高等数学A-第1章-8-2(数列的极限)

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A1.2 1.2 数列的极限数列的极限1.2.1 数列极限的概念数列极限的概念 1.2.2 数列极限的性质数列极限的性质1.2 1.2 数列的极限数列的极限1.2.1 数列极限的概念数列极限的概念 数列的定义数列的定义数列极限的定义数列极限的定义实例与描述性定义实例与描述性定义数列极限的精确定义数列极限的精确定义数列极限的几何解释数列极限的几何解释用定义验证数列极限用定义验证数列极限步骤步骤数列的极限习例数列的极限习例1-61.2.2 数列极限的性质数列极限的性质极限的唯一性极限的唯一性 收敛数

2、列的有界性收敛数列的有界性收敛数列的保号性收敛数列的保号性 收敛数列与其子数列的关收敛数列与其子数列的关系系数列极限数列极限概念的引入概念的引入一、数列极限一、数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣割，则与圆周合体而无所失矣”(1)(1)割圆术：割圆术：刘徽刘徽R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS(2)(2)截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”1. 数列的定义数列的定义按一定顺序排列的

3、无穷多个数按一定顺序排列的无穷多个数,21nxxx .,nnxx或或记为记为称为无穷数列称为无穷数列.项项称称为为数数列列的的一一般般项项或或通通项项第第nxn例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33,3 从函数观点看，数列是以自然数为自变量的整标函数从函数观点看，数列是以自然数为自变量的整标函数)(nfxn 从几何上看，数列是数轴上的动点从几何上看，数列是数轴上的动点.1x2x3x4xnxx数列的单调性数列的单调性: ;,21单单增增则则

4、称称若若nnxxxx .,21单单减减则则称称若若nnxxxx 数列的有界性数列的有界性: .,;, 0无无界界则则称称不不存存在在若若这这样样的的有有界界则则称称都都有有使使得得对对一一切切若若存存在在nnnnxMxMxxM 实例分析与描述性定义实例分析与描述性定义 nxnn1)1(1 )1( nxn )2(1)1( )3( nnx思考思考1:当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn1无限接近无限接近nx无限增大无限增大nx不不确确定定上上跳跳动动在在,1, 1 nx思考思考2:“无限接近无限接近”意味着什

5、么意味着什么?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它.,1 1来来度度量量的的接接近近程程度度可可用用与与 nnxx .1,1就就越越接接近近与与越越小小nnxx 2. 数列极限的定义数列极限的定义 1nxnnn11)1(1 . 1,1,就就越越接接近近从从而而越越小小越越大大当当可可见见nxnn,10011 nx要要使使;100 n只只要要,100011 nx要使要使;1000 n只要只要,1000011 nx要要使使;10000 n只要只要,1成立成立要使要使 nx).1( Nn只要只要,1,1, 0 nxNnN时有时有当当 .1,无无限限接接近近无无限限增增大大时时当当此此时时达达到到

6、了了nxn定义定义)(N ,axn及及常常数数设设有有数数列列, 0, 0成成立立时时有有当当若若 axNnNn记记为为收收敛敛于于的的极极限限或或称称是是数数列列则则称称.axxannaxnn lim)( 时时当当或或 naxn数列极限的精确定义数列极限的精确定义 注意注意:;)1(的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式axaxnn ;, ,)2(都都不不能能说说明明这这种种无无限限性性因因为为任任何何一一个个确确定定的的数数数数就就要要引引进进任任意意小小的的正正接接近近的的无无限限性性与与要要描描述述 axn;, ;:)3(N确确定定是是否否存存在在对对指指定定的的定定另另一一

7、方方面面给给定定后后相相对对稳稳一一方方面面任任意意具具有有两两重重性性 ;),(,)4(唯唯一一确确定定但但并并不不由由可可记记为为的的指指定定而而确确定定随随 NN(5)数列极限的定义没有给出求极限的方法，只能验证数列极限的定义没有给出求极限的方法，只能验证.数列极限的几何解释数列极限的几何解释 , axNnn时时由由 axaNnn时时有有可可得得.),(21邻域内邻域内的的都落在都落在的的即所有下标大于即所有下标大于 axxxNNNn x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa, ),(21Nxxxaa外只有有限项外只有有限项这样在这样在 而在其内有无穷多项而在其内有无穷多项. 且随着

