第4章刚体运动学基础4学时

1、第4章 刚体运动学基础第4章 刚体运动学基础质点运动的描述方法质点运动的描述方法 自然坐标法、直角坐标法、矢径法、其它方法自然坐标法、直角坐标法、矢径法、其它方法速度和加速度公式速度和加速度公式 刚体的简单运动刚体的简单运动 刚体的平行移动刚体的平行移动各点的轨迹、速度和加速度各点的轨迹、速度和加速度刚体的定轴转动刚体的定轴转动速度和加速度速度和加速度2ppt/81 本章首先介绍质点运动的描述方法，包括本章首先介绍质点运动的描述方法，包括质点的运动轨迹、空间位置、位移、速度和加质点的运动轨迹、空间位置、位移、速度和加速度的描述方法；然后介绍刚体的两种简单运速度的描述方法；然后介绍刚体的两种简单

2、运动：平行移动和定轴转动刚体上各点的运动轨动：平行移动和定轴转动刚体上各点的运动轨迹，速度和加速度的分布规律、表示方法和计迹，速度和加速度的分布规律、表示方法和计算公式。算公式。3ppt/81质点运动的描述方法质点运动的描述方法运动和变化是物质世界的基本属性。宇宙的万事万物都在不停地运动和变化。在描述物体运动的时候，必须选定参照系。所谓参照系参照系是为了研究某物体的位置变化而选定的另一物体。所谓“坐地日行八万里”，是说我们即使坐在地上一动不动，一天下来我们跟随地球在太空居然移动了八万里路程。这里所说的一动不动，是以地面上某个固定不动的物体为参照系；如果以太空中某颗恒星为参照系，我们无时无刻不在

3、跟随地球而运动。4ppt/81质点运动的描述方法质点运动的描述方法在工程上，为了研究物体的运动，通常选择地面上某个固定不动的物体为参照系，并称这样的参照系为固定参照系固定参照系。数学上，可以采用不同的描述方法，即采用不同的坐标系来描述物体的空间位置和运动。参照系与坐标系的区别：参照系参照系是物理概念，坐标坐标系系是数学概念。通常对于同一个参照系，可以选用不同的坐标系来描述物体的空间位置和运动，例如直角坐标、极坐标、自然坐标等等。5ppt/81质点运动的描述方法质点运动的描述方法自然法自然法：用s=s(t)描述质点的运动 这里：t是指某时刻； s是质点由初始时刻t0到t时刻移动的路程， s称为质

4、点运动的弧长坐标弧长坐标； t-t0是质点移动路程s所需的时间;自然坐标法是一种描述路程路程的方法。路程路程等于质点始末两个位置运动轨迹轨迹的长度。从运动轨迹的形状来看，质点的运动只有两种情况：直线运动直线运动和曲线运动曲线运动。6ppt/81质点运动的描述方法质点运动的描述方法在已知质点的运动轨迹时，采用自然坐标法计算速度和加速度比较方便，质点做圆周运动圆周运动是最常见的曲线运动。直角坐标法：直角坐标法：用x=x(t), y=y(t), z=z(t) 描述质点的运动， 这里x，y，z是质点在t时刻所占据的空间位置坐标。空间位置坐标。直角坐标法是一种描述位移位移（位置的改变）的方法。运用直角坐

5、标法可以很方便地计算质点沿三个坐标轴方向的分速度分速度和分加速度分加速度。7ppt/81质点运动的描述方法质点运动的描述方法矢径法矢径法：用 r=x(t)i+y(t)j+z(t)k 描述质点的运动，这里x，y，z仍然是质点在t时刻所占据的空间位置坐标，r是从坐标原点引出并指向质点的矢径矢径，通过矢径r的端点跟踪质点的运动。矢径r的端点描出的曲线，称为矢端曲线矢端曲线。显然，矢端曲线就是质点运动的轨迹曲线。矢径法是一种描述位移位移的方法，它与直角坐标法的区别是：运用矢量运算矢量运算的方法，在公式推导时，有时更为方便。8ppt/81质点运动的描述方法质点运动的描述方法其它方法其它方法 用极坐标极坐

