反馈控制与极点配置

1、Ch.6 线性系统综合线性系统综合目录目录(1/1)(1/1)目目 录录q 概述概述q 6.1 状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈q 6.2 反馈控制与极点配置反馈控制与极点配置q 6.3 系统镇定系统镇定q 6.4 系统解耦系统解耦q 6.5 状态观测器状态观测器q 6.6 带状态观测器的闭环控制系统带状态观测器的闭环控制系统q 6.7 Matlab问题问题q 本章小结本章小结反馈控制与极点配置反馈控制与极点配置(1/5)6.2 反馈控制与极点配置反馈控制与极点配置q 本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极点配置系统

2、的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。点。 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的有完全平行的结论和方法。结论和方法。反馈控制与极点配置反馈控制与极点配置(2/5)q 对线性定常系统对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。 因此在进行系统设计时因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于设法使闭环系统的极点位于s平平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点

3、面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,是可以有效地改善系统的性能品质指标的。是可以有效地改善系统的性能品质指标的。 这样的控制系统设计方法称为极点配置。这样的控制系统设计方法称为极点配置。 在经典控制理论的系统综合中在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还无论采用频率域法还是根轨迹法是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指都是通过改变极点的位置来改善性能指标标,本质上均属于极点配置方法。本质上均属于极点配置方法。 本节所讨论得极点配置问题本节所讨论得极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵则是指如何通过状态反馈阵K的选择的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选使得

4、状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。择的一组期望极点上。反馈控制与极点配置反馈控制与极点配置(3/5)q 由于线性定常系统的特征多项式为实由于线性定常系统的特征多项式为实系数多项式系数多项式,因此考虑到问题的可解性因此考虑到问题的可解性,对期望的极点的选择应注意下列问题对期望的极点的选择应注意下列问题:1) 对于对于n阶系统阶系统,可以而且必须给出可以而且必须给出n个期望的极点个期望的极点;2) 期望的极点必须是实数或成对出期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数现的共轭复数;3) 期望的极点必须体现对闭环系统期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。的性能品质指

5、标等的要求。 p2 p1 p3 反馈控制与极点配置反馈控制与极点配置(4/5)q 基于指定的期望闭环极点基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统给定线性定常连续系统 确定反馈控制律确定反馈控制律uxxBA 使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环个期望的闭环极点也就是成立极点也就是成立vxuKnisBKAii,.,2 , 1,)(*反馈控制与极点配置反馈控制与极点配置(5/5)q 下面分别讨论下面分别讨论: 状态反馈极点配置定理状态反馈极

6、点配置定理 SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法 MIMO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法 输出反馈极点配置输出反馈极点配置状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(1/11)6.2.1 状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理q 在进行极点配置时在进行极点配置时,存在如下问题存在如下问题: 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进则是可以进行极点配置的。行极点配置的。 下面的定理就回答了该问题。下面的定理就回答了该问题。状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(2/11)q 定理定理3-22 对线性定常系统对

7、线性定常系统 (A,B,C)利用线性状态反馈阵利用线性状态反馈阵K,能能使闭环系统使闭环系统 K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为的极点任意配置的充分必要条件为被控系统被控系统 (A,B,C)状态完全能控。状态完全能控。 q 证明证明 (1) 先证充分性先证充分性(条件条件结论结论)。 即证明即证明,若被控系统若被控系统 (A,B,C)状态完全能控状态完全能控,则状态反馈闭则状态反馈闭环系统环系统 K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。必能任意配置极点。 由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被而开环被控系统控系统 (A,B,

8、C)状态能控状态能控,因此一定存在线性变换能将其因此一定存在线性变换能将其变换成能控规范变换成能控规范II形。形。 不失一般性不失一般性,下面仅对能控规范下面仅对能控规范II形证明充分性。形证明充分性。状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(3/11) 下面仅对下面仅对SISO系统进行充分性的证明系统进行充分性的证明,对对MIMO系统可系统可完全类似于完全类似于SISO的情况完成证明过程。的情况完成证明过程。 证明过程的思路为证明过程的思路为:分别求出开分别求出开环与闭环系环与闭环系统的传递函统的传递函数阵数阵比较两传比较两传递函数阵递函数阵的特征多的特征多项式项式建立可建立可极点配极点配置

