第6章极限定理

1、2022-6-81第六章第六章 极限定理极限定理6.1 大数定律大数定律2022-6-82 为研究随机现象的统计规律为研究随机现象的统计规律, 进行大量进行大量重复实验中重复实验中, 当实验次数当实验次数n时时, 频率频率fn在在某种收敛意义下某种收敛意义下(依概率收敛依概率收敛)收敛于某一收敛于某一定数定数, 这是大数定律所描述的内容这是大数定律所描述的内容. 而其概而其概率分布近似于某一分布率分布近似于某一分布(如正态分布如正态分布), 这称这称为中心极限定理为中心极限定理.2022-6-836.1.1 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 定理定理6.1 设随机变量设随机变量X的数学期望与方的数

2、学期望与方差都存在，则对任意的差都存在，则对任意的 有有0, 2)(1)| )(| XDXEXP 2)()| )(| XDXEXP 或者等价的形式或者等价的形式2022-6-84切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式证明证明：我们就连续型的情形证明：我们就连续型的情形证明给出了在随机变量给出了在随机变量X的分布的分布未知时未知时,概率概率 的一个上限的一个上限.2)()| )(| XDXEXP (|()|)PXE X 2022-6-85切比雪夫不等式切比雪夫不等式 |)()|(|EXxdxxfEXXP |22)()(EXxdxxfEXx dxxfEXx)()(122 DX21 可见

3、，当可见，当E(X), D(X)已知时，可对事件已知时，可对事件(|)XEX 发生的概率进行估计发生的概率进行估计.2022-6-86D(X)=0, 则则P(X=EX)=1.证明证明:(反证法反证法)方差性质方差性质(5)必要性的证明必要性的证明()0,P XEX 假设假设P(X=EX)0, 有有: 12,XX 1)|(|lim aXPnn则称则称12,nXXX依概率收敛依概率收敛于于a.记为：记为：PnXa 0)|(|lim aXPnn2022-6-810意思是：当意思是：当a a anX nXn落在落在),( aa内的概率越来越大内的概率越来越大NnN ,aXPnPnXa nXa与与的区别

4、的区别时，时，但并不排除但并不排除 的发生的发生,只不过只不过它发生的可能它发生的可能性极小而已性极小而已)|(| aXn2022-6-811aXn而而意思是：意思是：N , 0 |aXn, ,当当Nn 2022-6-812定理定理6.2 随机变量序列随机变量序列切比雪夫不等式的应用切比雪夫不等式的应用,.2 , 1, nXn若若2)(,)(nnnnXDXE 存在存在,且且满足满足，则，则有有时时0,2 nn 0 PnnX 证证：由切比雪夫不等式：由切比雪夫不等式221)|(|1 nnnXP 两边取极限即可两边取极限即可.2022-6-813 定理定理6.3(切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律)

5、对独立的随对独立的随机变量序列机变量序列Xk, 若满足若满足大数定律大数定律(1)(),(kkXDXE都存在；都存在；(2) 方差有限方差有限, 即存在常数即存在常数C ,使得使得,.2 , 1,)( kCXDk则有则有0)(1111 PnkknkkXEnXn2022-6-814 nkkXnX11: ()0PXE X 则则 该定理表明：该定理表明：在在n充分大时充分大时, 相互独立相互独立的随机变量的算数平均值的随机变量的算数平均值 将比较紧密地聚集在它的数学期望的算将比较紧密地聚集在它的数学期望的算数平均值数平均值 的附近的附近. niiXnX1111()()nkkE XE Xn 2022-

6、6-815独立同分布大数定律独立同分布大数定律 PX推论推论1,.2 , 1,)(,)(2 kXDXEkk 则则 )1()(1nkkXnEXE注注:设设Xk是独立的随机变量序列是独立的随机变量序列, 且且2022-6-816推论推论2 在在n次贝努利试验中次贝努利试验中, 事件事件A发生发生( ),AnnfAn 且且A发生的概率为发生的概率为p=P(A), 则则pAfPn)(贝努利大数定律贝努利大数定律的频率为的频率为注注: 次试验中不发生次试验中不发生在第在第，次试验中发生次试验中发生在第在第这里这里发生的次数发生的次数事件事件kAkAXXnAknikA0, 1,1此定理说明了频率的稳定性此

7、定理说明了频率的稳定性.2022-6-817例例2(,(),1,2,iiE XD Xin ）12(1)nniiYiXn n 证明证明: :随机变量序列随机变量序列Yn依概率收敛于依概率收敛于 . .X1,X2,Xn独立同分布独立同分布, 2022-6-818证明：证明：需证需证0,lim()0, lim()1nnnnP YP Y 或或22214()()(1)nniiD Yi D Xnn 1122()()(1)(1)nnniiiE YE iXin nn n 22224(1)(21)2(21)(1)63 (1)n nnnnnn n 2022-6-8190,0()()nnnP YE YP Y 222

8、()2(21)0()3 (1)nD Ynnn n lim()0nnPnP YY 2022-6-8206.2 中心极限定理中心极限定理 在客观世界中，我们遇到的许多随机现在客观世界中，我们遇到的许多随机现象都是服从或近似服从正态分布的，为什象都是服从或近似服从正态分布的，为什么大量的随机变量都服从正态分布？么大量的随机变量都服从正态分布？ 俄国数学家李亚普诺夫证明了在某些非俄国数学家李亚普诺夫证明了在某些非常一般的充分条件下，独立随机变量的和常一般的充分条件下，独立随机变量的和的分布，当随机变量的个数无限增加时，的分布，当随机变量的个数无限增加时，是趋于正态分布的是趋于正态分布的. 在概率论中，

