第9章勒让德多项式

1、江西理工大学理学院江西理工大学理学院第第9章章 勒让德多项式勒让德多项式 本章我们来讨论在第本章我们来讨论在第7章所建立的勒让德方程的章所建立的勒让德方程的解法，以及解的性质，这个解构成了另一类特殊函数解法，以及解的性质，这个解构成了另一类特殊函数.9.1 勒让德方程的求勒让德方程的求解解把把7.2中的勒让德方程写成如下的形式中的勒让德方程写成如下的形式 222(1)2(1)0,d ydyxxn nydxdx (9.1)其中其中n为任意实数为任意实数.江西理工大学理学院江西理工大学理学院22012()nnyxaa xa xa x如同求贝塞尔方程的解一样，设如同求贝塞尔方程的解一样，设(9.1)

2、的解为的解为 0.k ckka x （9.2）求上式的导数，并与求上式的导数，并与(9.2)一起代入一起代入(9.1)得：得：0()(1)(1)k ckkkc kcn na x 20()(1)0.k ckkkc kca x （9.3） 江西理工大学理学院江西理工大学理学院0k 上式是上式是的各乘幂的系数必全为零，的各乘幂的系数必全为零，然后令它等于零，然后令它等于零，x的恒等式，所以的恒等式，所以x在上式第二个和式中令在上式第二个和式中令0,k 便得到便得到2cx的系数，的系数，0(1)0.c ca由此得由此得 或0,1.cc 为了得到一般项系数的表达式，为了得到一般项系数的表达式，我们把我们

3、把(9.3)写成如下形式：写成如下形式： 20()(1)(1)kkkkckcn na x 20(2)(1)0,kckkkckca x 江西理工大学理学院江西理工大学理学院于是由一般项于是由一般项 k cx 的系数等于零，得到递推公式的系数等于零，得到递推公式 2()(1)(1)(0,1,2,),(1)(2)kkkc kcn naakkckc 这便是级数这便是级数(9.2)的系数间应满足的递推公式的系数间应满足的递推公式. 令0 , 2 , 4 , 2,ki 即有即有取 0c 2()(1)(0,1,2,).(2)(1)kkkn knaakkk 则有则有 （9.4） 江西理工大学理学院江西理工大学

4、理学院20(1),2!n naa 240(2)(1)(3)(1),4!n nnnaa 2(2)(22)(1)(3)(21)( 1),0(2 ) !ain nninnniiai 江西理工大学理学院江西理工大学理学院令1 , 3 , 5 , 21 ,ki 则有则有 31(1)(2),3!n nnaa 251(1)(3)(2)(4)(1),5 !nnnnaa 121(1)(3)(21)(2)(4)(2 )( 1).(21) !iainnninnniai 江西理工大学理学院江西理工大学理学院240(1)(2)(1)(3)12!4!n nn nnnyaxx 351(1)(2)(1)(3)(2)(4),3

5、!5!n nnnnnnaxxx (9.5)其中其中01,a a是两个任意常数，由于方程是齐次的，是两个任意常数，由于方程是齐次的，所以函数所以函数241(1)(2)(1)(3)12!4!n nn nnnyxx 352(1)(2)(1)(3)(2)(4),3!5!n nnnnnnyxxx (9.6) (9.7)江西理工大学理学院江西理工大学理学院也都是方程也都是方程(9.1)的解，显然在的解，显然在 010,0aa 的情况下，的情况下， 它们是线性无关的它们是线性无关的.如果开始时取如果开始时取 1c ，重复前面的做法，所得的，重复前面的做法，所得的级数解就是级数解就是 2y从系数的递推公式从系

6、数的递推公式(9.4)容易证明这两个组数的容易证明这两个组数的( 1,1) 内内(9.5)式即为方程式即为方程(9.1)收敛半径都为收敛半径都为1，故在，故在的通解的通解.江西理工大学理学院江西理工大学理学院上节我们求出了方程上节我们求出了方程(9.1)的解，并且从的解，并且从(9.6)与与(9.7)可以看出，当可以看出，当n不是整数时，不是整数时， 12,yy都是无穷级数，在都是无穷级数，在 1x 内它们都绝对收敛。内它们都绝对收敛。 当当 n是整数时，则是整数时，则 1y或者或者 2y便成为多项式，便成为多项式， 系数的表达式为：系数的表达式为： 2(2)(1)(2),()(1)kkkka