9、的条置的条件件状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(4/11)证明过程证明过程: 设设SISO被控系统被控系统 (A,B,C)为能控规范为能控规范II形形,则其各矩阵分则其各矩阵分别为别为1.00.0.10bbbCBaaaAnnnn且其传递函数为且其传递函数为nnnnnasasbsbsG.)(1111状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(5/11) 若若SISO被控系统被控系统 (A,B,C)的状态反馈阵的状态反馈阵K为为K=k1 k2 kn则闭环系统则闭环系统 K(A-BK,B,C)的系统矩阵的系统矩阵A-BK为为nnnkakakaBKA-.-1.00.0.10-

10、1211 相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式分别为分别为)(.)()()(.)(.)(11111111kaskassfkaskasbsbsGnnnnknnnnnnk状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(6/11) 如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为f*(s)=sn+a1*sn-1+an*那么那么,只需令只需令fK(s)=f*(s),即取即取a1+kn=a1* an+k1=an*则可将状态反馈闭环系统则可将状态反馈闭环系统 K(A-BK,B,C)的极点配置在特征的极点配置在特征多项式多

11、项式f*(s)所规定的极点上。所规定的极点上。 即证明了充分性。即证明了充分性。 同时同时,我们还可得到相应的状态反馈阵为我们还可得到相应的状态反馈阵为K=k1 k2 kn 其中其中*11in in ikaa 状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(7/11)(2) 再证必要性再证必要性(结论结论条件条件)。 即证明即证明,若被控系统若被控系统 (A,B,C)可进行任意极点配置可进行任意极点配置,则该系则该系统是状态完全能控的。统是状态完全能控的。 采用反证法。采用反证法。 即证明即证明,假设系统是状态不完全能控的假设系统是状态不完全能控的,但可以进行任但可以进行任意的极点配置。意的极点配置

12、。证明过程的思路为证明过程的思路为:对状态不完对状态不完全能控开环全能控开环系统进行能系统进行能控分解控分解对能控分对能控分解后的系解后的系统进行状统进行状态反馈态反馈其完全不能其完全不能控子系统不控子系统不能进行极点能进行极点配置配置与假设与假设矛盾矛盾,必必要性得要性得证证状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(8/11)证明过程证明过程:1111121222200AABAxxuxx其中状态变量其中状态变量 是完全能控的是完全能控的;状态变量状态变量 是完全不能控的。是完全不能控的。1 x2 x 对状态反馈闭环系统对状态反馈闭环系统 K(A-BK,B,C)作同样的线性变换作同样的线性变换

13、,有有11111112121222200AB KAB KBA xxvxx其中其中12cKKKP 被控系统被控系统 (A,B,C)状态不完全能控状态不完全能控,则一定存在线性变换则一定存在线性变换x=Pc ,对其可进行能控分解对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型得到如下状态空间模型: x状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(9/11) 由上式可知由上式可知,状态完全不能控子系统的系统矩阵状态完全不能控子系统的系统矩阵 的特的特征值不能通过状态反馈改变征值不能通过状态反馈改变,即该部分的极点不能配置。即该部分的极点不能配置。22A 虽然状态完全能控子系统的虽然状态完全能控子系统的 的特征值

14、可以任意配的特征值可以任意配置置,但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵 的特的特征值个数。征值个数。11AA 因此因此,系统系统 的所有极点并不是都能任意配置。的所有极点并不是都能任意配置。( , ,)A B C 由于线性变换不改变系统特征值由于线性变换不改变系统特征值,因此系统因此系统 (A,B,C)的极的极点并不是都能任意配置的。点并不是都能任意配置的。 这与前面假设矛盾这与前面假设矛盾,即证明被控系统即证明被控系统 可任意极点配置可任意极点配置,则则是状态完全能控的。是状态完全能控的。 故必要性得证。故必要性得证。 状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置

15、定理(10/11)q 由能控规范由能控规范II形的状态反馈闭环系统的传递函数形的状态反馈闭环系统的传递函数表明表明,状态反馈虽然可以改变系统的极点状态反馈虽然可以改变系统的极点,但不能改变系统的零点。但不能改变系统的零点。 当被控系统是状态完全能控时当被控系统是状态完全能控时,其极点可以进行任意配置。其极点可以进行任意配置。 因此因此,当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重合时合时,则闭环系统的传递函数中将存在零极点相消现象。则闭环系统的传递函数中将存在零极点相消现象。 根据零极点相消定理可知根据零极点相消定理可知,闭环系统或状态不能控或状态闭