6、标、柱坐标柱坐标、球坐标球坐标等等描述质点运动的方法。关于位移的几点说明：位移关于位移的几点说明：位移是质点运动学的基本概念。所谓位移是指质点在移动过程中，始末两个位置的改变。考虑到移动具有方向性，所以位移必须用矢量来描述。简言之，位移是矢量，具有大小和方向。位移的大小等于质点始末两个位置之间的直线距离，方向由始末两点确定，由起点指向终点。9ppt/81质点运动的描述方法质点运动的描述方法位移与路程的区别：路程是标量，位移是矢量。如果质点沿曲线轨迹运动，位移矢量的大小并不等于路程，因为质点运动的路程等于始末两点曲线轨迹的长度。描述质点位移最方便的方法是上面介绍的矢径法矢径法。10ppt/81质

7、点在任意时刻t的瞬时速度瞬时速度矢量，简称为速度速度，记为v=v(t)，定义为：矢径法矢径法质点的速度和加速度质点的速度和加速度如果 分别表示质点在t、t+Dt时刻所在的空间位置A和B，那么A、B两点之间的位移可以用矢量差 来表示，记为即位移矢量可用矢径的增量Dr来表示。)(),(tttDrrrrrr rrrDtttddlim0rrvDDD11ppt/81矢径法矢径法质点的速度和加速度质点的速度和加速度因此，质点在任意时刻t的瞬时速度是一个矢量，它等于质点的矢径r关于时间参数t的一阶导数，其方向沿矢端曲线即运动轨迹曲线的切线方向，速度矢量v(t)的大小代表质点运动的快慢。速度矢量速度矢量v(t

8、)的分量表达式：矢径r的三个坐标x、y、z对时间的一阶导数分别等于速度矢量v(t)沿坐标轴分量的大小，称为质点沿三个方向的分速度分速度，简记为如下形式。kjirvtztytxttdddddddd)(12ppt/81矢径法矢径法质点的速度和加速度质点的速度和加速度速度矢量的分量式式中字母头上加一点表示相应量对时间的一阶导数，以下用字母头上加两点等表示相应量对时间的二阶导数zvyvxvvvvzyxzyx,kjivzyx、zyx 、13ppt/81矢径法矢径法质点的速度和加速度质点的速度和加速度加速度矢量加速度矢量定义为速度矢量v对时间t的一阶导数或者矢径r对时间t的二阶导数，记为加速度矢量a(t)

9、沿坐标轴分量的大小，称为质点沿三个方向的分加速度分加速度，加速度分量式为zvayvaxvaaaazzyyxxzyx ,kjia14ppt/81220ddddlim)(tttttrvvaDDD自然轴系中的速度公式自然轴系中的速度公式 因为质点的速度矢量沿轨迹曲线的切线方向，根据任一矢量可以用其大小和代表其方向的单位矢量表示的性质，质点在任意时刻的速度矢量可以写为式中v=ds/dt表示速度矢量的大小，ds可以理解为质点在dt时间里通过的路程，t t表示在运动轨迹曲线上t时刻质点所在位置处的单位切线矢量。tssvvdd,v在研究质点的圆周运动圆周运动等曲线运动时，采用自然坐标轴系计算质点的速度和加速

10、度比较方便。15ppt/81自然轴系中的速度公式自然轴系中的速度公式 速度矢量为上式表明：要计算速度的大小，只需用弧坐标s=s(t)关于时间参数t求一阶导数即可。该式也可利用速度矢量的定义式和计算复合函数导数的方法，得到vs rrvstsstdddddd式中导数dr/ds =t t 表示t时刻质点所在位置处轨迹曲线的切线方向的单位矢量。16ppt/81自然轴系自然轴系 为了推导加速度矢量在自然坐标轴系中的表达式，首先需要定义关于空间曲线的自然坐标轴系的两个单位法线矢量，它们是单位主法线主法线矢量n和单位副法线副法线矢量b。对于由运动方程给出的空间曲线（对于平面曲线，z坐标恒等于零 ），其上一点