7、aknn k kn 江西理工大学理学院江西理工大学理学院于是可以通过多项式的最高次项系数于是可以通过多项式的最高次项系数 na来表示其他来表示其他各次项的系数各次项的系数.2(1),2(21)nnn naan 42(2)(3)(1)(2)(3),4(23)2 4(21)(23)nnnnnnnnnaaannn 64(4)(5)6(23)nnnnaan (1)(2)(3)(4)(5),2 4 6(21)(23)(25)nn nnnnnannn 江西理工大学理学院江西理工大学理学院1x 为了使这些表达式能够写成比较简洁的形式，并且为了使这些表达式能够写成比较简洁的形式，并且为：为：使所得的多项式在使

8、所得的多项式在处取的值等于处取的值等于1我们取我们取na2(2 )!1 3 5(21)(1,2, ).2( !)!nnnnannn 从而相应地有从而相应地有22(1)(2 )!,2(21) 2 ( !)nnnn nnaann 江西理工大学理学院江西理工大学理学院(1)2(21)(22)2(21)2(1)!(1)(2)nn nnnnnn nn nn (22)!,2 (1)!(2)!nnnn 4(2)(3)(22)!4(23)2 (1)!(2)!nnnnnannn (2)(3)(22)(23)(24)4 2 (23)(1)(2)!(2)(3)(4)!nnnnnnnnnnnn (24)!,2 2!(

9、2)!(4)!nnnn 江西理工大学理学院江西理工大学理学院一般言之，当一般言之，当 20nm 时，我们有：时，我们有：2(22 )!( 1).2!()!(2 )!mnmnnmam n mnm 如果如果n是正偶数时，将这些系数代入是正偶数时，将这些系数代入(9.6)得到得到212(2 )!(22)!2 ( !)2 (1)!(2)!nnnnnnyxxnnn 220(22 )!( 1).2!()!(2 )!nmnmnmnmxm n mnm 江西理工大学理学院江西理工大学理学院如果如果n是正奇数时，则有是正奇数时，则有12220(22)!( 1).2!()!(2)!nmnmnmnmyxmnmnm 把

10、这两个多项式写成统一的形式，得把这两个多项式写成统一的形式，得20(22 )!P ( )( 1)2!()!(2 )!MknkMlknkxxknknk (9.8)当为偶数时当为奇数时,21,.2nnMnn 这个多项式称为次的勒让德多项式。次的勒让德多项式。n江西理工大学理学院江西理工大学理学院式（式（9.8）即为）即为勒让德多项式的级数表示勒让德多项式的级数表示注意到注意到cosx, 故可方便地得出前几个勒让德多项式故可方便地得出前几个勒让德多项式: 0P ( )1x 1P ( )cosxx2211P ( )(31)(3cos 21)24xx3311P ( )(53 )(5cos33cos )2

11、8xxx42411P ( )(35303)(35cos420cos29)864xxx53511P ( )(637015 )(63cos535cos330cos )8128xxxx642611P ( )(2313151055)(231cos6126cos4105cos250)16512xxxx江西理工大学理学院江西理工大学理学院勒让德多项式的图形可通过计算机仿真勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如如MATLAB仿真仿真)得到得到 图 9.1 江西理工大学理学院江西理工大学理学院勒让德多项式的微分表示勒让德多项式的微分表示 21dP ( )(1)2! dlllllxxlx（9.9） 上式通常又称

12、为上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式表示式下面证明表达式下面证明表达式(9.9)和（和（9.8）是相同的）是相同的【证明证明】用二项式定理把用二项式定理把lx) 1(2展开展开lkkllklkkkllllxklkxkklllxl022022)!( !21) 1() 1()(!)!(!21) 1(!21江西理工大学理学院江西理工大学理学院把上式对把上式对x求导求导l次凡是幂次次凡是幂次(22 )lkl的项在的项在l次求导过程中成为零，所以只需保留幂次次求导过程中成为零，所以只需保留幂次(22 )lkl的项，即的项，即2lk 的项，应取的项

