理论力学十二章

1、理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院1理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院2 动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量动能和作用动能和作用力的物理量力的物理量功之间的联系，这是一种能量传递的规律。功之间的联系，这是一种能量传递的规律。力的功是力沿路程累积效应的度量。力的功是力沿路程累积效应的度量。cosWF

2、sF s 时，正功；时，正功； 时，功为零；时，功为零； 时，负功。时，负功。 功的单位：焦耳（）；功的单位：焦耳（）；2221J1N m一、常力的功一、常力的功( (力是常矢量力是常矢量) )FM1M2s 12-1 12-1 力的功力的功功是代数量。功是代数量。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院3二、变力的功二、变力的功 力力F 在曲线路程中作功为在曲线路程中作功为21MM 设质点设质点M在变力在变力F的作用下沿曲线运动，力的作用下沿曲线运动，力F在微小弧在微小弧段上所作的功称为力的段上所作的功称为力的元功元功，记为记为d dW，于是有，于是有cosdWFs0cos d

3、sWFs自然法表示的自然法表示的功的计算公式功的计算公式上两式可写成矢量点乘积形式上两式可写成矢量点乘积形式dW Fr21dMMW Fr矢径法表示的矢径法表示的功的计算公式功的计算公式MM1M2dsMdrFdddxyzWF xFyF z21(ddd )MxyzMWF xFyF z直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院4三、常见力的功三、常见力的功 质点系质点系1212g()g()iiiiCCWWmzzmzz 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心质点系重力的功，

4、等于质点系的重量与其在始末位置重心高度差的乘积，而与各质点运动的路径无关。高度差的乘积，而与各质点运动的路径无关。00gxyzFFFm ，代入功的解析表达式得代入功的解析表达式得211212(g)dg()zzWmzmzz1、重力的功、重力的功M1M2Mmgz1z2Oxyz理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院5221100d()dMMkMMWk rlFrrr2011ddd()d()d22rrrrr rrrrr r )()(2202201lrlrk222212()()22kkkWdddd末初有限变形下弹性力的功只与有限变形下弹性力的功只与弹簧的初始变形和末变形有弹簧的初始变形和

5、末变形有关，与力作用点的路径无关。关，与力作用点的路径无关。2、弹性力的功、弹性力的功 ( (指有限变形下弹性力的功，与弹簧两端点位置无关指有限变形下弹性力的功，与弹簧两端点位置无关) )弹簧原长弹簧原长l0 ，作用点的轨迹为图示曲线，作用点的轨迹为图示曲线A1A2。在弹性极限内。在弹性极限内 k弹簧的刚性系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力弹簧的刚性系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力(N/m)。00()k rl Fr110220rlrldd初变形初变形 末变性末变性A1A2r2r1d d1d d2l0Or0rAd dFA0dr2211200()dd()2rrkrrkWk rlrrl 理

6、论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院6 OzO1A设作用在定轴转动刚体上设作用在定轴转动刚体上A点的力为点的力为F，将该力分解为将该力分解为Ft、Fn和和Fb 。当刚体转动时，转角当刚体转动时，转角j j与弧长与弧长s的关系为的关系为tcosFFddsRjR为点为点A到轴的垂距。力到轴的垂距。力F 的元功为的元功为ttd =dddzWF sF RMjjFrFtFrFbFn力力F在刚体从角在刚体从角j j1转到转到j j2所作的功为所作的功为2112dzWMjjj 3、作用于定轴转动刚体上的力的功，力偶的功、作用于定轴转动刚体上的力的功，力偶的功作用面垂直转轴的常力作用面垂直转

7、轴的常力偶偶M，则力偶作的功为，则力偶作的功为1221()WMjj理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院7dd0CtrvSSdd0CWtdFrFv法向力法向力FN，静摩擦力，静摩擦力FS作用于瞬心作用于瞬心C处，而瞬心的位移处，而瞬心的位移(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功。圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功。(1) 动滑动摩擦力的功动滑动摩擦力的功2211NddMMMMWF sf Fs FN=常量时，常量时，W= f FNs，与质点的路径有关。，与质点的路径有关。 圆轮沿固定面作纯滚动时，圆轮沿固定面作纯滚动时，摩擦力是静摩擦力，不作功摩擦力是静摩擦力，

8、不作功! !4、摩擦力的功、摩擦力的功FNFSCPRw wO理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院85、质点系内力的功、质点系内力的功 只要只要A、B两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零。 刚体内力功之和等于零，不可伸长的绳索内力功之和等刚体内力功之和等于零，不可伸长的绳索内力功之和等于零于零，但变形体内力功之和不为零，例如弹簧的功不为零。但变形体内力功之和不为零，例如弹簧的功不为零。ddABWdFrFrddABFrFrd()ABFrrdBAFr6、任意运动刚体上力系的功、任意运动刚体上力系的功结论结论1 1：任意运动刚体上力系的功