11、的单位切线矢量单位切线矢量t t 可以表示为)(),(),(tzztyytxx222,/ )(zyxvvzyxkji17ppt/81l其中b称为单位副法线矢量。副法线矢量。由t t 、n、b三个相互垂直的方向组成的坐标系称为自然轴系自然轴系，它是一种局部坐标系，随点的位置变化而改变三个单位矢量的方向。自然轴系自然轴系设Dt t =t t -t t，其中t t =t t (j),t t =t t (j+Dj)是曲线上A、B两点的单位切线矢量切线矢量，则A点的主法线矢量主法线矢量n的方向定义为当Dj趋近于零，Dt t（其大小约等于Dj）的极限方向，它与该点的切线矢量垂直，并可按下列公式定义单位长度

12、矢量n和b ：sdd,ddrnbnj18ppt/81自然轴系：自然轴系：sdd,ddrnbnj19ppt/81自然轴系中的几个概念自然轴系中的几个概念由一点的切线矢量和主法线矢量所确定的平面称为曲线上该点的密切面密切面。将密切面绕一点的切线矢量t t 旋转90所得平面称为该点的切平面切平面。将密切面绕一点的主法线主法线矢量n 旋转90所得平面称为该点的法平面。法平面。空间曲线上一点的密切面可以这样理解：它至少包含至少包含该点领域里部分曲线部分曲线。一般情况下，切平面和法平面在相切的位置处只与曲线上一个点相交，即只包含只包含该点领域里曲线上一个点。一个点。20ppt/81自然轴系中的几个概念自然

13、轴系中的几个概念密切面密切面是理解自然坐标轴系的重要概念。对于任意一条空间曲线，曲线上不同点的切线切线矢量t t 、主法线主法线矢量n 、副法线副法线矢量b是随点的位置发生变化的，在这个意义上，自然坐标轴系是曲线上一点的局部坐标系局部坐标系。为了得到加速度矢量在自然坐标轴系中的表达式，还需要用到曲率曲率或曲率半径曲率半径的概念。下面，我们来推导质点运动的加速度公式。21ppt/81自然轴系中的加速度公式自然轴系中的加速度公式 根据加速度矢量的定义式及函数乘积导数公式，有式中最右端第一项是一个矢量，其方向沿轨迹的切线方向，其大小等于速度大小对时间的一阶导数，第二项等于速度的大小乘以单位切线矢量t

14、 t 对时间的一阶导数，下面来计算该导数。根据求复合函数导数的方法可得到单位切线矢量t t 对时间的一阶导数如下：vavvvttt)(dddd)(22ppt/81单位切线矢量导数公式单位切线矢量导数公式 式中dt t为dt时间里质点前后位置单位切线矢量t t的增量，dj、ds分别为前后两个位置单位切线矢量的夹角以及在dt时间里质点通过的路程。dt t =ndj，导数dj/ds反映曲线在一点的弯曲程度，称为曲线在该点的曲率曲率，记为k。曲率的倒数曲率的倒数称为该点的曲率半径曲率半径，记为r，对于圆周曲线，曲率半径等于圆的半径。导数ds/dt =v为速度的大小。tsstddddddddjj23pp

15、t/81自然轴系中的加速度公式自然轴系中的加速度公式 根据得到自然坐标轴系中的加速度公式自然坐标轴系中的加速度公式avvt)(vstsksdd,1dd,ddrjjnnrjjvtsstdddddddd2222,dd)(nnnaaasvasvtvaaattttrr na24ppt/81自然轴系中的自然轴系中的单位矢量公式汇总单位矢量公式汇总只要给定了质点的运动方程可按下述方式确定质点运动轨迹曲线上一点的单位切线矢量t t 、单位主法线矢量n和单位副法线矢量b)(),(),(tzztyytxxnbnkji/222zyxzyx25ppt/8126例1：半径为r的轮子在水平地面上纯滚动，已知轮心的速度u

