第13章表面展开

1、第 十三 章表 面 展 开 图第十三章第十三章 表面展开图表面展开图 13-1 13-1 表面展开图概述表面展开图概述 13-2 13-2 可展表面展开图画法可展表面展开图画法 13-313-3 不可展表面的近似展开不可展表面的近似展开13-1 表面展开图概述表面展开图概述概念概念：将立体的表面按其实际形状和大小，：将立体的表面按其实际形状和大小，依次摊平在同一个平面上得到的图形。依次摊平在同一个平面上得到的图形。应用：应用：发电厂的管路系统。如热力系统、煤发电厂的管路系统。如热力系统、煤粉系统中的给水、蒸汽、煤粉、烟、粉系统中的给水、蒸汽、煤粉、烟、风管道等的风管道等的弯管接头弯管接头、变形

2、接头变形接头等等 。展开过程展开过程展开图展开图表面表面可展表面可展表面不可展表面不可展表面平面立体平面立体母线为直线的规则曲面立体：母线为直线的规则曲面立体：柱面、锥面柱面、锥面母线是曲线或两条相邻直素母线是曲线或两条相邻直素线为交叉直线的曲面立体表线为交叉直线的曲面立体表面面:球面、圆环面、螺旋面球面、圆环面、螺旋面。表面分类表面分类:13-2 可展表面展开图画法可展表面展开图画法 、三角形法把立体的表面看作由若干个把立体的表面看作由若干个三角形平面三角形平面组成，组成，求出各求出各三角形的真形三角形的真形从而画出展开图的方法。从而画出展开图的方法。 图解作图的图解作图的实质实质是是求出各

3、表面的真形。求出各表面的真形。 常用方法：三角形法；正截面法；侧滚法。常用方法：三角形法；正截面法；侧滚法。 求直线真长的方法：求直线真长的方法： 1、直角三角形法。、直角三角形法。 2、换面法。、换面法。 3、旋转法：、旋转法：投影面不动，几何元素绕某一轴线旋转投影面不动，几何元素绕某一轴线旋转到对投影面处于特殊位置。到对投影面处于特殊位置。 旋转轨迹旋转轨迹圆圆旋转半径旋转半径RLOARB旋转后位旋转后位置不变置不变aa1aa1lOlO 点的旋转规律：点的旋转规律：水平投影在圆上移动；水平投影在圆上移动； 正面投影在直线上来回摆动。正面投影在直线上来回摆动。 直线的旋转规律直线的旋转规律a

4、1a1aaXObbTLab例：已知直线例：已知直线AB的两面投影，的两面投影， 用用旋转法旋转法求其实长。求其实长。1. 选旋转轴：选择过选旋转轴：选择过B点且垂直点且垂直于于H面的直线作旋转轴。（面的直线作旋转轴。（投影图中可不画）投影图中可不画） 2. 以以b点为圆心，点为圆心，ab为半径将为半径将a旋转到旋转到a1位置，使位置，使ba1/OX。3. a点沿直线移动到点沿直线移动到a1点。点。4. 连接连接a1b，即为所求实长。，即为所求实长。例例1、求作截头三棱锥的展开图。、求作截头三棱锥的展开图。bss za c2 1 3 1、求SA、SB、SC实长TLSBTLSATLSC例例1、求作

5、截头三棱锥的展开图。、求作截头三棱锥的展开图。bss za c2 1 3 ABC2、画三棱锥展开图3、画截头三棱锥展开图AATLSBTLSATLSCTLSBTLSCSTLSATLSAs例例2、求作正圆锥的展开图。、求作正圆锥的展开图。计算法计算法LdR=LLd23601. 计算圆心角计算圆心角LdLd18023602. 根据根据L和和画出画出展开图展开图例例2、求作正圆锥的展开图。、求作正圆锥的展开图。图解法图解法1. 把圆锥底圆分成把圆锥底圆分成若干等份若干等份 2. 作出通过各分点作出通过各分点的素线的素线 01234561 2 3 5 4 S 0 6 LdIVVVIVIV00S4. 画出