9、，等于刚体上所受各力：任意运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和。作功的代数和。结论结论2 2：任意运动刚体上力系的功，也等于力系向任一点任意运动刚体上力系的功，也等于力系向任一点简化所得的力与力偶作功之和。简化所得的力与力偶作功之和。 ( (虚位移原理用虚位移原理用) )OABrArBFF理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院9约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。4、柔性约束（不可伸长的绳索）、柔性约束（不可伸长的绳索）拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。RRRRdd

10、dd0WdFrFrFrFrNNd0 (d )WdFrFr1、光滑固定面约束、光滑固定面约束drFNNNS() d0CWdFFr四、理想约束力的功四、理想约束力的功2、联接刚体的光滑铰链（中间铰）、联接刚体的光滑铰链（中间铰）drFRFR3、刚体沿固定面作纯滚动、刚体沿固定面作纯滚动FNFSCw w理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院10解：滑块在任一瞬时受力如图。由于解：滑块在任一瞬时受力如图。由于P与与FN始终垂始终垂直于滑块位移，因此，它们所作的功为零。所以直于滑块位移，因此，它们所作的功为零。所以只需计算只需计算FT 与与F 的功。先计算的功。先计算FT的功：的功：

11、在运动过程中，在运动过程中， FT 的大小不变，但方向在变，的大小不变，但方向在变，因此其元功为因此其元功为TTcosdFWFx22cos(20)(20)15xx因此因此FT在整个过程中所作的功为在整个过程中所作的功为T2020T220020cosd20d200 N cm(20)15FxWFxxx例例如图所示滑块重如图所示滑块重P=9.8N，弹簧刚度系数，弹簧刚度系数k=0.5N/cm，滑块在，滑块在A位置时弹簧对滑块的拉位置时弹簧对滑块的拉力为力为2.5N，滑块在，滑块在20N的绳子拉力作用下沿的绳子拉力作用下沿光滑水平槽从位置光滑水平槽从位置A运动到位置运动到位置B，求作用于，求作用于滑块

12、上所有力的功的和。滑块上所有力的功的和。FT15 cmBA20 cmx PFFNFTT20 (25 15)200N cmFW或或理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院11再计算弹性力再计算弹性力F的功：的功：由题意：由题意：12.55cm0.5d252025cmd因此因此F 在整个过程中所作的功为在整个过程中所作的功为22221211()0.5 (525 )150N cm22kWkdd 因此所有力的功为因此所有力的功为T200 15050N cmFkWWW另另外外20cot15x215dd15dcotsinx 1cos d15d()sinx FT15 cmBA20 cmxPF

13、FNFT20-x15理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院12解：将解：将A处的力平行移到处的力平行移到C处，同时处，同时 附加一个力偶矩为附加一个力偶矩为Fl 的力偶。的力偶。C处的力处的力F所作的功为所作的功为cos()dsin d2CFWFxFx 为何加负号？为何加负号？2 cosd2 sin dxlxl 222001 cos2sin d2sind2d22CFFlWFxlFlF 力偶力偶Fl所作的功为所作的功为22MFlWMA处的力处的力F所作的总功为所作的总功为AFCFMWWWFl也可将也可将A处的力平行移到处的力平行移到B处，自行计算。处，自行计算。例例图示机构，杆

14、图示机构，杆OB长为长为l，AB长为长为2l，C为中点，为中点，A处有一大小不变且始终处有一大小不变且始终垂直杆的力垂直杆的力F作用。当作用。当 从从00连续变化到连续变化到900时，力时，力F作的功是多少？作的功是多少？OABCFlll FMx力投影为负力投影为负理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院13 物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。动强弱的又一种度量。瞬时量，恒为正，具有与功相同的量纲，单位也是瞬时量，恒为正，具有与功相同的量纲，单位也是J(焦耳焦耳)。221mvT 一、质点的动能一、质点

15、的动能212iiTmv二、质点系的动能二、质点系的动能12-212-2动动 能能1、平移刚体、平移刚体222111()222iiiCCTmvm vmv2、定轴转动刚体、定轴转动刚体2222111()222iii izTmvmrJww理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院143、平面运动刚体、平面运动刚体若任选一点若任选一点A的速度为基点，有的速度为基点，有ymixyzOxzCviririrAArCiAiAvvv2222iAiAAiAvvviivvvv222111222iiiAiiAiAiATmvmvmvmvv221122iAAAiAmvJmwvv0iAiAACAmmvvvvi

16、 iCmmrr若若A点为平面运动的速度瞬心点为平面运动的速度瞬心P，有，有vP=0，于是动能第一项和第三项为零。，于是动能第一项和第三项为零。212PTJw（P为速度瞬心）为速度瞬心）两边两边求导求导iiACAmmvv瞬心瞬心Pw w质心质心CvCd若若A点为平面运动刚体的质心点为平面运动刚体的质心C，有，有vCC=0，动能第三项为零。，动能第三项为零。221122CCTmvJw（C为刚体质心）为刚体质心）只能对瞬心和质心写出动能表达式，对其它点不存在类似的公式。只能对瞬心和质心写出动能表达式，对其它点不存在类似的公式。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院152221112

