计算机组成原理chp2

1、2022-6-71第二章第二章 运算方法和运算器运算方法和运算器2.1数据与文字的表示2.2定点加法、减法运算2.3定点乘法运算2.4定点除法运算2.5定点运算器的组成2.6浮点运算与浮点运算器返回2022-6-722.1数据与文字的表示方法数据与文字的表示方法2.1.1数据格式2.1.2数的机器码表示2.1.3字符的表示2.1.4汉字的表示2.1.5校验码2022-6-732.1数据与文字的表示方法数据与文字的表示方法l计算机中使用的数据可分成两大类：l符号数据:非数字符号的表示（ASCII、汉字、图形等）l数值数据:数字数据的表示方式（定点、浮点）l计算机数字和字符的表示方法应有利于数据的

2、存储、加工(处理)、传送；l编码：用少量、简单的基本符号，选择合适的规则表示尽量多的信息，同时利于信息处理（速度、方便）2022-6-742.1.1数据格式数据格式一、复习10进制和R进制之间的转换 R进制到10进制： 10进制到R进制：整数部分：除r取余，r为进制基数 小数部分：乘r取整表3.1 二、八、十六和十进制数的对应关系二进制数二进制数八进制数八进制数十六进制数十六进制数十进制数十进制数0 0 0 00 0000 0 0 10 1110 0 1 00 2220 0 1 10 3330 1 0 00 4440 1 0 10 5550 1 1 00 6660 1 1 10 7771 0

3、0 01 0881 0 0 11 1991 0 1 01 2A1 01 0 1 11 3B1 11 1 0 01 4C1 21 1 0 11 5D1 31 1 1 01 6E1 41 1 1 11 7F1 5课堂练习：l（153.68）10=（ ）2l（1101000111.00101）2=（）162022-6-762022-6-772.1.1数据格式数据格式 二、数值数据 计算机在数据、文字的表示方式时，应该考虑一下几个因素:l表示的数据类型（符号、小数点、数值）l数值的范围l数值精度l存储、处理、传送的硬件代价2022-6-782.1.1数据格式数据格式三、计算机常用的数据表示格式有两种：

4、l定点表示：小数点位置固定l浮点表示：小数点位置不固定2022-6-792.1.1数据格式数据格式四、定点表示法l所有数据的小数点位置固定不变l理论上位置可以任意，但实际上将数据表示有两种方法（小数点位置固定-定点表示法/定点格式）：l纯小数l纯整数l定点数表示：l带符号数l不带符号数2022-6-7101、定点纯小数、定点纯小数 x0 x1 x2 x3 xn-1 xn表示数的范围是 0|12n(最小数、最大数、最接近0的正数、最接近0的负数?）符号量值小数点固定于符号位之后，不需专门存放位置2.1.1数据格式数据格式2022-6-7112.1.1数据格式数据格式x=0.00.0 x=1.00

5、.0 x=0正正0和负和负0都是都是0 x=0.11.1x=12n 最大最大x=0.00.01x=2n 最接近最接近0的正数的正数x=1.00.01 x=2n最接近最接近0的负数的负数x=1.11.1 x=（12n ） 最小最小2、纯小数的表示范围、纯小数的表示范围2022-6-7122.1.1数据格式数据格式3、定点纯整数 x0 x1 x2 x3 xn-1 xn表示数的范围是 0|2n1最小数、最大数、最接近0的正数、最接近0的负数呢?符号量值小数点固定于最后一位之后，不需专门存放位置2022-6-7132.1.1数据格式数据格式4、定点表示法的特点l定点数表示数的范围受字长限制，表示数的范

6、围有限;l定点表示的精度有限l机器中，常用定点纯整数表示; 如果用定点表示，则如何表示实数（包括小数和整数）呢？ -引入浮点2022-6-7142.1.1数据格式数据格式五、浮点表示：小数点位置随阶码不同而浮动1、格式:N=RE.M2、机器中表示指数E基数R,取固定的值,比如10,2等尾数M阶符 阶码 数符 尾数 2022-6-7152.1.1数据格式数据格式3、IEEE754标准(规定了浮点数的表示格式,运算规则等)l规则规定了单精度(32)和双精度(64)的基本格式. l规则中,尾数用原码,指数用移码(便于对阶和比较) 基数R=2，基数固定，采用隐含方式来表示它。 2022-6-7162.