16、环系统或状态不能控或状态不能观。不能观。)(.)(.)(11111kaskasbsbsGnnnnnnk状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理(11/11) 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控特性特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。故该闭环系统只能是状态不完全能观的。 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。 从以上说明亦可得知从以上说明亦可得知,若若SISO系统没有零点系统没有零点,则状态反馈则状态反馈不改变系统的状态能观性。不改变系统的状态能观性。SISO系统状态反馈极点配置方法

17、系统状态反馈极点配置方法(1/10)6.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法q 上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置的充分必要条件的充分必要条件,而且给出了求反馈矩阵而且给出了求反馈矩阵K的一种方法。对此的一种方法。对此,有如下讨论有如下讨论:1. 由上述定理的充分性证明中可知由上述定理的充分性证明中可知,对于对于SISO线性定常连续线性定常连续系统的极点配置问题系统的极点配置问题,若其状态空间模型为能控规范若其状态空间模型为能控规范II形形,则相应反馈矩阵为则相应反馈矩阵为K=k1 kn=an*-

18、an a1*-a1其中其中ai和和ai*(i=1,2,n)分别为开环系统特征多项式和所期望分别为开环系统特征多项式和所期望的闭环系统特征多项式的系数。的闭环系统特征多项式的系数。SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(2/10)11222cccATATBT B对能控规范对能控规范II形形 进行极点配置进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如求得相应的状态反馈阵如下下因此因此,原系统原系统 的相应状态反馈阵的相应状态反馈阵K为为*1111nnnnKaaaaaa2cKKT2. 若若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范被控系统的状态空间模型不为能控规范II形形,则由则由4.6节讨

19、论的求能控规范节讨论的求能控规范II形的方法形的方法,利用线性变换利用线性变换x=Tc2 ,将系统将系统 (A,B)变换成能控规范变换成能控规范II形形 ,即有即有x ( ,) A BSISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(3/10)例例2q 下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。的方法。q 例例6-2 设线性定常系统的状态方程为设线性定常系统的状态方程为122131 xxu求状态反馈阵求状态反馈阵K使闭环系统的极点为使闭环系统的极点为-1j2。SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(4/10)q 解解 1： 判断

20、系统的能控性。判断系统的能控性。 开环系统的能控性矩阵为开环系统的能控性矩阵为114-2ABB则开环系统为状态能控则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。可以进行任意极点配置。2. 求能控规范求能控规范II形形:1025108121613/16/11012212111211BTBATTAATTTABBTccccSISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(5/10)3. 求反馈律求反馈律: 因此开环特征多项式因此开环特征多项式f(s)=s2-2s-5,而由期望的闭环极点而由期望的闭环极点-1 j2所确定的期望闭环特征多项式所确定的期望闭环特征多项式f*(s)=s2+2s+5,则

21、得状态反馈阵则得状态反馈阵K为为3/263/7-81-21-61)2- ( -2)5- ( -5-121*12*212ccTaaaaTKK则在反馈律则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为下的闭环系统的状态方程为SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(6/10)11582141713 xxu通过验算可知通过验算可知,该闭环系统的极点为该闭环系统的极点为-1j2,达到设计要求。达到设计要求。SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(7/10)例例3q 例例6-3 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为)2)(1(10)(ssssG试选择一种状态空间实现

22、并求状态反馈阵试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点使闭环系统的极点配置在配置在-2和和-1j上。上。q 解解 1：要实现极点任意配置：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。则系统实现需状态完全能控。 因此因此,可选择能控规范可选择能控规范II形来建立被控系统的状态空间模形来建立被控系统的状态空间模型。型。 故有故有SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(8/10)0100001002311000 xxuyx2. 系统的开环特征多项式系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭环和由期望的闭环极点所确定的闭环特征多项式特征多项式f*(s)