17、22CCPTmvJJww212CCJmRvRw ，CvRvw2211()22CTm vrJww222111222CCPTmvJJww234CTmv均质圆盘在地面上均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能作纯滚动时的动能CvCw wP均质圆盘在平板上均质圆盘在平板上作纯滚动时的动能作纯滚动时的动能w wvCvCP理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院16P 为为AB杆的瞬心杆的瞬心2234AATm vsinAvlw2113PJml2212126sinAABPABm vTJw21223()6sin4AmTm vAvPAw解：解：AABTTT例例均质细杆长为均质细杆长为l，质量为，质量为m

18、1，上端，上端B靠在光滑的墙上，下端靠在光滑的墙上，下端A用铰链用铰链与质量为与质量为m2、半径为、半径为R且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，圆柱作且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，圆柱作纯滚动，杆与水平线的夹角为纯滚动，杆与水平线的夹角为 ，若圆柱中心速度为，若圆柱中心速度为vA，求系统的动能。，求系统的动能。vAAB CPw wAB理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院171sinvO Brww1ddgPmrl22221ddsind22gPrTm vrlw杆杆OA的动能是的动能是22222200dsindsin2g6gllPrPlTTrlww解：取出微段解：取出微段d

19、r到球铰的距离为到球铰的距离为r，该微段的速度是，该微段的速度是微段的质量微段的质量微段的动能微段的动能此动能与重量为此动能与重量为P 绕铅垂轴以绕铅垂轴以ww作定轴转动的作定轴转动的O2A杆动能一样杆动能一样!例例长为长为l，重为，重为P的均质杆的均质杆OA由球铰链由球铰链O固定，并以固定，并以等角速度等角速度w w绕铅直线转动，如图所示，如杆与铅直线绕铅直线转动，如图所示，如杆与铅直线的交角为的交角为 ，求杆的动能。，求杆的动能。 OrdrO1w wPABCO2理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院18解：解：AB杆作平面运动，其质心杆作平面运动，其质心C的速度为的速度为

20、CACAvvv速度合成矢量图如图，由余弦定理有：速度合成矢量图如图，由余弦定理有：222222221122142cos(180)()2coscosCACAA CAAAAAvvvv vvlvlvll vjwwjwwj则杆的动能则杆的动能222222222211221111242 121123(cos )()(cos )CCAAAATmvJm vll vmlm vll vwwwjwwwjvC例例如图滑块如图滑块A以速度以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一在滑道内滑动，其上铰接一质量为质量为m，长为，长为 l 的均质杆的均质杆AB，杆以角速度，杆以角速度ww绕绕A转转动。求当杆动。求当杆AB与铅垂线的

21、夹角为与铅垂线的夹角为jj时杆的动能。时杆的动能。Bj jvAw wACvAvCA理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院19一、质点的动能定理一、质点的动能定理21dd()d()22mmmv v vv v21d()2mvW d因此因此动能定理的微分形式动能定理的微分形式将上式沿路径将上式沿路径 积分，可得积分，可得21MM2221121122mvmvW动能定理的积分形式动能定理的积分形式两边点乘以两边点乘以 ，有，有drddddmtvrFrddmtvF牛顿定律牛顿定律M1M2MvFa12-312-3动能定理动能定理理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院20即

22、即 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式diTWd将上式积分可得将上式积分可得1221TTW质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式在理想约束的条件下，质点系的约束力不作功，但质点系的内力作功之在理想约束的条件下，质点系的约束力不作功，但质点系的内力作功之和并不一定等于零，例如弹簧在系统内作功。和并不一定等于零，例如弹簧在系统内作功。2211d() d()22i iii iimvWmvWdd对整个质点系有对整个质点系有二、质点系的动能定理二、质点系的动能定理21d()2iiimvW d对质点系中的任一质点对质点系中的任一质点 ：质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的

23、元质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。对理想约束，等于全部主动力所作元功的和。功的和。对理想约束，等于全部主动力所作元功的和。质点系在一段运动过程中动能的改变量，等于作用于质质点系在一段运动过程中动能的改变量，等于作用于质点系全部力在此过程中所作功的和。对理想约束，等于点系全部力在此过程中所作功的和。对理想约束，等于全部主动力所作功的和。全部主动力所作功的和。当可以求出任意位置的动能和功的当可以求出任意位置的动能和功的表达式时，利用上式求导可求加速度或角加速度。表达式时，利用上式求导可求加速度或角加速度。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院21解：解：A