16、是常量，求轮缘上一点M的运动方程、速度和加速度。rCuMxyOppt/8127rCuMHDxyO AB解：设 t = 0时刻M 位于坐标原点，在t 时刻，M 位于图示位置轮子作纯滚动，所以jrOHMHrutrMHjrutrutAHOHxsin=-rutrrBCHCycos=-),cos1 (rutuvx-,sinrutuvy2sin222juvvvyx,2sin),cos(jvvxvx2cos),cos(jvvyVyv结论：速度方向指向最高点结论：速度方向指向最高点D.ppt/8128,sindd2rutrutvaxx,cosdd2rutrutvayyruaaayx222=+=rutrurut

17、uttva2cos)2sin(2dddd2trutruaaan2sin=222-ppt/8129例2：曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别为r和l。且lr，角j=t，其中是常量。滑块B可沿轴Ox作往复运动，试求滑块B的运动方程，速度和加速度。yAlBxOppt/8130ppt/8131解：假设滑块解：假设滑块B在图示位置，由几何关系得滑块在图示位置，由几何关系得滑块B的坐标的坐标tlrltrtrltrx sin1+ cos= sin+ cos=222222-令令l= r/l，将上式的根式展开，有将上式的根式展开，有ttt sin81 sin211= sin1442222-yAlBxOpp

18、t/8132略去略去4以及更高阶项，并利用以及更高阶项，并利用22 cos1=sin2tt-) 2cos41+ cos+411 (=22ttlx-) 2sin21+ sin(=2ttldtdxv-) 2cos+ cos(=22ttldtdva-yAlBxOppt/8133例3：如图凸轮绕O轴匀角速转动，使杆AB上升。欲使杆AB匀速上升，凸轮上的CD段轮廓线应是什么曲线？BAD解：以凸轮为参考系，取极坐标研究A点的运动CR根据题意有vtt=dd ,=dd将上式对时间积分一次，并设C点为动点A在t=0时的初始位置，于是得以极坐标表示的A点相对于凸轮的运动方程vtRt+= ,=消去时间 t，得A点在

19、凸轮上的轨迹方程vR+=ppt/8134例4：销钉B可沿半径等于R的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽中滑动，OA=R=0.1m。已知摆杆的转角j =(sin2t)/8，试求销钉在t1=(1/4)s和t2=1s时的加速度。DEBCss+s-ORRAOppt/8135ppt/8136解：销钉B的轨迹是中心在A点且半径是R的圆弧DE。选滑道上O点作为弧坐标的原点，并以OD为正向。则B点在任一瞬时的弧坐标j2, Rs所以 2sin40=2=tRs速度 22cos20=dd=ttsV ,2sin10=dd=3ttVa-加速度 2cos40=242tVan代入t1=1/4s 和t2=1s，不难得出相应的加速度

20、DEBCss+s-ORRAOppt/81极坐标与柱坐标系极坐标与柱坐标系速度和加速度公式速度和加速度公式 对于圆周运动，采用自然坐标法计算质点的速度和加速度很方便。如果质点在平面内做一般的曲线运动，有时采用极坐标来计算质点的速度和加速度也很方便。在平面内运动的质点，其空间位置可以用所谓的极坐标极坐标（r，j）来表示，如下图所示。37ppt/81极坐标系极坐标系速度和加速度公式速度和加速度公式 其中o称为极点极点，质点A的位置用矢径r来表示，r是矢径r的长度，j 是矢径r与参考轴x的夹角。单位矢量er沿矢径r的方向，ej与er垂直，沿角度j 增加的方向。质点的极坐标极坐标也是一种局部坐标。38p