6、起始边画出起始边S0，并在圆弧上截取并在圆弧上截取0I=01,I=12I0=10，即得展开，即得展开图图 。3. 画以素线真长画以素线真长L为半径的圆弧。为半径的圆弧。例例3、求作截头正圆锥的展开图。、求作截头正圆锥的展开图。 图解法图解法1. 画出完整圆锥的画出完整圆锥的展开图。展开图。 2. 求出截平面求出截平面Pv与与素线素线S0、SI交点交点01、I1 5. 用曲线将它们按用曲线将它们按顺序光滑连接成顺序光滑连接成曲线。曲线。1121314161514. 确定确定2所述交点在所述交点在展开图上的相应展开图上的相应应位置应位置01、I13. 求出求出S0、SI的实长。的实长。Pv01例例

7、4、求斜椭圆锥（台）的展开图。、求斜椭圆锥（台）的展开图。 图解法图解法1. 画出完整圆锥。画出完整圆锥。 2. 将底圆分成若干等将底圆分成若干等份，将各分点与份，将各分点与顶点顶点S连接，得各连接，得各素线的投影素线的投影 。S S01245630 1 0I3. 求各素线的真长求各素线的真长S0、S1、 S6。 4. 以真长以真长S0、S1和弧和弧01的弦长为的弦长为边作三角形，得边作三角形，得点点。同法可得。同法可得点点、。3. 用曲线将它们按用曲线将它们按顺序光滑连接成顺序光滑连接成曲线。曲线。4. 同法求出上底圆同法求出上底圆在展开图上的曲在展开图上的曲线。线。 例例5、求作煤斗的展开

8、图。、求作煤斗的展开图。图解法图解法1. 作四个梯形表面的对作四个梯形表面的对角线角线AB1 , AD1 , DC1 , C1 B将四个梯形表面将四个梯形表面分成八个三角形。分成八个三角形。 例例5、求作煤斗的展开图。、求作煤斗的展开图。2. 求出各三角形三条边真长求出各三角形三条边真长 。a0a03. 从从AB1边开始，以边开始，以AB1 、 AA1、 A1B1三边的真长为边作三边的真长为边作AA1B1。B1A1A4. 作出作出ABB1、BB1C1、AA1D1，完成四梯形表面的展开图，完成四梯形表面的展开图 。图解法图解法AA1AB1AD1DD1DC1图解法图解法例例6、求作变形接头（方圆节

9、）的展开图。、求作变形接头（方圆节）的展开图。1. 可分成四个等腰三可分成四个等腰三角形平面和四个局角形平面和四个局部斜椭圆锥面。部斜椭圆锥面。2. 求求A、A两条素两条素线的真长线的真长 (旋转法旋转法)。圆管圆管方管方管图解法图解法2. 从等腰三角形的高从等腰三角形的高0开始作展开图。开始作展开图。 例例6、求作变形接头（方圆节）的展开图。、求作变形接头（方圆节）的展开图。圆管圆管方管方管I0AII0I二、正截面法二、正截面法正截面法：正截面法：棱柱棱柱和和正圆柱正圆柱。正截面正截面垂直垂直于棱线，展开时正截面的边于棱线，展开时正截面的边展开为一条直线，该直线与棱的展开为一条直线，该直线与

10、棱的垂直关垂直关系系保持不变。保持不变。展开时，求出各展开时，求出各棱线的真长棱线的真长以及相邻二以及相邻二棱线间的棱线间的距离距离，以确定各棱面的，以确定各棱面的真形真形。 正截面正截面例例1、求斜截直四棱柱的展开图。、求斜截直四棱柱的展开图。ABCDAA1B1C1D1A11. 将下底面展开成一条直线，量取将下底面展开成一条直线，量取AB=ab、BC=bc、CD=cd、DA=da。3. 顺次用直线连接顺次用直线连接A1、B1、C1、D1、A1，即得展开图。，即得展开图。 2. 过过A、B、C、D、A各点作棱线垂直于直线各点作棱线垂直于直线ABCDA。例例2、求作斜棱柱的展开图。、求作斜棱柱的