24、B杆作平面运动，杆作平面运动，BC杆作定轴转动。杆作定轴转动。 两杆的角速度如图所示。两杆的角速度如图所示。( )( )BCABttjwww当当 =0时时A为为AB杆的速度瞬心，所以杆的速度瞬心，所以2222121110223 gAABCBCPTTJJlwww 例例两根完全相同的均质细杆两根完全相同的均质细杆AB和和BC用铰链用铰链B连接在一起，每根杆重连接在一起，每根杆重P =10N，长，长l =1m，一弹簧常数，一弹簧常数k=120N/m的弹簧连接在两杆的中心。的弹簧连接在两杆的中心。假设两杆与光滑地面的夹角假设两杆与光滑地面的夹角 =60时弹簧不伸长，一力时弹簧不伸长，一力F=10N作用

25、在作用在AB的的A点，该系统由静止释放，试求点，该系统由静止释放，试求 =0时时AB杆的角速度。杆的角速度。 A CBDFEj jw wBCw wAB由角速度的定义有由角速度的定义有BCABjww ， 因为系统属理想约束，所以约束力不作功，作功的力有因为系统属理想约束，所以约束力不作功，作功的力有主动力主动力F，重力，重力P和弹性力，分别求得如下：和弹性力，分别求得如下：理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院22主动力作功主动力作功(22 cos )FWFsFllFl重力作功重力作功132sin22PWPlPl弹性力作功弹性力作功222212111()0() 2228klWk

26、klkldd 主动力所作总功主动力所作总功2123128FPkWWWWFlPlkl由动能定理得由动能定理得2 221313 g28PlFlPlklw311()/3.28 rad/s283 gPFPkllw PA CBDFEj jP理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院23w w解：取圆盘为研究对象，设圆盘中心向下解：取圆盘为研究对象，设圆盘中心向下 产生位移产生位移 s 时速度达到时速度达到vC。10T 静摩擦力不作功，只有重力作功静摩擦力不作功，只有重力作功12g sinWm sj由动能定理得由动能定理得230g sin4Cmvm sj2234CTmv2gsin3aj上式两

27、边对时间求导得上式两边对时间求导得例例已知均质圆盘质量为已知均质圆盘质量为m，半径为，半径为R，摩擦因数为，摩擦因数为 f ，斜面倾角为，斜面倾角为j j 。求纯滚动时盘心的加速度。求纯滚动时盘心的加速度。Cj jsmgFNFSvC对速度瞬心用动量矩定理对速度瞬心用动量矩定理23gsin2mRmRj2gsin3Raj理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院24解：以任意位置的杆解：以任意位置的杆AB为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。杆作平面运动，设任意位置时杆的角速度和杆作平面运动，设任意位置时杆的角速度和角加速度分别为角加速度分别为w w和和 。例例质量为质量为m长

28、为长为l 的均质杆，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿的均质杆，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿着铅垂墙壁，从着铅垂墙壁，从j j0角无初速地滑下，不计摩擦。求：角无初速地滑下，不计摩擦。求：(1)杆在任意位置时的杆在任意位置时的角速度和角加速度；角速度和角加速度；(2)开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束力；开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束力；(3)杆杆脱离墙时，杆与水平面所夹的角脱离墙时，杆与水平面所夹的角。P306，11-25，P350综综-12OxyABCj jFBmgFAw w 杆的动能，杆的动能，T1=022221126PTJmlww系统只有重力系统只有重力mg作功作

29、功120g(sinsin )2lWmjj由由1212WTT得得03g(sinsin )lwjj两边对时间求导，并注意两边对时间求导，并注意jw 可得可得3gcos2ljP理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院25解：取系统为研究对象，解：取系统为研究对象，T1=022222112211212111()222JTJJJiwww12112212RiRwjwj由运动学可知由运动学可知主动力的功主动力的功21211221112()MWMMMijjj由动能定理得由动能定理得112212121221)(0)(21jwiMMiJJ将上式对时间求导，并注意将上式对时间求导，并注意1111dd

30、ddttwjw，)()(2122112211iJJiMM解得解得例例 齿轮传动机构，齿轮传动机构，为主动轮，为主动轮，为从动轮。为从动轮。已知各齿轮的转动惯量已知各齿轮的转动惯量和半径分别为和半径分别为 J1 、 J2 ， R1 、 R2 ，两齿轮作用的扭矩分别为，两齿轮作用的扭矩分别为M1 、 M2 。求轴求轴的角加速度。的角加速度。M1M2O1R1O2M1R2M2w w1w w2理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院26例例图示系统中，均质圆盘图示系统中，均质圆盘A、B各重各重P，半径均为，半径均为R，两盘中心线为水平线，两盘中心线为水平线，重物重物D重重Q，盘，盘A上作