21、pt/81极坐标系极坐标系速度和加速度公式速度和加速度公式 如果将单位矢量er、ej沿x、y两个方向分解，则有式中i、j分别为与x、y方向平行的单位矢量。矢径r可以通过r与er表示为 jiejiejjjjjrcossinsincosjierjrjrrrsincos39ppt/81极坐标系极坐标系速度和加速度公式速度和加速度公式 当质点运动时，r，j 都是时间参数t的函数，从而er、ej也是时间参数t的函数。根据公式 注意到i、j分别为与x、y方向平行的单位矢量，是常矢量，与时间无关，可得到单位矢量er、ej对时间参数t的一阶导数公式式中 表示转角对时间的一阶导数。jiejiejjjjjrcos

22、sin,sincosrjjjjrrrjjjjjjeeeeeeeettttdddddd,ddddddj40ppt/81极坐标系极坐标系速度和加速度公式速度和加速度公式 根据速度矢量的定义式，并利用矢径表达式 以及单位矢量导数公式 和函数乘积的导数公式，可推出极坐标中速度矢量公式极坐标中速度矢量公式极坐标中加速度矢量公式极坐标中加速度矢量公式式中 表示转角对时间的一阶、二阶导数，分别称为物体运动的角速度角速度和角加速度角加速度。jrrjrrreeerv)(ddddttrrer jrjrjrjrjrrjrreeeeva)2()()(dddd2 ttrjjrjjeeee,jj 、41ppt/81极坐标

23、系极坐标系速度和加速度公式速度和加速度公式 对于质点做圆周运动圆周运动的情况，因为r是常数，等于圆的半径，所以，由以上公式计算质点的速度和加速度非常方便，只需将圆的半径、角速度和角加速度分别代入即可得到：圆周运动速度和加速度计算公式圆周运动速度和加速度计算公式2222,jrrjrrjrveev22222)2()(,)2()(jrjrjrrjrjrjrrjr aeea222,ttjrjrjraaavaavnn 2222,/ )(ttjjrjrrrraaavvan 42ppt/81柱坐标系柱坐标系速度和加速度公式速度和加速度公式 对于质点在空间做曲线运动，其空间位置可以用所谓的柱坐标柱坐标（r，j

24、，z）来表示，从而写出质点的速度和加速度矢量公式。43ppt/81柱坐标系柱坐标系速度和加速度公式速度和加速度公式 在柱坐标系中，质点的位置用矢径r表示为 式中r是矢径r在xy平面上的投影值的大小。kjieerzzzjrjrrrsincos44ppt/81柱坐标系柱坐标系速度和加速度公式速度和加速度公式 柱坐标中速度和加速度矢量公式用同样方法，可推出球坐标中速度和加速度公式。在研究质点运动的轨迹、速度和加速度时，应根据问题的性质和研究问题的方便，选用适当的坐标系和相应的计算公式。 zzeeevjrjrrzzeeea jrjrjrjrr)2()(245ppt/81刚体有两种简单运动：（1）平行移

25、动平行移动；（2）定轴转动定轴转动。刚体的简单运动刚体的简单运动46ppt/81平行移动平行移动：如果刚体上任意两点所连直线的方位在刚体运动过程中保持相互平行的关系，则称刚体的运动为平行移动，简称为平动平动。根据平动的特点，借助矢量的简单运算，容易得到下面关于刚体平动的定律。刚体平动的运动学定律刚体平动的运动学定律：做平行移动的刚体上任意两点具有相同的运动轨迹，在任意时刻t具有相同的速度和相同的加速度。刚体的平行移动及其运动学定律刚体的平行移动及其运动学定律47ppt/8148ppt/8149ppt/8150ppt/8151ppt/81a是常矢量，与时间无关，rA、rB随时间而改变；经过任意时

