初边值问题的分离变量法

1、2022-6-8上页上页 下页下页 返回返回22( , ) (0, 0), (3.1)( ,0)( ), ( ,0)( ) (0), (3.2)(0, )0, ( , )0 (0). (3.3)ttxxtua uf x ttxlu xxu xxxlutu l tt 利用叠加原理利用叠加原理，(A)的解可看作下列两问题解的叠加：的解可看作下列两问题解的叠加： . 0),(), 0(),()0 ,(),()0 ,(, 0)(2tlutuxxuxxuuautxxtt . 0),(), 0(, 0)0 ,(, 0)0 ,(),()(2tlutuxuxutxfuautxxtt(A)上页上页 下页下页 返

2、回返回31.问题问题(I)的求解的求解分离变量法分离变量法20 (0, 0), (3.4)( )( ,0)( ),( ,0)( ) (0), (3.5)(0, )0, ( , )0 (0). (3.6)ttxxtua utxlu xxu xxxlutu l tt 将将(3.7)代入方程代入方程(3.4)得得 0)()()()(2 tTxXatTxX分离变量分离变量, 得得2( )( )()( )( )TtXxX xa T t 待待定定常常数数 (3.8)上页上页 下页下页 返回返回42( )( )0Tta T t (3.9)( )( )0XxX x (3.10)故故 X, T 应分别满足常微分

3、方程应分别满足常微分方程： )()()()(2xXxXtTatT (3.8)(0) ( )0,( ) ( )0()XT tX l T ttR (0)0,( )0XX l 上页上页 下页下页 返回返回5从而从而X(x)应是下列常微分方程边值问题的非平凡解：应是下列常微分方程边值问题的非平凡解：( )( )0 (3.10)(0)( )0 (3.11)XxX xXX l 上页上页 下页下页 返回返回6xxDeCexX )(情形情形B： = 0 方程方程(3.10)的通解为：的通解为：情形情形A ： 0方程方程(3.10)的通解为：的通解为：), 2 , 1(222 klkk(3.12), 2 , 1

4、(sin)()( kxlkDxXxXkk(3.13) 相应于相应于 k的固有函数为：的固有函数为： 其中其中Dk为任意常数。为任意常数。上页上页 下页下页 返回返回8:)(222所满足的方程为所满足的方程为时，时，当当tTlkk 2222( )( )0kTtaT tl 通解为通解为其中其中Ak， Bk为任意常数。为任意常数。 因此因此 是满足方程是满足方程(3.4)和边界条件和边界条件(3.6)的解。的解。,kkkkkkAA DBB D这这里里，( )( )(cossin)sinkkkkkkkkUXx T tAatBatxlll( )cossin(1,)2,()kkkkkTtAatBatkll

5、T t (3.14)上页上页 下页下页 返回返回9为寻求满足初始条件为寻求满足初始条件(3.5)的解，叠加所有的的解，叠加所有的Uk ，即，即 01sin( ) (b)ttkkk akuBxxll 由叠加原理，由叠加原理，(3.15)也满足方程也满足方程(3.4)和边界条件和边界条件(3.6)，称为称为半通解半通解。将。将(3.15)代入初始条件代入初始条件(3.5)，得，得： 11(cossin)sinkkkkkk ak akuUAtBtxlll(3.15)01sin( ) (a)ktkkuAxxl 000, ( )( )sinsin 2llmnmnmnXXddlllmn 当当，当当上页上页

6、 下页下页 返回返回10函函数数级级数数逐逐项项求求导导定定理理：若若函函数数级级数数un(x)n1满满足足： （1）un(x)在在ba,上上有有连连续续的的导导数数 （2）un(x)n1在在ba,上上逐逐点点收收敛敛于于 S(x)， (3)(un(x)n1在在ba,上上一一致致收收敛敛于于 T(x)， 则则un(x)n1在在ba,上上可可导导，并并且且可可以以逐逐项项求求导导。 陈纪修等陈纪修等数学分析数学分析.下下，高教出版社，高教出版社，P。77,定理定理10.2.6.上页上页 下页下页 返回返回11 lklkdlkakBdlklA00sin)(2sin)(2 (3.16)将将(3.16