31、用有常力偶矩上作用有常力偶矩M。问下落距离。问下落距离h时重物的速度时重物的速度与加速度。与加速度。(不可伸长的绳不计自重，盘不可伸长的绳不计自重，盘B作纯滚动，初始时系统静止作纯滚动，初始时系统静止)ABCOMD解：取系统为研究对象，设重物解：取系统为研究对象，设重物 速度为速度为 v，加速度为，加速度为a。01T2222111 2 g22OACBQTvJJww22222222222111 32 g2 2g2 2 g3()()2g4g4g2(87 )16gABQPPvRRQPvPvvRRRRQPvwwQv aC12AhWQhMQhMRjw wAw wBABABvhwwjj位移关系有位移关系有

32、理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院272(87 )0()16gQPMvQhR87ddd2() ()16gdddQPvMhhvQvtRtt2112TTW由动能定理由动能定理Qv aABCOMDCw wAw wB8(/)87gQMRaQP(/) g 487QMR hvQP上式两边求导得上式两边求导得理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院28解：以系统为研究对象，受理想约束作解：以系统为研究对象，受理想约束作用。在运动过程中主动力所作的功为用。在运动过程中主动力所作的功为1221gsinsWMmsR系统在初始及终了两状态的动能分别为系统在初始及终了两状态的动能

33、分别为221211213024CTTJm vw 其中其中211111CvJm RRww w1w w2例例卷扬机如图，鼓轮在常力偶卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为为R1，质量为，质量为m1，质量分布在轮缘上质量分布在轮缘上；圆柱的半径为；圆柱的半径为R2，质量为，质量为m2，质量，质量均匀分布。设斜坡的倾角为均匀分布。设斜坡的倾角为 ，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心圆柱中心C经过路程经过路程s 时的速度和加速度。时的速度和加速度。 MOR1CR2m2g由由1212WTT得得2122

34、1(23)0gsin4CmmsvMmsR理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院29w w1w w2 MOR1CR2m2g解得解得21112(gsin )2(23)CMmRsvRmm动能定理求导得动能定理求导得211212(gsin )(23)CMmRamm Rw ww w MORCRm2gFNFS由于斜面不一定通过由于斜面不一定通过O点，所以系统不能用对点点，所以系统不能用对点O的动量矩定理求解。的动量矩定理求解。若两轮半径相等，绳平行于斜面，则斜面一定通过若两轮半径相等，绳平行于斜面，则斜面一定通过O点，所以系统可点，所以系统可用对点用对点O的动量矩定理求解。的动量矩定理求

35、解。22221212223122OmmLm Rm Rm RRwwww(e)2d()gsindOOLMFMmRt2122(g sin )(23)CMmRaRmm R理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院30解：选系统为研究对象，受力如图。解：选系统为研究对象，受力如图。122 g sing cosg (2sincos )Wm sfm sm sf222123150 424TTmvmvmv由动能定理由动能定理250g (2sincos )4mvm sf对对t求导得求导得2g(2sincos )5af例例均质圆盘均质圆盘A质量质量m，半径，半径r；滑块；滑块B质量质量m，通过通过质量

36、不质量不计计、平行于斜面、平行于斜面的的杆杆AB连接连接。斜面倾角为。斜面倾角为 ，动摩擦因数为，动摩擦因数为 f，圆盘作纯滚动，系统初始静，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求滑块止。求滑块B的加速度及杆的内力。的加速度及杆的内力。P326、综、综-21 ABmgFNAmgFNBFSAFdBs设设A移动移动s，则，则杆的内力自己考虑如何求解？杆的内力自己考虑如何求解？理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院31A解解以曲柄为研究对象，画受力图，列转动方程以曲柄为研究对象，画受力图，列转动方程 AO 1FnFtFOnFOtMFtFFNatan 2取齿轮取齿轮分析，作受力图分析，作受力

37、图 ，列方程，列方程Fn22212m rFr(3)(3)2ttm aFF(2)(2)211t13m lMF l(1)(1)由运动学关系有由运动学关系有t21arl联立求解得联立求解得12126(29)Mmm l2123(29)m MFmm l例例水平面上水平面上行星齿轮机构的曲柄行星齿轮机构的曲柄OA受力偶受力偶M作用而绕固定水平轴作用而绕固定水平轴O转动，转动，并带动齿轮并带动齿轮在固定齿轮在固定齿轮上滚动如图所示。设曲柄上滚动如图所示。设曲柄OA为均质杆，长为均质杆，长l、质质量为量为m1；齿轮齿轮为均质圆盘，半径为均质圆盘，半径r 、质量为质量为m2。试求曲柄的角加速度及试求曲柄的角加速

38、度及两齿轮接触处沿切线方向的力。两齿轮接触处沿切线方向的力。P345，12-14 OAM理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院32解解以曲柄和以曲柄和齿轮齿轮为研究对象，其对为研究对象，其对O的动量矩为。的动量矩为。 联立求解得联立求解得2126(29)Mmm l2123(29)m MFmm lAOw w1FOnFOtFFNw w2M2221122211132OLmlm rm lwww由质点系的动量矩定理有由质点系的动量矩定理有(e)d()()dOOLMMF lrtF22211222111()32mlm rm lMF lr即即（1）由运动学关系有由运动学关系有12lr（3）2