23、分别为分别为f(s)=s3+3s2+2sf*(s)=s3+4s2+6s+4则相应的反馈矩阵则相应的反馈矩阵K为为K=a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(9/10)q 因此因此,在反馈律在反馈律u=-Kx+v下下,闭环系统状态方程为闭环系统状态方程为0100001046411000 xxuyxq 在例在例6-3中中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需先求系统实现需先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。即需选择状态变量和建立状态空间模型。 这里就存在一个所选择的状态变量是否

24、可以直接测量、这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、可以直接作反馈量的问题。可以直接作反馈量的问题。SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(10/10) 由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的,因此对因此对实际控制系统实际控制系统,它可能不能直接测量它可能不能直接测量,更甚者是抽象的数更甚者是抽象的数学变量学变量,实际中不存在物理量与之直接对应。实际中不存在物理量与之直接对应。 若状态变量不能直接测量若状态变量不能直接测量,则在状态反馈中需要引入所谓则在状态反馈中需要引入所谓的状态观测器来估计系统的状态变量的值的状态观测

25、器来估计系统的状态变量的值,再用此估计值再用此估计值来构成状态反馈律。这将在下节中详述。来构成状态反馈律。这将在下节中详述。MIMO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(1/2)6.2.3 MIMO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法q MIMO线性定常连续系统极点配置问题的提法为线性定常连续系统极点配置问题的提法为:nisBKAii,.,2 , 1,)(* 对给定的状态完全能控的对给定的状态完全能控的MIMO被控系统被控系统(A,B)和一组和一组所期望的闭环极点所期望的闭环极点 ,要确定要确定r n的反馈矩阵的反馈矩阵K,使成立使成立nisi,.,2 , 1,*MIM

26、O系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法(2/2)q 对对SISO系统系统,由极点配置方法求得的状态反馈阵由极点配置方法求得的状态反馈阵K是唯一的是唯一的,而而由由MIMO系统的极点配置所求得的状态反馈阵系统的极点配置所求得的状态反馈阵K不唯一。不唯一。 这也导致了求取这也导致了求取MIMO系统极点配置问题的状态反馈矩系统极点配置问题的状态反馈矩阵的方法多样性。阵的方法多样性。 MIMO系统极点配置主要方法有系统极点配置主要方法有:(1) 化为单输入系统的极点配置方法化为单输入系统的极点配置方法(2) 基于基于MIMO能控规范形的极点配置方法能控规范形的极点配置方法(3) 鲁棒特征结

27、构配置的极点配置方法。鲁棒特征结构配置的极点配置方法。 下面分别介绍前下面分别介绍前2种方法。种方法。 化为单输入系统的极点配置方法化为单输入系统的极点配置方法(1/8)1. 化为单输入系统的极点配置方法化为单输入系统的极点配置方法q 对能控的多输入系统对能控的多输入系统,若能先通过状态反馈化为单输入系统若能先通过状态反馈化为单输入系统,则则可以利用前面介绍的可以利用前面介绍的SISO系统的极点配置方法来求解系统的极点配置方法来求解MIMO系统的极点配置问题的状态反馈矩阵。系统的极点配置问题的状态反馈矩阵。q 为此为此,有如下有如下MIMO系统极点配置矩阵求解算法步骤。系统极点配置矩阵求解算法

28、步骤。第第1步步: 判断系统矩阵判断系统矩阵A是否为循环矩阵是否为循环矩阵(即每个特征值仅有即每个特征值仅有一个约旦块或其几何重数等于一个约旦块或其几何重数等于1)。 若否若否,则先选取一个则先选取一个r n维的反馈矩阵维的反馈矩阵K1,使使A-BK1为为循环矩阵循环矩阵,并令并令 ;若是若是,则直接令则直接令 。1AABKAA化为单输入系统的极点配置方法化为单输入系统的极点配置方法(2/8)第第3步步: 对于等价的单输入系统的极点配置问题对于等价的单输入系统的极点配置问题,利用单输入利用单输入极点配置方法极点配置方法,求出状态反馈矩阵求出状态反馈矩阵K2,使极点配置在期望使极点配置在期望的闭