7、)代入代入(3.15)中得定解问题中得定解问题()的形式解的形式解:0102( )sincos2( )sinsinsinlklkk audtlllkk akdtxk alll (*)(a) (b)sin0kxll 在在式式、 两两端端同同乘乘以以，并并从从 到到 积积分分，得得上页上页 下页下页 返回返回12利用具有分离变量形式的特解来构造原问题的解，利用具有分离变量形式的特解来构造原问题的解，这种方法称为这种方法称为分离变量法分离变量法。上页上页 下页下页 返回返回13 0)()(lim02 lnndxxx 0)()(lim02 lnndxxx上页上页 下页下页 返回返回14 0)()(li

8、m02 lnndxxuxu上页上页 下页下页 返回返回15 11sin)sincos(kkkkkxlktlakBtlakAUu(3.15) 1)(sin)(sin2kkatxlkatxlkA 1)(cos)(cos2kkatxlkatxlkB 1)(sin)(sin21kkatxlkatxlkA atxatxdaatxatx)(21)()(21 1sin21katxatxkdlklkB问题（问题（）左右行波的叠加左右行波的叠加上页上页 下页下页 返回返回162. 解的物理意义解的物理意义( , )cos()sinkkkkkUx tNtxl 振幅振幅k=1：基波、基音基波、基音k1：谐波、泛音谐

9、波、泛音固有频率固有频率初相位初相位3 kl1 k2 kl0l03l03l22l驻驻 点点分离变量法分离变量法又称又称驻波法驻波法上页上页 下页下页 返回返回17 解：解：以以u(x,t)表示弦上各点表示弦上各点的位移，则的位移，则u(x,t)满足：满足：2 (0, 0)( ,0)( ),( ,0)0(0)(0, )( , )0 (0)ttxxtua utxlu xxu xxlutu l tt (00)( )() ()hxccxhlxcxllc 其其中中xOculh上页上页 下页下页 返回返回18利用利用(3.15)，(3.16) 0kB 02( )sinlkkAdll 022sin()sin

10、clchkhkdldlclllcl 222121( , )sinsincos()khlk ckk au x txtlllc lck 2222sin()hlk clc lc k 从而从而上页上页 下页下页 返回返回193. 非齐次方程的情形非齐次方程的情形2( , ),( )( ,0)0,( ,0)0,(0, )( , )0.ttxxtua uf x tu xu xutu l t 上页上页 下页下页 返回返回201( , ; )( )sinsinkkk akW x tBtxll 02( )( , )sinlkkBfdk al 其其中中解法同问题解法同问题(I)，故，故1( )sin()sinkk

11、k akBtxll (3.29)20(0),(II ) 0:0,( , )0:0t txxtWa WttWWf xxxlW 和和上页上页 下页下页 返回返回21把把(3.29)代入代入(3.27)，得混合问题，得混合问题()的形式解：的形式解：001( , )( , , ) ( )sin()sinttkku x tW x tdk akBtdxll (3.31)可用付氏变换法求非齐次方程可用付氏变换法求非齐次方程上页上页 下页下页 返回返回22非齐次方程的付氏解非齐次方程的付氏解1( , )( )sin (c)nnn xu x tT tl 设问题设问题(A)的解可展开成付氏级数的解可展开成付氏级

12、数 2( , ) (0, 0), (3.1)( ,0)( ), ( ,0)( ) (0), (3.2)(0, )0, ( , )0 (0). (3.3)ttxxtua uf x ttxlu xxu xxxlutu l tt (A)将级数将级数(c)代入方程代入方程(3.1)，得，得22221( )( ) sin( , ) (3.1 )nnnnan xT tTtf x tll 上页上页 下页下页 返回返回23lxntftxfnn sin)(),(102( )( , )sin,1,2,3,lnnftftdnll 其其中中222211( )( ) sin( , )sinnnnnnnan xn xTt

13、Ttfx tlll 则则(3.1)化为化为 22221( )( ) sin( , ) (3.1 )nnnnan xT tTtf x tll 2222, 1,2( )(,)()3nnnnaTtTtfx tnl 故故 上页上页 下页下页 返回返回24lxnxlxnTxunnnn sin)(sin)0()0 ,(1102( )sin,1,2,3,lnndnll 其其中中lxnxlxnTxunnnnt sin)(sin)0()0 ,(1102( )sin,1,2,3,lnndnll (0),(0),1,2,3,nnnnTnT 将级数将级数(c)代入初始条件代入初始条件(3.2)中，得中，得上页上页 下