39、2212m rFr（2）单独考虑齿轮单独考虑齿轮有有理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院33解：取整个系统为研究对象解：取整个系统为研究对象 T1=022212213234Am lTm vwAvlw2222212122329()6412mlmmmTllwww12WMj根据动能定理，得根据动能定理，得221229012mmlMwj将将式对式对t求导数，得求导数，得2126(29)Mmm l122329Mlmmjw例例水平面上水平面上行星齿轮机构的曲柄行星齿轮机构的曲柄OA受力偶受力偶M作用而绕固定水平轴作用而绕固定水平轴O转动，转动，并带动齿轮并带动齿轮在固定齿轮在固定齿轮上

40、滚动如图所示。设曲柄上滚动如图所示。设曲柄OA为均质杆，长为均质杆，长l、质量为质量为m1；齿轮齿轮为均质圆盘，半径为均质圆盘，半径r 、质量为质量为m2。试求曲柄的角速度及试求曲柄的角速度及角加速度。角加速度。P345，12-14 OAMw wvA理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院34P 为为AB杆的瞬心杆的瞬心2234AATm vsinAvlw2113PJml2212126sinAABPABm vTJw21223()6sin4AmTm vAvPAw解：解：AABTTT例例均质细杆长为均质细杆长为l，质量为，质量为m1，上端，上端B靠在光滑的墙上，下端靠在光滑的墙上，下

41、端A用铰链用铰链与质量为与质量为m2、半径为、半径为R且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，圆柱作且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，圆柱作纯滚动，杆与水平线的夹角为纯滚动，杆与水平线的夹角为 ，若圆柱中心速度为，若圆柱中心速度为vA，求系统的动能。，求系统的动能。vAAB CPw wAB理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院35例例均质细杆长为均质细杆长为l，质量为，质量为m1，上端，上端B靠在光滑的墙上，下端靠在光滑的墙上，下端A用铰链用铰链与质量为与质量为m2、半径为、半径为R且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，自图示且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，自图示位置由静止开

42、始滚动而不滑动，杆与水平线的夹角位置由静止开始滚动而不滑动，杆与水平线的夹角 =450，求，求A点初瞬点初瞬时的加速度。时的加速度。P346、12-18AB C解解系统系统T1=0，设杆运动到任意设杆运动到任意 角时角时A点的速度为点的速度为vA。212223()6sin4AmTm v系统动能为系统动能为vAm1g系统只有重力系统只有重力m1g作功作功由由1212WTT得得0121g(sin45sin )2lWm201122g3()(sin45sin )6sin42Amm lm v两边对时间求导得两边对时间求导得3211122g3( 2sincos)()2cos66sin42AAAmmm lv

43、mv a sinAvlw 代入上式，两边约去代入上式，两边约去vA，注意到初瞬时，注意到初瞬时vA=0， =450，可得，可得1123g49Amammw wABP理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院36解解在初瞬时、即在初瞬时、即 =450时用动量矩定理求时用动量矩定理求A点的加速度。点的加速度。考虑考虑AB杆受力如图。因为其速度瞬心杆受力如图。因为其速度瞬心P到质心到质心C的的距离始终不变，所以可对瞬心距离始终不变，所以可对瞬心P点用动量矩定理。点用动量矩定理。Am2gFAxFAyaADFSFN考虑圆柱受力如图。同样可对其瞬心考虑圆柱受力如图。同样可对其瞬心D点用点用动量

44、矩定理。动量矩定理。 =450aBA BaA21122g(1)342AxmlllmF223(2)2AAxm RaFRR 运动学分析：初瞬时运动学分析：初瞬时AB杆无角速度。所以有杆无角速度。所以有tBABAaaaaA450taBA由加速度矢量图可得由加速度矢量图可得t2(3)BAAala方程方程(1)、(2)、(3)联立求解得联立求解得1123g49AmammAB =450CPm1gFAxFAyFB 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院37解：取系统分析，则运动初瞬时的动能为解：取系统分析，则运动初瞬时的动能为2012ATmv2v02220021 1()()2 2CvTMr

45、Mvr22001(2)22BTmvmv2107104ABCDMmTTTTTv222001 33()()2 24DvTMrMvr例例如图，重物如图，重物A和和B通过动滑轮通过动滑轮D和定滑轮和定滑轮C而而运动。如果重物运动。如果重物A开始时向下的速度为开始时向下的速度为v0，试问，试问重物重物A下落多大距离，其速度增大一倍。设重物下落多大距离，其速度增大一倍。设重物A和和B的质量均为的质量均为m，滑轮，滑轮D和和C的质量均为的质量均为M，半径均为半径均为r且为均质圆盘。重物且为均质圆盘。重物B与水平面的动与水平面的动摩擦因数为摩擦因数为f ，绳索质量忽略不计且不能伸长。，绳索质量忽略不计且不能伸