26、间Dt，A、B两点的位移相等，即刚体平动运动学定律刚体平动运动学定律的证明的证明arrAB由矢径rA、rB描出的两条矢端曲线沿矢量a的方向移动一段距离后可以完全重合（见图示），即A、B两点具有相同的运动轨迹。ABrrDD52ppt/81根据质点速度和加速度矢量的定义式，得到这表明A、B两点在任意时刻t具有相同的速度和相同的加速度。证讫。刚体平动运动学定律刚体平动运动学定律的证明的证明AABBvrrvAAABBBavrrva arrAB53ppt/81如果刚体上某一条直线上的各个点的位置在刚体运动过程中保持不变，则称该直线为固定轴线或转轴转轴，称刚体的运动为绕该固定轴的转动，简称为刚体的刚体的定

27、轴转动定轴转动。为了了解定轴转动刚体的运动学特性，我们来研究刚体上任意一点A的运动，并假设点A不在转轴上。刚体刚体的定轴转动的定轴转动54ppt/81在转轴上任意选取B、C两点，连接A、B、C三点形成三角形。如果以BC为三角形ABC的底边，那么该三角形的高等于点A到转轴的距离，记为r。根据刚体上任意两点之间的距离保持不变的性质，可以推知：三角形三角形ABC在运动过程中保持形状和大小不变，三角形ABC的高r也保持不变。刚体刚体的定轴转动的定轴转动55ppt/81由于B、C两点位于转轴上，所以，与转轴垂直的直线在运动过程中将保持与转轴垂直的关系，且该直线上位于刚体上的各个点到转轴的距离保持不变。由

28、此得到：刚体定轴转动的运动学定律刚体定轴转动的运动学定律：在做定轴转动的刚体上，除了固定轴线上各点的位置不变以外，其余各点都在绕固定轴做圆周运动，圆的半径等于刚体上的点到转轴的距离，圆周运动的平面与转轴垂直。刚体刚体定轴转动的运动学定律定轴转动的运动学定律56ppt/8157ppt/81如果刚体在dt时间里转过角度dj，则dj/dt称为刚体转动的角速度角速度，记为=dj/dt。 d/dt称为刚体转动的角加速度角加速度，记为a=d/dt。定轴转动刚体上各点的速度和加速度可以直接用质点做圆周运动的速度和加速度公式计算。 定轴转动定轴转动刚体刚体的角速度和的角速度和角加速度角加速度58ppt/81根

29、据极坐标中的速度和加速度矢量公式，很容易得到定轴转动刚体上任意点A的速度和加速度计算公式为 定轴转动定轴转动刚体刚体的速度和的速度和加速度公式加速度公式rjrvarrjrrjrt aan2242ara59ppt/81从定轴转动刚体上一点的速度和加速度公式，可以看出是研究刚体定轴转动的基本方程，称为刚体的转动方程转动方程。刚体刚体的转动方程的转动方程)(tjj60ppt/8161ppt/8162artrtvaddddrrva22n与与a具有相同的转向，切向具有相同的转向，切向加速度与速度指向相同。加速度与速度指向相同。aanaOaaanaOav与与a转向相反，切向加速度转向相反，切向加速度与速度

30、指向相反。与速度指向相反。ppt/8163ppt/8164ppt/8165ppt/8166定轴转动刚体的定轴转动刚体的传动问题传动问题1r2rAB11a22aAvBvAaBa轮轮1和轮和轮2在在A(B)处无滑动接触，由此构成定轴转动的传动处无滑动接触，由此构成定轴转动的传动无滑动传动基本关系无滑动传动基本关系BABAaavv,122121rraa由此得到由此得到ppt/8167ppt/8168若固定轮若固定轮1，则点，则点B在接在接触瞬间的速度和切向加触瞬间的速度和切向加速度为零。速度为零。1r2rAB220=BV0=Bappt/8169固定轮1，并令r1，则演化为轮2在齿条上的纯滚动纯滚动。纯滚动的轮子上B点与地面接触瞬间的速度和切向加速度均为零。OuB0Bv0=Bappt/81角速度角速度矢量矢量定义为 角速度