13、，应取max 2lk，并且注意到，并且注意到 222d(22 )(221)22(1)dllklklxlklklklxx因此有因此有22 220 201d(22 )(221)(21)(1)( 1)2 !d2!()!(22 )!( 1)P ( ).2!()!(2 )!llllklklllkklkllklklklkxxlxk lklkxxk lklk江西理工大学理学院江西理工大学理学院9.3 勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质9.3.1 勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质 1. 勒让德多项式的零点勒让德多项式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论：对于勒让德多项式的零点，有如下结论：（i）P

14、( )nx的的n个零点都是实的，且在个零点都是实的，且在) 1 , 1(内；内；（ii）P ( )nx的零点与的零点与1P( )nx的零点互相分离的零点互相分离 2. 奇偶性奇偶性根据勒让德多项式的定义式，作代换根据勒让德多项式的定义式，作代换(),xx 容易得到容易得到P ()( 1) P ( )nnnxx （9.10） 即当即当n为偶数时，勒让德多项式为偶数时，勒让德多项式P ( )nx为偶函数，为偶函数，为奇数时为奇数时为奇函数为奇函数 nP ( )nx江西理工大学理学院江西理工大学理学院下面给出正交性及其模值的证明下面给出正交性及其模值的证明 【证明证明】 （1）正交性）正交性 勒让德

15、多项式必然满足勒让德方程，故有勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有 22d(1)P ( )(1)P ( )0dd(1)P ( )(1)P ( )0dllnnxxl lxxxxn nxx两式相减，并在两式相减，并在-1,1 区间上对区间上对x积分，得积分，得122111ddP ( )(1)P ( )P ( )(1)P ( )ddd (1)(1)P ( )P ( )dnllnlnxxxxxxxxxn nl lxxx11P ( )P ( )d0lnxxx （9.11） 江西理工大学理学院江西理工大学理学院因为上面等式左边的积分值为因为上面等式左边的积分值为 211(1)P ( )P ( )P ( )

16、P ( ) |0nllnxxxxx所以当所以当nl时，必然有时，必然有 11P ( )P ( )d0lnxxx根据根据 成立成立 （2）模）模 （利用分部积分法证明）（利用分部积分法证明） 1221P ( ) dnnNxx为了分部积分的方便，把上式的为了分部积分的方便，把上式的)(xPl用微分表示给出，则有用微分表示给出，则有21212221112121221221221111d (1)dd(1)d2 ( !)ddd1d (1)d(1)1d(1)dd (1)d2 ( !)dd2 ( !)dddllllllllllllllllllllllxxNxlxxxxxxxxlxxlxxx （9.12） 江

17、西理工大学理学院江西理工大学理学院注意到注意到lllxxx) 1() 1() 1(2以以1x为为l级零点，级零点， 故其故其(1)l 阶导数阶导数 121d(1)dlllxx必然以必然以1x为一级零点，从而上式已积出部分的值为零为一级零点，从而上式已积出部分的值为零 112121222111( 1)d(1) d(1)d2 ( !)ddllllllllxxNxlxx再进行再进行l次分部积分，即得次分部积分，即得 221222221( 1)d (1)(1)d2 ( !)dlllllllxNxxlx江西理工大学理学院江西理工大学理学院lx) 1(2是是l 2次多项式，其次多项式，其l 2阶导数也就是

18、最高幂项阶导数也就是最高幂项lx2的的l 2阶导数为阶导数为)!2( l故故 12221(2 )!( 1)(1) (1) d2 ( !)llllllNxxxl 再对上式分部积分一次再对上式分部积分一次112112211111221(2 )!1( 1)(1) (1)(1)(1)d2 ( !)1(2 )!( 1)( 1)(1)(1)d2 ( !)1llllllllllllNxxlxxxllllxxxll 容易看出已积出部分以容易看出已积出部分以1x为零点为零点 至此，分部积分的结果是使至此，分部积分的结果是使) 1( x的幂次降低一次，的幂次降低一次，) 1( x的幂次升高一次，的幂次升高一次，