46、长。DABv0C理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院38DABC 系统受力如图所示，设重物系统受力如图所示，设重物A下降下降h高高度时，其速度增大一倍。在此过程中，所度时，其速度增大一倍。在此过程中，所有的力所作的功为有的力所作的功为12dgg2(1 2 )gWm hM hFhMf mh由由1212WTT得得203(710 )(1 2 )g4Mm vMf mh解得解得203(710 )4(1 2 )gMm vhMf m速度增大一倍时的动能为速度增大一倍时的动能为220(710 )TMm vmgMgMgmgFNFdFCyFCx如何求运动过程中各段绳如何求运动过程中各段绳的张力

47、及的张力及C处的约束力？处的约束力？理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院39设重物设重物A下降任意位置下降任意位置 s 时的速度为时的速度为vA。DABCvAs227104ABCDAMmTTTTTv系统的动能为系统的动能为1constT 在此过程中，所有的力所作的功为在此过程中，所有的力所作的功为12dgg2(1 2 )gWm sM sFsMf ms并注意并注意 可求得可求得dd0ddAAAvsavtt，2(1 2 ) g710AMf maMm加速度求得后，如何求力？加速度求得后，如何求力？定轴转定轴转动方程动方程质心运质心运动定理动定理动量矩动量矩定理定理质心运质心运动定

48、理动定理由由1212WTT上式两边对时间求导上式两边对时间求导理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院40AB求下落时求下落时B的加速度的加速度j jAB求初瞬时杆的角加速度求初瞬时杆的角加速度AFBC求初瞬时两杆的角加速度求初瞬时两杆的角加速度此类求加速度问题，之所以一般位置的动能及功的表达式不好列出，是此类求加速度问题，之所以一般位置的动能及功的表达式不好列出，是因为这类问题是两个因为这类问题是两个“自由度自由度”的问题，而动能定理只有一个方程，无的问题，而动能定理只有一个方程，无法求两个自由度的问题。若补充其它动力学方程又会出现未知的约束力。法求两个自由度的问题。若补充其

49、它动力学方程又会出现未知的约束力。对于一个自由度的问题，动能定理一般可以求解！前面用动能定理求加对于一个自由度的问题，动能定理一般可以求解！前面用动能定理求加速度的问题都是一个自由度的问题。两个自由度的问题可用动量定理及速度的问题都是一个自由度的问题。两个自由度的问题可用动量定理及动量矩定理或达朗贝尔原理求解！动量矩定理或达朗贝尔原理求解！理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院41一、功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作一、功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作 能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。

50、dWPtd作用力的功率作用力的功率tdddWFrPF vFvttd力偶矩力偶矩(力矩力矩)的功率的功率ddd30zzzWnPMMMttjwd功率的单位：瓦特（功率的单位：瓦特（W），千瓦（），千瓦（kW），），W=J/s 。 我国我国 1马力马力=0.735 kW12-4 12-4 功率功率功率方程功率方程理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院42机器稳定运行时，机械效率机器稳定运行时，机械效率0d/dtT%100输入有用PP 是评定机器质量优劣的重要指标之一，一般情况下是评定机器质量优劣的重要指标之一，一般情况下 。二、功率方程二、功率方程dTWd由由 两边同除以两边同除以

51、dt 得得功率功率方程方程d=ddWTPttd工程中，将功率方程写为工程中，将功率方程写为ddTPt=P输入输入- - P有用有用- - P无用无用起动阶段（加速）：即起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即制动阶段（减速）：即稳定阶段（匀速）：即稳定阶段（匀速）：即0ddtT0ddtT0ddtTP输入输入 P有用有用+ + P无用无用P输入输入 P有用有用+ + P无用无用P输入输入=P有用有用+ + P无用无用理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院43例例质量为质量为m 的板置于两个半径为的板置于两个半径为r ，质量为，质量为m/2的均质圆柱上，如在板上的均质圆柱上，如在

52、板上作用水平力作用水平力F ，求板的加速度。设接触处都有摩擦且无相对滑动。，求板的加速度。设接触处都有摩擦且无相对滑动。 P373.13-17BCAF解：用功率方程求解解：用功率方程求解 设任一瞬时板的速度为设任一瞬时板的速度为 v，则圆柱体，则圆柱体质心速度为质心速度为v/2 ，角速度，角速度ww= v/2r。系统动能系统动能22213112 ( ) 242216mvTmvmv主动力的功率之和主动力的功率之和PF vFv由功率方程由功率方程ddTPt2d 11()d16mvFvtmFa118 求运动有关的量如速度、加速度等，最简单的方法是动能定理。本题在求运动有关的量如速度、加速度等，最简单