29、环极点的闭环极点 。nisi,.,2 , 1,*第第2步步: 对循环矩阵对循环矩阵,适当选取适当选取r维实列向量维实列向量p,令令b=Bp且为能且为能控的。控的。第第4步步: 当当A为循环矩阵时为循环矩阵时,MIMO系统的极点配置反馈矩阵系统的极点配置反馈矩阵解解K=pK2;当当A不为循环矩阵时不为循环矩阵时,MIMO系统的极点配置反系统的极点配置反馈矩阵解馈矩阵解K=pK2+K1。化为单输入系统的极点配置方法化为单输入系统的极点配置方法(3/8)例例4q 在上述算法中在上述算法中,之所以需要判断系统矩阵之所以需要判断系统矩阵A是否为循环矩阵是是否为循环矩阵是因为对单输入系统因为对单输入系统,

30、 若若A不为循环矩阵不为循环矩阵(其某个特征值对应约旦块多于一个其某个特征值对应约旦块多于一个),则则根据推论根据推论3-1,系统直接转化成的单输入系统不能控系统直接转化成的单输入系统不能控,不能不能进行极点配置。进行极点配置。q 例例6-4 设线性定常系统的状态方程为设线性定常系统的状态方程为uxx110110100010011求状态反馈阵求状态反馈阵K使闭环系统的极点为使闭环系统的极点为-2,-1j2。 化为单输入系统的极点配置方法化为单输入系统的极点配置方法(4/8)例例4q 解解 (1) 判断系统的能控性。判断系统的能控性。 由于被控系统状态空间模型恰为约旦规范形由于被控系统状态空间模

31、型恰为约旦规范形,由定理由定理3-2可可知知,该开环系统为状态能控该开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。可以进行任意极点配置。(2) 由于系统矩阵由于系统矩阵A不为循环矩阵不为循环矩阵,需求取需求取r n维的反馈矩阵维的反馈矩阵K1,使使为循环矩阵。为循环矩阵。 试选反馈矩阵试选反馈矩阵K1为为:100000化为单输入系统的极点配置方法化为单输入系统的极点配置方法(5/8)例例4 可以验证可以验证为循环矩阵。为循环矩阵。2000101111BKAA(3) 对循环矩阵对循环矩阵 ,选取选取r维实列向量维实列向量p=1 1 为为,可以验证可以验证A211,200010111),(),(BpA

32、bA为能控的。为能控的。化为单输入系统的极点配置方法化为单输入系统的极点配置方法(6/8)例例4(4) 对于等价的能控的单输入系统对于等价的能控的单输入系统 的极点配置问题的极点配置问题,利用利用单输入极点配置方法单输入极点配置方法,求出将闭环极点配置在求出将闭环极点配置在-2,-1j2的状态的状态反馈矩阵反馈矩阵K2为为),(bA211112121300112224312642286cTBABA BTTT AT A K2=-24 -68 50 计算过程为计算过程为化为单输入系统的极点配置方法化为单输入系统的极点配置方法(7/8)例例4 因此系统开环特征多项式因此系统开环特征多项式f(s)=|

33、sI-A|=s3-4s2+5s-2,而由期望的闭环极点而由期望的闭环极点-3,-1j2所确定的期望的闭环特征多所确定的期望的闭环特征多项式项式f(s)=s3+4s2+9s+10,则得系统的状态反馈阵则得系统的状态反馈阵K2为为1*1223322112- 243110-(-2) 9-54-(-4)2642286246850ccKKTa aa aa a T 化为单输入系统的极点配置方法化为单输入系统的极点配置方法(8/8)例例4(5) 对对MIMO系统的极点配置反馈矩阵解为系统的极点配置反馈矩阵解为4968245068241000005068241112KpKK则在反馈律则在反馈律u=-Kx+v下

34、的闭环系统的状态方程为下的闭环系统的状态方程为vxx1101109813648506924496925通过验算可知通过验算可知,该闭环系统的极点为该闭环系统的极点为-2,-1j2,达到设计要求。达到设计要求。 基于基于MIMO能控规范能控规范II形的极点配置方法形的极点配置方法(1/1)2. 基于基于MIMO能控规范形的极点配置方法能控规范形的极点配置方法 q 类似于前面介绍的类似于前面介绍的SISO系统的极点配置方法系统的极点配置方法,对能控的对能控的MIMO系统系统,也可以通过线性变换将其变换成旺纳姆能控规范也可以通过线性变换将其变换成旺纳姆能控规范II形或龙伯格能控规范形或龙伯格能控规范