7、1.1数据格式数据格式IEEE754标准l基数R=2，基数固定，采用隐含方式来表示它。l32位的浮点数：lS数的符号位，1位，在最高位，“0”表示正数，“1”表示负数。lM是尾数， 23位，在低位部分，采用纯小数表示lE是阶码，8位，采用移码表示。移码比较大小方便。l规格化： 若不对浮点数的表示作出明确规定，同一个浮点数的表示就不是惟一的。尾数域最左位(最高有效位)总是1， 故这一位经常不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。采用这种方式时，将浮点数的指数真值e变成阶码E时，应将指数e加上一个固定的偏移值127(01111111)，即E=e+127。2022-6-7172.1.1数据格式数据格式l

8、64位的浮点数中符号位1位，阶码域11位，尾数域52位，指数偏移值是1023。因此规格化的64位浮点数x的真值为： x=(-1)S(1.M)2E-1023 e=E-1023l一个规格化的32位浮点数x的真值表示为 x=(-1)S(1.M)2E-127 e=E-1272022-6-7182.1.1数据格式数据格式l真值x为零表示：当阶码E为全0且尾数M也为全0时的值，结合符号位S为0或1，有正零和负零之分。l真值x为无穷大表示：当阶码E为全1且尾数M为全0时，结合符号位S为0或1，也有+和-之分。l这样在32位浮点数表示中，要除去E用全0和全1（25510）表示零和无穷大的特殊情况，指数的偏移值

9、不选128（10000000），而选127（01111111）。对于规格化浮点数，E的范围变为1到254，真正的指数值e则为-126到+127。因此32位浮点数表示的绝对值的范围是10-381038（以10的幂表示）。2022-6-7192.1.1数据格式数据格式浮点数表示范围如下图所示浮点数表示范围如下图所示2022-6-7202.1.1数据格式数据格式例1若浮点数x的754标准存储格式为(41360000)16，求其浮点数的十进制数值。解：将16进制数展开后，可得二制数格式为 0 100 00010 011 0110 0000 0000 0000 0000 S 阶码(8位) 尾数(23位)

10、指数e=阶码-127=10000010-01111111=00000011=(3)10包括隐藏位1的尾数1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011于是有x=(-1)S1.M2e=+(1.011011)23=+1011.011=(11.375)102022-6-7212.1.1数据格式数据格式例2将数(20.59375)10转换成754标准的32位浮点数的二进制存储格式。解:首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：20.59375=10100.10011 然后移动小数点，使其在第1，2位之间 10100.10011=1.01001001124 e=4于

11、是得到： S=0, E=4+127=131, M=010010011 最后得到32位浮点数的二进制存储格式为：01000001101001001100000000000000=(41A4C000)162022-6-7222.1.1数据格式数据格式4、十进制数串的表示l字符串形式（非压缩型）l压缩的十进制数串形式：BCD码BCD码码l表示一位十进制数的二进制码的每一位有确定的权。一般用8421码，其4个二进制码的权从高到低分别为8、4、2和1。用0000，0001，1001分别表示0，1，9，每个数位内部满足二进制规则，而数位之间满足十进制规则，故称这种编码为“以二进制编码的十进制(binary

12、 coded decimal，简称BCD)码”。2022-6-723l例如 123 和12分别被表示成： 123 122022-6-7242022-6-7252.1.2数的机器码表示数的机器码表示一、数的机器码表示l真值:一般书写的数l机器码:机器中表示的数, 要解决在计算机内部数的正、负符号和小数点运算问题。l原码l反码l补码l移码2022-6-7261、原码表示法、原码表示法l定点小数x0.x1x2xn x 1x0 0，正x原= 符号 1-x 0 x -1 1，负数l有正0和负0之分l范围2-n-11- 2-n例：x=+0.11001110 x原=0.11001110 -x原=1.1100

13、11102022-6-7271、原码表示法、原码表示法l定点整数X0X1X2Xn x 2nx0 0，正数x原= 符号 2n-x 0 x -2n 1，负数说明：l有正0和负0之分l范围 1 - 2n 2n 1l例：x=+11001110 x原=011001110 -x原=1110011102022-6-7281、原码表示法、原码表示法 原码特点：l表示简单，易于同真值之间进行转换，实现乘除运算规则简单。l进行加减运算十分麻烦。现在是北京时间3点整，而时钟却指向5点。5-2=35+10=3（12自动丢失。12就是模）补码是在“模”和“同余”的概念下导出的。 “模”是指一个计量系统的计量范围，即产生

14、“溢出”的量。l继续推导： 5-2=5+10 （MOD 12） 5+（-2）=5+10 （MOD 12） -2=10 （MOD 12）l结论： 可以说：在模为12的情况下，-2的补码 就是10。 一个负数用其补码代替，同样可以得到正确的运算结果。l进一步结论： 在计算机中，机器能表示的数据位数是一定的，其运算都是有模运算。如果是n位整数，其模为2n。如果是n位小数，其模为2。 若运算结果超出了计算机所能表示的数值范围，则只保留它的小于模的低n位的数值，超过n位的高位部分就自动舍弃了。2022-6-7322、补码表示法、补码表示法l定义：正数的补码就是正数的本身，负数的补码是原负数加上模。l计算

15、机运算受字长限制,属于有模运算.定点小数x0.x1x2.xn溢出量为2，以2为模定点整数x0 x1x2.xn溢出量为2，以2n+1为模l定点小数x0.x1x2xn x 1x0 0，正数x补= 符号 2+x 0 x -1 1，负数2022-6-7332、补码表示法、补码表示法例: x= -0.1011 lx补=10+x=10.0000-0.1011=1.0101ly=-0.01111ly补=10+y=10.00000-0.01111=1.10001l定点整数x0 x1x2xn x 2nx0 0，正数,0 x补= 符号 2n+1+x 0 x -2n 1，负数2022-6-7342、补码表示法、补码