8、且随着 越小，越小，N 越大，则在越大，则在(a ，a )外的项就越多，但不管怎么多都只可能是外的项就越多，但不管怎么多都只可能是有限项有限项. 步骤步骤:)(| )1(naxn 放大并化简放大并化简,| , 0)2( axn要要使使,)( n只只要要),( Nn 解解得得 .1)( , 1)( ,)( NNNNNN或或或或取取(3)得出结论得出结论: .,成成立立有有时时当当 axNnn.limaxnn 3. 用定义验证数列极限用定义验证数列极限,)( n由由用数列极限的定义验证下列数列的极限：用数列极限的定义验证下列数列的极限：11)1(lim . 1 nnnn证证明明例例0sinlim

9、. 2 nnn证证明明例例. 1, 0lim . 3 qqnn其中其中证明证明例例32361lim . 4 nnn证证明明例例21)(lim .52 nnnn证证明明例例.0lim ,0lim , .6 nnnnnnyxyx证证明明有有界界设设例例,1 n只只要要.1 n即即,1 N取取, 1)1( , 1成成立立有有时时当当 nnNnn. 1)1(lim1 nnnn. 11)1(lim . 1 nnnn证证明明例例证明证明:,11)1( 1nnnn , 0 ,1)1( 1 nnn要要使使. 0sinlim . 2 nnn证证明明例例证明证明:,1sin0sinnnnnn , 0 ,0sin

10、nn要要使使,1 n只只要要,1 n即即,1 N取取, 0sin , 成立成立有有时时当当 nnNn0sinlimnnn. 1, 0lim . 3 qqnn其中其中证明证明例例证明证明: .0时时结结论论显显然然成成立立 q, 0 , nq只要只要,0 nq要要使使,lnln qn即即,lnlnqn ,lnlnqN 取取, 0 , 成成立立有有时时当当 nqNn. 0lim nnq,0时时 q,0 nnqq . 32361lim . 4 nnn证证明明例例证明证明: nnn2310)3(2361 ,5n , 0 ,)3(2361 nn要要使使,5 n只只要要.5 n即即,5 N取取, )3(2

11、361 ,成成立立有有时时当当 nnNn32361limnnn.21)(lim . 52 nnnn证证明明例例证明证明: 212122 nnnnnnn)(222nnnnnn 22)(2nnnn n21 , 0 212nnn要要使使,21 n只要只要.21 n即即,21 N取取, 21 ,2成成立立有有时时当当 nnnNn21)(lim2 nnnn例例6. 0lim , 0lim , nnnnnnyxyx证明证明有界有界设设证明证明:0, , 有界有界nx . , , 0MxxMnn 都都有有对对于于 , 0lim nny又又. , , 0, 0MyNnNMn 有有时时当当对对于于.0 MMyx

12、yxnnnn. 0lim nnnyx定理定理1(极限的唯一性极限的唯一性) 如果一数列收敛，那么它的极限唯一如果一数列收敛，那么它的极限唯一. ,lim , lim babxaxnnnn 则则即即若若证明：证明：用反证法用反证法. 假设：假设：. 不妨设 , 且,lim,limbababxaxnnnn于是有取, 02/ )(ab,2 , ,011 axNnNn有有时时当当,2 , ,022 bxNnNn有有时时当当 则则有有时时当当取取 , ,max 21NnNNN .22)()(abaxbxaxxbabnnnn. ba 4. 数列极限的性质数列极限的性质这一矛盾证明了这一矛盾证明了:定理定理

13、2(有界性有界性) 收敛数列必有界收敛数列必有界. 证明证明: ,limaxnn 1 , , 0, 1 axNnNn有有时时当当取取, Nn 对于对于aaaxaaxxnnn 1)( 1 , ,., max 1axxMN 取取. , Mxxnn 都都有有对对于于一一切切. 是是有有界界的的nx推论：无界数列必定发散推论：无界数列必定发散.定理定理3(收敛数列的保号性收敛数列的保号性)证明证明:,limaxnn 2/ , , 0, 02/ aaxNnNan有时当取 ),0 或( 0且 ,lim 如果aaaxnn). 0或( 0都有 , 当 , 0整数那么nnxxNnN时存在不妨假设不妨假设 ，0a

14、022naaxa , 时从而，当Nn 推论：推论：如果数列从某项起有如果数列从某项起有 ，且，且 ,axnnlim) 0或( 0nnxx). 0或( 0aa那么有.lim ,lim axaxknknn 则则即即若若定理定理4 .,aaxn于于则则它它的的任任一一子子数数列列收收敛敛收收敛敛于于若若数数列列注意注意:(1)定理定理1的几何解释：的几何解释： .,),(, ),(,为为极极限限即即不不以以的的有有限限个个点点内内只只有有则则在在限限个个点点无无的的后后的的内内有有下下标标大大于于在在为为极极限限若若数数列列以以bxbUxNaUann (2)定理定理2为必要条件定理，反过来，有界数列不一定收敛为必要条