53、的方法是动能定理。本题在十三章达朗贝尔原理作为习题出现，求解反而较麻烦。十三章达朗贝尔原理作为习题出现，求解反而较麻烦。va理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院44一、势力场一、势力场1、力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和、力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则此空间称为力场。方向完全由所在位置确定的力作用，则此空间称为力场。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。质点在势力场中受到的场力称为有势力质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力保守力)，如重力、弹力等均为有势力（保

54、守力）。如重力、弹力等均为有势力（保守力）。2、势力场：、势力场： 在力场中在力场中，如果作用于质点的场力作功只决定如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。12-512-5势力场、势能、机械能守恒定律势力场、势能、机械能守恒定律理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院45 二、势能二、势能 在势力场中，质点从位置在势力场中，质点从位置M 运动到任选位置运动到任选位置M0，有势力，有势力所作的功称为质点在位置所作的功称为质点在位置M 相对于位置相对于位置M0的势能，用的势能，用V 表

55、示。表示。00ddddMMxyzMMVF xF yF zFr M0作为势能为零的基准位置，称为零势能点。势能具作为势能为零的基准位置，称为零势能点。势能具有相对性。零势能点可以任意选取，对于不同的零势能点，有相对性。零势能点可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置具有不同的势能。在势力场中同一位置具有不同的势能。弹性力场弹性力场 取弹簧的自然位置为零势能点取弹簧的自然位置为零势能点零势能点的选取零势能点的选取重力场重力场 取取z0处为零势能点处为零势能点221dkV 其中其中d d为弹簧的变形为弹簧的变形0g()gVmzzm h 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程

56、学院46j jd d重力弹性力系统重力弹性力系统 一般取系统的平衡位置作为系统的零势点。一般取系统的平衡位置作为系统的零势点。质量为质量为m，长为，长为l的均质杆用刚性系数为的均质杆用刚性系数为k的弹簧吊住于的弹簧吊住于水平位置平衡。选不同零势能点列出系统的势能。水平位置平衡。选不同零势能点列出系统的势能。平衡时弹簧的初变形为平衡时弹簧的初变形为0g2mkd选水平位置为重力零势能点，自然位置选水平位置为重力零势能点，自然位置O为弹簧零势能点。杆处于为弹簧零势能点。杆处于微小摆角微小摆角j j 时，时，系统的势能为系统的势能为22222011g()g2228lmVklmklkjdjj选杆水平位置

57、平衡时为系统的零势能点，杆处于选杆水平位置平衡时为系统的零势能点，杆处于微小摆角微小摆角j j 时，时，系统的势能为系统的势能为222222000111()g()g22222llVkmklmkljjdddjdjd d0自然位置自然位置平衡位置平衡位置ABOCl理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院47ddddxyzF xF yF zV ()VV xyz， ，是坐标的单值连续函数。是坐标的单值连续函数。V与积分路径无关，积分号内必为全微分与积分路径无关，积分号内必为全微分 ，即，即有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。2

58、0211012102012dddMMMMMMWWWVV FrFrFrM1M2：在在M1位置：位置：01110dMMVWFr在在M2位置：位置：02220dMMVWFr三、有势力的功三、有势力的功xyzOM1M2M0理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院48设质点系只受到有势力设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力或同时受到不作功的非有势力) 作用，作用， 则则211212VVWTT机械能守恒定律机械能守恒定律常量2211 VTVT对非保守系统，设非保守力的功为对非保守系统，设非保守力的功为W12，则有，则有121122)()(WVTVT四、机械能守恒定律四、机械能守

59、恒定律 机械能：系统的动能与势能的代数和。机械能：系统的动能与势能的代数和。这样的系统称为保守系统。这样的系统称为保守系统。等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。zzVyyVxxVVdddd xyzVVVFFFxyz ，质点系的势能：质点系的势能：111()(ddd )ioiMxiiyiiziiMV xyzFxFyFz ， ， ，理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院49 动力学普遍定理动力学普遍定理 动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理 动能定理动能定理矢量形式，投影求解矢量形式，投影求解标量形式标量形式综合应用综合应用根据

60、问题的已知条件和待求量，选择适当的定理根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒定理的应用。求解，包括各种守恒定理的应用。比较复杂的问题，根据需要选用两、三个定理联比较复杂的问题，根据需要选用两、三个定理联合求解。合求解。一般可用动能定理求运动有关的量一般可用动能定理求运动有关的量（速度、（速度、加速度），加速度），用质心运动定理或对定轴的动量矩定理、用质心运动定理或对定轴的动量矩定理、对质心的动量矩定理求约束力。对质心的动量矩定理求约束力。求解过程中，往往要正求解过程中，往往要正确进行运动分析，确进行运动分析， 提供提供正确的运动学补充方程正确的运动学补充方程12-612-