

9、 0.043 sin ?(1) = 0.027可以解得，通过传递函数(2)得到的输出函数为：-45 1x0.043 cos 2tv-x + 0.027 cos 2兀一 x rect()L33 J50该函数依然限制在-25,25区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043,周期为0.75, 的一个余弦函数与振幅为0.027,周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。1.5 假设对二维函数h(x, y) = «sinc2 (ax)抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于l/2a,在y方向抽样间隔无限制。1.6 假设只能用ax表示的有限区域上的脉

10、冲点阵对函数进行抽样，即g，y)=g(x，yg，y)=g(x，ycomrect试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复g(x,y)。答：因为表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复g (x,y)也有贡献，不可省略。1.7 假设二维不变线性系统的输入是“线脉冲” /(x,)，) = 3(x),系统对线脉冲的输出响应称为线响应L(x)。如果系统的传递函数为“(/J,证明：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿八轴的截面分布（，,0）。证明：F4r） = F3（y）*Mky） = 4A）”（，/.）二 ”（九。）如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间|人品8、，

11、,仁岛之外恒 为零，系统输入为非限带函数g0G，y）,输出为g（x,），）。证明，存在一个由脉冲的方 形阵列构成的抽样函数go（x,y）,它作为等效输入，可产生相同的输出g（x,y）,并请 确定 go（x,y）。答：为了便于从频率域分析，分别设:物的空间频谱像的空间频谱等效物体的空间频谱等效物体的像的空间频谱4"/）=尸go。/）； 4（4/）=尸&（尤刈；A'o（，,） =尸g'0（x,y）；A'o（，,fy） =尸g'o（x,y）.由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在£| <<纹之外恒为零，故可将其记

12、为：H（fxJy）.rectrect 亲、利用系统的传递函数，表示物像之间在频域,中的关系为4（£/）田"/）%。卜4 余=4（£力）在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱, 方法是把（4 WC（亲）安置在/平面上成矩形格点分布的每一 个（2纥,2纥点周围，选择矩形格点在£.、人方向上的间隔分别为2B,和2纥,，以免 频谱混叠，于是A。6./） = A"/）小未卜«需J* E £,（/；一2/?/一24）=4（£/）"ec/工-）wc/-1*!JComb & “（

13、2By） 4BxBy 2Bj 2By）（1）对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许/T0（/，A）的中央一个周期成份（ =7 = 0）通过，所以成像的谱并不发生变化, 4。（几4.）"（，/）忆奈卜（余）= A（A»4）图1.8用一维形式表示出系统在频域分别对A,和A'o的作用，即为简单计，系统传递函数在图中表示为，口 o(2B、JAo(fx) ifxH(fx) A1-BxBxr fxAi(fx)=Ao(fx)H(fx) A_L1»fx-BxBx图题AMx)= 4(/x)wo 隰) fx-2Bxn)/ Y 1 Y fxBxBx 2Bx "H(fx)A1KfxA* i(fx)=A o(fx)H(fx) A=Bx BxJ'1.8既然，成像的频谱相同，从空间域来看，所成的像场分布也是相同的，即因此，只要求出4。（人，人）的逆傅立叶变换式，就可得到所需的等效物场，即。0（乂），）=尸40（力/）带入（1）式，并利用卷积定理得到U o(x, y) = F A)(/x，fY)"clU o(x, y) = F A)(/x，fY)"clxF=F A)(/x余comb(2 Bx x)comb(2 BY y)(2)上式也可以从抽样定理来解释。上式也可以从抽样定理来解释。4(./%/)忆 areelfy2By是