9、把大量独立的随机变量和在概率论中，把大量独立的随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理统的分布以正态分布为极限的这一类定理统称为称为中心极限定理中心极限定理.2022-6-821 设随机变量序列设随机变量序列 独立同分布，且独立同分布，且kX,.2 , 1, 0)(,)(2 kXDXEkk 记记nXnnnXYnkknkkn/111 则对任意则对任意Rx ，有，有)()(lim)(limxxYPxFnnnn 定理定理6.4 (林德伯格林德伯格列维列维)2022-6-822定理含义定理含义(渐近正态性渐近正态性) nkknXS1独立同分布的随机变量之和独立同分布的随机变量之和将将Sn标准化标准

10、化:(),()nnnSE SD S 得到新的得到新的随机变量随机变量Yn.Yn的分布函数的极限函数是标准正态分布的分布函数的极限函数是标准正态分布.也就是说，可近似地认为：也就是说，可近似地认为：),(21 nnNXnkk ),(121nNXnnkk 或或2022-6-823例例将一颗骰子连掷将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少次，则点数之和不少于于500的概率是多少？的概率是多少？解：解： 设设Xk为第为第k 次掷出的点数次掷出的点数， k=1,2,100，则则 X1, X2, X100独立同独立同分布，而且分布，而且27)( iXE123544961)(612 iikXD2022-6-8

11、24由独立同分布的中心极限定理由独立同分布的中心极限定理)1235100,27100(),(21001 NnnNXii 123510271005001)500(1001 iiXP0)78. 8(1 2022-6-825棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理 定理定理6.5 设随机变量设随机变量Xn服从参数为服从参数为n, p(0p1)的的二项分布，则对任意二项分布，则对任意x，有，有lim()( )(1)nnXnpPxxnpp 此定理表明此定理表明, ,正态分布是二项分布的极限分正态分布是二项分布的极限分布布. .当当n充分大时充分大时, ,服从二项分布的随机变量服从二项分布的随机变量的概率计算

12、可以转化为正态随机变量的概的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算率计算. .2022-6-826推论推论 XB(n,p), n充分大时，有充分大时，有)()()(npqnpanpqnpbbXaP 计算时常用计算时常用.泊松分布也可泊松分布也可用于近似计算用于近似计算,但要求但要求p很小很小,本定理无此要求本定理无此要求.2022-6-8272022-6-828例例6.4计算机在进行数值计算时，其取整误差计算机在进行数值计算时，其取整误差( 0.5,0.5),XU 若在一项计算中进行了若在一项计算中进行了100次数值计算次数值计算,求平均取整误差绝对值求平均取整误差绝对值小于小于0.1的概率

13、的概率.解：解：令令10021,.,XXX表示各次数值计算表示各次数值计算的取整误差，则的取整误差，则10021,.,XXX独立同分独立同分布于布于)5 . 0 , 5 . 0( U且且121)(, 0)( kkXDXE平均误差为平均误差为 10011001kkXY2022-6-829例例6.4 由中心极限定理，近似地有由中心极限定理，近似地有)12001, 0( NY 于是于是9996. 01)32(2)1200/11 . 0()1200/11 . 0()1 . 01 . 0()1 . 0|(| YPYP10012/1)(, 0)( YDYE 10011001kkXY2022-6-830在一

14、家保险公司里有在一家保险公司里有10000个人参加寿命个人参加寿命保险保险, ,每人每年付每人每年付12元保险费元保险费. .在一年内在一年内一个人死亡的概率为一个人死亡的概率为0.6%, ,死亡时其家属死亡时其家属可向保险公司领得可向保险公司领得1000元元, ,问：问：(1)保险公司亏本的概率有多大？保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变其他条件不变, ,为使保险公司一年的利为使保险公司一年的利润有润有99%的概率不少于的概率不少于60000元元, ,赔偿金赔偿金至多可设为多少？至多可设为多少？例例2022-6-831设设X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n,p

15、)，其中其中 n= 10000，p=0.6%， np=60， npq=59.64 设设Y表示保险公司一年的利润，则表示保险公司一年的利润，则 Y=10000 12-1000X于是由中心极限定理于是由中心极限定理解解(60,59.64)XN(1) P(Y 0)=P(10000 12-1000X 0) =1 P(X 120) 1 (7.769)=02022-6-832(2) 设赔偿金为设赔偿金为a元，则元，则 P(Y60000)=P(10000 12- -aX60000) =P(X60000/a)60000600.9959.64a 29.769 a2022-6-833例例1 设一个系统由设一个系统

16、由100个相互独立工作的个相互独立工作的元件组成元件组成, 每个元件的损坏率为每个元件的损坏率为0.1, 为了为了使整个系统正常工作使整个系统正常工作, 至少必须有至少必须有85个元个元件正常工作件正常工作, 求整个系统正常工作的概率求整个系统正常工作的概率.典型题分析典型题分析解解：设设X是损坏的元件数是损坏的元件数, 则则XB(100,0.1)则整个系统能正常工作当且仅当则整个系统能正常工作当且仅当 X 15 15100 0.15(15)0.9523100 0.1 0.9P X2022-6-834例例2 某单位有某单位有200台电话分机台电话分机, 每台分机有每台分机有5%的时间要使用外线通话的时间要使用外线通话. 假定每台分假定每台分机是否使用外线是相互独立的机是否使用外线是相互独立的, 问该单问该单位