19、且积分乘上一个相应的常数因子且积分乘上一个相应的常数因子江西理工大学理学院江西理工大学理学院继续分部积分（计继续分部积分（计l次），即得次），即得 120222112121(2 )!11( 1)( 1)(1) (1) d2 ( !)122112(1)22121llllllllllNxxxllllxll 故勒让德多项式的模为故勒让德多项式的模为 122lNl ), 2 , 1 , 0(l且有且有112P ( )P ( )d21llxxxl （9.13） 江西理工大学理学院江西理工大学理学院9.3.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开） 例例9.3.1 将

20、函数函数 3( )f xx按勒让德多项式形式展开按勒让德多项式形式展开.【解解】 根据根据 （9.9）设）设3001 12233P ( )P ( )P ( )P ( )xCxCxCxCx考虑到考虑到 P ()( 1) P ( )nnnxx ，由由(9.10)显然有显然有 020CC江西理工大学理学院江西理工大学理学院11331111333P ( )dd225Cxxxxx x1133333117712P ( )d(5-3 )d2225Cxxxxxxx所以所以31332P ()P ()55xxx例例9.3.2 将函数将函数 cos2 (0)展开为勒让德多项式展开为勒让德多项式P (cos )n形式

21、形式 【解】【解】 用直接展开法用直接展开法令令 cosx，则由，则由22cos22cos121x 我们知道：我们知道：20121P ( )1, P ( ), P ( )(31)2xxxxx江西理工大学理学院江西理工大学理学院可设可设2001 12221P ( )P ( )P ( )xCxCxCx 考虑到勒让德函数的奇偶性，显然考虑到勒让德函数的奇偶性，显然10C 2202121(31)2xCCx由由20,xx项的系数，显然得出项的系数，显然得出2041, 33CC 故有故有 02021414cos(2 )P( )P( )P(cos )P(cos )3333xx江西理工大学理学院江西理工大学理

22、学院下面我们给出一般性结论：下面我们给出一般性结论：结论结论1：设：设 k为正整数，可以证明：为正整数，可以证明：22222220021212123231 1P ( )P( )P ( )P( )P( )P ( )kkkkkkkkkkxCxCxCxxCxCxCx结论结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数( )f x为奇函数，为奇函数， 则展开式（则展开式（9.8）系数）系数20nC若需展开的函数若需展开的函数( )f x为偶函数，则展开式（为偶函数，则展开式（9.8）系数）系数210nC 0,1,2,3,n 江西理工大学理学院江西理工大学理学院例

23、例9.3.3 以勒让德多项式为基，在-1,1区间上把3( )234f xxx展开为广义傅里叶级数展开为广义傅里叶级数【解解】 本例不必应用一般公式本例不必应用一般公式 ，事实上，事实上，( )f x是三次多项式（注意是三次多项式（注意( )f x既非奇函数，也非偶函数），既非奇函数，也非偶函数），设它表示为设它表示为33023012323021323234P ( )111(31)(53 )221335()()2222nnnxxCxCCxCxCxxCCCC xC xC x 江西理工大学理学院江西理工大学理学院比较同次幂即得到比较同次幂即得到3210421, 0, , 455CCCC由此得到由此得

24、到30132142344P ( )P ( )P ( )55xxxxx江西理工大学理学院江西理工大学理学院9.3.3 勒让德多项式的递推公式勒让德多项式的递推公式11(1)P( )(21) P ( )P( )nnnnxnxxnx(1)k （9.14）证明证明 为了证明公式为了证明公式(9.14)，我们将函数，我们将函数( )nxP x展成勒让德多项式的级数展成勒让德多项式的级数.设设 0()(),nkkkxPxCPx 其中其中1121()().2knkkCxPx Px dx 江西理工大学理学院江西理工大学理学院( )nxP x1n 1kn 0kC 由于由于是是次多项式，所以它的展开式次多项式，所以它的展开式次的项，即当次的项，即当时，时，.同时，利用分部积分法，可得同时，利用分部积分法，可得中不可能包含高于中不可能包含高于1n 1121()()2knkkCxPx Px dx 121211( )(1)22!nnnnnkdxP xxdxndx 121121( 1)(1)( ).2!nnnknn