35、II形形,然后再进行相应的极点配置。然后再进行相应的极点配置。 这种基于能控规范形的极点配置方法这种基于能控规范形的极点配置方法,计算简便计算简便,易于求解。易于求解。 下面分别介绍。下面分别介绍。 基于旺纳姆能控规范基于旺纳姆能控规范II形的设计形的设计 基于龙贝格能控规范基于龙贝格能控规范II形的设计形的设计 基于旺纳姆能控规范基于旺纳姆能控规范II形的设计形的设计(1/4)(1) 基于旺纳姆能控规范基于旺纳姆能控规范II形的设计形的设计 q 下面结合一个下面结合一个3个输入变量个输入变量,5个状态变量的个状态变量的MIMO系统的极点系统的极点配置问题求解来介绍基于旺纳姆能控规范配置问题求

36、解来介绍基于旺纳姆能控规范II形的极点配置算形的极点配置算法。法。第一步第一步: 先将能控的先将能控的MIMO系统化为旺纳姆能控规范系统化为旺纳姆能控规范II形，形，变换方法如变换方法如4.6节所介绍的。节所介绍的。 不失一般性不失一般性,设变换矩阵为，所变换成的旺纳姆能控设变换矩阵为，所变换成的旺纳姆能控规范规范II形的系统矩阵和输入矩阵分别为形的系统矩阵和输入矩阵分别为:第二步第二步: 对给定的期望闭环极点对给定的期望闭环极点 ,按旺纳姆能控按旺纳姆能控规范规范II形形 的对角线的维数的对角线的维数,相应地计算相应地计算基于旺纳姆能控规范基于旺纳姆能控规范II形的设计形的设计(2/4)11

37、13121121222322210100000*0010000*0010*0000100*01*wwwwwATATBTB *22*212*5*4*2*13*122*113*3*2*1*1)()()()()(sssssssfassssssssssfnisi,.,2 , 1,*wA基于旺纳姆能控规范基于旺纳姆能控规范II形的设计形的设计(3/4)第三步第三步: 取旺纳姆能控规范取旺纳姆能控规范II形下的反馈矩阵形下的反馈矩阵 为为*131312121111*222221210000000000wK将上述反馈矩阵将上述反馈矩阵 代入旺纳姆能空规范代入旺纳姆能空规范II形验算形验算,可得可得wK*13

38、1211*212223222101000001000000001wwwAB K wK基于旺纳姆能控规范基于旺纳姆能控规范II形的设计形的设计(4/4)第四步第四步: 原系统的反馈矩阵为原系统的反馈矩阵为1wwKK T1wwKK T基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(1/14)(2) 基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计 q 下面结合一个下面结合一个3个输入变量个输入变量,6个状态变量的个状态变量的MIMO系统的极点系统的极点配置问题求解来介绍基于龙伯格能控规范配置问题求解来介绍基于龙伯格能控规范II形的极点配置算形的极点配置算法。法。第一步第一步: 先

39、将能控的先将能控的MIMO系统化为龙伯格能控规范系统化为龙伯格能控规范II形变形变换，方法如换，方法如4.6节所介绍的。节所介绍的。 不失一般性不失一般性,设变换矩阵为设变换矩阵为,所变换成的龙伯格能控规所变换成的龙伯格能控规范范II形的系统矩阵和输入矩阵分别为形的系统矩阵和输入矩阵分别为:基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(2/14)1312111415161212223222126313233343531121312301000000100000001000000010011LLLLLATATBTB 基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(3/14)

40、第二步第二步: 对给定的期望闭环极点对给定的期望闭环极点 ,按龙伯格能按龙伯格能控规范控规范II形形 的对角线的维数的对角线的维数,相应地计算相应地计算nisi,.,2 , 1,*LA*3*2*1123111213*2*2452122*3631( )()()()( )()()( )()fssssssssssafsssssssfssss基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(4/14)第三步第三步: 对龙伯格能控规范对龙伯格能控规范II形形,一定存在状态反馈阵一定存在状态反馈阵 使使得闭环反馈矩阵为得闭环反馈矩阵为 LK*131211*2221*3101000101LLLAB