11、展开图。1. 任作任作PV垂直于棱线，求出截交线垂直于棱线，求出截交线 I II III IV(1234,1234)。 3. 画展开图。画展开图。 2. 求正截面求正截面的真形的真形11213141。 AA1BB1CC1DD1AA111312141IIIIIIIVI例例3、求作正交三通的展开图。、求作正交三通的展开图。d2d112345654321001. 准确求出三视图中的相贯线。准确求出三视图中的相贯线。 3. 作圆柱作圆柱 II 的展开图的展开图。 2. 作圆柱作圆柱 I 的展开图。的展开图。 MNd2ABCA BCd2d1d1三、测滚法三、测滚法基本原理：基本原理：绕平行于投影面的旋转

12、轴旋转各绕平行于投影面的旋转轴旋转各 棱面，称为绕平行轴旋转法。棱面，称为绕平行轴旋转法。展开条件：展开条件：各棱线必须平行于某一投影面。各棱线必须平行于某一投影面。适用范围：适用范围：棱线平行于投影面的斜棱柱和素棱线平行于投影面的斜棱柱和素 线平行于投影面的斜椭圆柱。线平行于投影面的斜椭圆柱。BB1CC1例例1、画出斜四棱柱的展开图。、画出斜四棱柱的展开图。1. 以棱以棱CC1为轴旋转棱面为轴旋转棱面CC1B1B，使其平行于，使其平行于V面。面。 作法：作法：过过b作直线垂直作直线垂直于于cc1，以，以c为圆心，为圆心，CB的水平投影的水平投影cb（反映（反映CB的真长）为半径画弧的真长）为

13、半径画弧与上述所画垂线交于点与上述所画垂线交于点B，连，连cB，且以，且以cB和和cc1为邻边作平行四边为邻边作平行四边形形B1B,即为棱面即为棱面CC1B1B的展开图。的展开图。 CBB1C1AA12. 再以已经展开的再以已经展开的B1B的的边边B1B为轴旋转棱面为轴旋转棱面BB1A1A。 作法：作法：过过a作作BB1的垂线的垂线，以，以B为圆心，为圆心，ba(BA的的真长真长)为半径画弧，交所为半径画弧，交所引垂线于引垂线于A点，以点，以BB1和和BA为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形BB1A1A. 3. 用同法求出用同法求出AA1D1D和和DD1C1C二棱二棱面的真形，完面的真形，完成

14、斜四棱柱的成斜四棱柱的展开图。展开图。 应用：应用：求求BB1C1C上上点点K在展开在展开图上的位置图上的位置作法：作法：过过K点作平点作平行于棱线的行于棱线的辅助线辅助线LK，在展开图上在展开图上求出求出LK的位的位置，在置，在LK上上即可确定点即可确定点K的位置。的位置。例例2、求作斜椭圆柱的展开图、求作斜椭圆柱的展开图 。1. 将斜椭圆柱面分为若干等将斜椭圆柱面分为若干等份。份。 I2. 以以0号素线为轴旋转号素线为轴旋转0面面, 作法：作法：过过1作素线的垂线作素线的垂线,以以0为圆心为圆心,01为半径画弧为半径画弧与所作垂线交于点与所作垂线交于点。 3. 过点过点作平行于素线的直线作

15、平行于素线的直线，再以此直线为轴旋转，再以此直线为轴旋转面，求出面，求出点点 。II例例1、求作斜椭圆柱的展开图、求作斜椭圆柱的展开图 。IIIIII5. 分别将两侧各点顺次连分别将两侧各点顺次连 接成光滑曲线，即得到接成光滑曲线，即得到斜椭圆柱的展开图。斜椭圆柱的展开图。 4. 依次求出依次求出、0各各点。再分别以点。再分别以0、各点为圆心截取各点为圆心截取各素线的真长，得到各各素线的真长，得到各素线的另一个端点。素线的另一个端点。 13-3 不可展曲面的近似展开不可展曲面的近似展开1.圆环的展开圆环的展开(俗称俗称虾米腰虾米腰)1.将直角弯管用五节圆管近似代替将直角弯管用五节圆管近似代替(三个整节两个半节三个整节两个半节)2.将五节圆管排列成一根圆管将五节圆管排列成一根圆管13.将圆管分成将圆管分成12等份等份0342560 14.将圆管展开并求出各截交线将圆管展开并求出各截交线2 3 4560123452.球面的展开球面的展开(柳叶状展开柳叶状展开)1.将球