14、页下页 返回返回252222( )( )( , ),1,2,3,(0),(0),nnnnnnnnaTtTtfx tnlTT 0( )cossin() sin( )nnntnnlnT tatatln alln a tfdn al 101( )cossinsin() sin( )sinnnntnnnlnnu tatatxln allln a tnfdxn all 求解常微分方程初值问题求解常微分方程初值问题得得从而从而上页上页 下页下页 返回返回264 4、非齐次边界条件的情形、非齐次边界条件的情形212( , ), (3.32)( ,0)( ),( ,0)( ), (3.33)(0, )( ),

15、( , )( ). (3.34)ttxxtua uf x tu xxu xxuttu l tt (B) 构造辅助函数构造辅助函数U(x, t)，使其满足给定的边界条件，使其满足给定的边界条件(3.34)，即满足，即满足U(0, t)= 1(t)，U(l, t)= 2(t) 令令u(x, t)= v(x, t)+U(x, t)， 代入问题代入问题(B)，得，得22( , )( , )( , ), ( ,0)( )( ,0),( ,0)( )( ,0),(0, )0,( , )0.ttxxttxxttva vf x tUx ta Ux tv xxU xvxxUxvtv l t 从而化为问题从而化为

16、问题(A)的类型。的类型。上页上页 下页下页 返回返回27一般地，辅助函数一般地，辅助函数U(x, t)可取为可取为 x 的线性函数，即的线性函数，即若两端都是第二类边界条件，则可取为若两端都是第二类边界条件，则可取为 x 的二次函数的二次函数其中其中A(t), B(t)可由边界条件确定。可由边界条件确定。如，由如，由(3.34)( , )( )( )U x tA t xB t2( , )( )( )U x tA t xB t x11212( )( )(0, )( )( )( )( )( , )( )( )( )( )B ttUtB ttttU l tA t lB ttA tl 211( )(

17、 )( , )( )ttU x txtl ( , )( , )( , ) (B)u x tv x tU x t令令， 则则问问题题化化为为故可设故可设上页上页 下页下页 返回返回28221211211( )( )( , ) (0)(0)( ,0)( )(0),(0)(0)( ,0)( )(0),(0, )0,( , )0.ttxxtttva vf x txlv xxxlvxxxlvtv l t 上页上页 下页下页 返回返回29其它边界条件的情形其它边界条件的情形1 ).0(, 0),(, 0), 0(),0(),()0 ,(),()0 ,(),0, 0(02ttlutulxxxuxxulxtu

18、auxtxxtt解：解：002 TaTXX代入边界条件可得：代入边界条件可得：0)()0( lXX求解固有值问题：求解固有值问题： 0)()0(0lXXXX不是固有值；不是固有值；故故时，问题只有平凡解，时，问题只有平凡解，当当00 时，方程的通解为时，方程的通解为当当0 xDxCxX sincos)(上页上页 下页下页 返回返回30由边界条件，得由边界条件，得0cos)(, 0)0( lDlXCX0cos0 lD，必须有，必须有为使为使., 2 , 1,2 kkl, 2 , 1,212sin,21222 kxlkDXlkkkk,的方程的方程代入代入将将Tk 021222 kkTalkTatl

19、kBatlkATkkk 212sin212cos,212sin212sin212cosxlkatlkBatlkAukkk 是满足方程和边界条件的解。是满足方程和边界条件的解。, 2 , 1 k上页上页 下页下页 返回返回31叠加所有解，得叠加所有解，得,212sin212sin212cos1 kkkxlkatlkBatlkAu代入初始条件，得代入初始条件，得 ),(212sin)0 ,(1xxlkAxukk )(212sin212)0 ,(1xxlkalkBxukkt 由特征函数系的正交性，得由特征函数系的正交性，得,212sin)(20 lkxdxlkxlA lkxdxlkxakB0212sin)()12(4上页上页 下页下页 返回返回32其它边界条件的情形其它边界条件的情形2 ).0(, 0),(, 0), 0(),0(),()0 ,(),()0 ,(),0, 0(02ttlutulxxxuxxulxtuauxxtxxtt解：解：002 TaTXX代入边界条件可得：代入边界条件可得：0)()0( lXX求解固有值问题：求解固有值问题： 0)()0(0lXXXX不是固有值；不是固有值；故故时