41、K 其中其中 为期望闭环特征多项式的系数。为期望闭环特征多项式的系数。*ij 因此因此,将开环的将开环的 带入代数上述方程带入代数上述方程,由该方程的第由该方程的第3,5,6行行(即每个分块的最后一行即每个分块的最后一行)可得如下关于状态反馈阵可得如下关于状态反馈阵 的方程的方程LLAB和LK基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(5/14) 由代数方程论知识可知由代数方程论知识可知,上述代数方程组有唯一解。上述代数方程组有唯一解。 由于该方程为下三角代数方程组由于该方程为下三角代数方程组,可以快捷地求解出状态可以快捷地求解出状态反馈矩阵。反馈矩阵。第四步第四步: 原系统的反

42、馈矩阵为原系统的反馈矩阵为1wwKK T*1213131312121111141516*232122232222212126*31323334353131111LK1LLKK T基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(6/14)例例5q 例例6-5 试将线性连续定常系统试将线性连续定常系统 1wwKK T01000000010000310121100001004311401 xxu的闭环极点配置在和的闭环极点配置在和-1, -2 j,-1 2j上。上。 基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(7/14)例例5q 解解 (1) 采用旺纳姆能控规范采用旺纳姆能控

43、规范II形求解。形求解。第一步第一步: 按照按照4.5节求解旺纳姆能控规范节求解旺纳姆能控规范II形的算法步骤求得形的算法步骤求得如下旺纳姆能控规范如下旺纳姆能控规范II形形1wwKK T其中变换矩阵其中变换矩阵 0100001/220010003/2200010013/2200001049/2272414241161/22xxu1410001410 001414310004310wT基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(8/14)例例5第二步第二步: 对给定的期望闭环极点对给定的期望闭环极点 ,按旺纳姆能按旺纳姆能控规范控规范II形的对角线的维数形的对角线的维数,相应地计

44、算相应地计算1wwKK T第三步第三步: 取旺纳姆能控规范取旺纳姆能控规范II形下的反馈矩阵为形下的反馈矩阵为nisi,.,2 , 1,*5*543211( )()+7+24+48+55 +25iifssssssss32796226300000wK则闭环系统的系统矩阵为则闭环系统的系统矩阵为:基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(9/14)例51wwKK T01000001000001000001255548247wwwAB K 基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(10/14)例例5第四步第四步: 原系统的反馈矩阵和闭环系统矩阵分别为原系统的反馈矩阵和

45、闭环系统矩阵分别为 1wwKK T110412066150188100000220100000100-38/22-98/22-3-128/22-144/2200001431-1-4wwKK TABK基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(11/14)例例5(2) 采用龙贝格能控规范采用龙贝格能控规范II形求解。形求解。第一步第一步: 按照按照4.5节求解龙贝格能控规范节求解龙贝格能控规范II形的算法步骤求得形的算法步骤求得如下龙贝格能控规范如下龙贝格能控规范II形形1wwKK T其中变换矩阵其中变换矩阵 01000000010000430121100001003101401x

46、xu1000001000 001001001001001LT基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(12/14)例例5第二步第二步: 对给定的期望闭环极点对给定的期望闭环极点 ,按龙贝格能按龙贝格能控规范控规范II形的对角线的维数形的对角线的维数,相应地计算相应地计算1wwKK T第三步第三步: 期望的闭环系统矩阵为期望的闭环系统矩阵为 nisi,.,2 , 1,*321*22( )(1)(2)(2)595( )(12 )(12 )25fsssj sjsssfssj sjss 0100015950152LLLAB K 基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(

47、13/14)例例5 因此状态反馈阵满足的方程为因此状态反馈阵满足的方程为即即 *121313121211111415*2122232222212111LK119125120131042LK因此可以解得因此可以解得61353431042LK基于龙伯格能控规范基于龙伯格能控规范II形的设计形的设计(14/14)例例5第四步第四步: 原系统的反馈矩阵和闭环系统矩阵分别为原系统的反馈矩阵和闭环系统矩阵分别为 199534110420100000100595000000152152LLKK TABK 输出反馈极点配置输出反馈极点配置(1/6)6.2.4 输出反馈极点配置输出反馈极点配置q 由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间,因此输出反因此输出反馈也称之为部分状态反馈。馈也称之为部分状态反馈。 由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少,因因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。此输出反