16、表示法l补码性质l高位表明正负l正数补码，尾数与原码相同l范围-2n2n-1(定点整数）l变相补码(双符号补码)l为了防止溢出而设定2022-6-7352、补码表示法、补码表示法l最大的优点就是将减法运算转换成加法运算。 X补-Y补= X补+-Y补例如 X=(11)10=(1011)2 Y=(5)10=(0101)2已知字长n=5位X补-Y补 =X补+-Y补=01011+11011=100110=00110=(6)10 注： 最高1位已经超过字长故应丢掉l无正零和负零之分l由于正数的补码就是正数本身，故着重讲解负数求补码的方法。（1）由定义求例：X补=2+X=10+(-0.1101001)=1

17、.0010111l例: X=- 1101001 解: X补=28+X=100000000+(-1101001)=10010111反过来，由补码求真值，只要将公式进行交换即可。（2）由原码求补码除符号位以外，其余各位求反，末位加1。例：X=- 0.0101011解: X原= 1 0 1 0 1 0 1 1 X反=1111000 0+1 1 1 0 1 0 1 0 1由补码求由补码求原码，此原码，此规则同样规则同样适用适用。X补=l由原码求补码的简便原则: 除符号位以外,其余各位按位取反,从最低位开始遇到的第一个1以前的各位保持不变。例：X原= 1 1 0 1 1 0 1 0 0X补= 1 0 1

18、 0 0 11 0 01 0 0由由-X补补求求X补补，此，此规则同样规则同样适用适用。（3）由X补求-X补:连符号位一起各位求反，末位加1。例：X补=1.1010101解: X补= 1 1 0 1 0 1 0 1 -X补=0000111 0+1 0 0 1 0 1 0 1 1l(4). 由X补求X/2补:将X补的符号位和数值位一起向右移动一次.符号位移走后保持原来的值不变.例: X补=10011000X/2补=101010001这称为“算术移位”X/4补和X/8补同理2022-6-7433、反码表示法、反码表示法l定义：正数的表示与原、补码相同，负数的补码符号位为1，数值位是将原码的数值按位

19、取反，就得到该数的反码表示。l电路容易实现，触发器的输出有正负之分。2022-6-7443、反码表示法、反码表示法l对尾数求反，它跟补码的区别在于末位少加一个1，所以可以推出反码的定义l定点小数x0.x1x2xn x 1x0 x反= 2+x 2-n 0 x -1X1=+0.1011011 , X1 反 =0.1011011X2= -0.1011011 , X2 反 =1.0100100 1. 1 1 1 1 1 1 1 0. 1 0 1 1 0 1 1 1. 0 1 0 0 1 0 0 定点小数表示: Ns. N1 N2 Nn 定义: X 反 =定点整数表示：Ns N1 N2 Nn定义: X

20、反 = X （2-2-n ）+ X0 X 1 -1 X 0 X（ 2n+1 1）+ X0 X 2n - 2n X 0定点数的表示法（反码）定点数的表示法（反码）2022-6-7463、反码表示法、反码表示法lx 补=x 反+2-nl反码表示有正0和负0之分4、移码表示法、移码表示法 （用在阶码中）（用在阶码中）l移码常用于表示浮点数的阶码l由于阶码是个k位的整数，假定定点整数移码形式为 （最高位为符号位）时，移码的传统定义是：l l式中 为机器数，e为真值， 是一个固定偏移值常数。0121.eeeeekkkee22 e2kk，移移ek2 2022-6-7484、移码表示法、移码表示法例：-10

21、11111 原码为11011111 补码为10100001反码为10100000移码为00100001特点：移码和补码尾数相同，符号位相反范围:-2n2n-1浮点IEEE754表示e=-127+12800000000阶码表示数字”0”,尾数的隐含位为011111111阶码表示数字”无穷大” ,尾数的隐含位为02022-6-749例例6以定点整数为例以定点整数为例,用数轴形式说用数轴形式说明原码、反码、补码表示范围和可能明原码、反码、补码表示范围和可能的数码组合情况。的数码组合情况。 2022-6-750例例7将十进制真值将十进制真值(127,1,0,1,127)列表表示成二进制数及原码、列表表

22、示成二进制数及原码、反码、补码、移码值。反码、补码、移码值。2022-6-751例例8设机器字长设机器字长16位位,定点表示定点表示,尾数尾数15位位,数数符符1位位,问：问：(1)定点原码整数表示时定点原码整数表示时,最大正数最大正数是多少是多少?最小负数是多少最小负数是多少?(2)定点原码小数表定点原码小数表示时示时,最大正数是多少最大正数是多少?最小负数是多少最小负数是多少?(1)定点原码整数表示最大正数值(2151)10(32767)10最小负数值(2151)10(32767)10(2)定点原码小数表示 最大正数值(1215)10(0.111.11)2最小负数值(1215)10(0.1

23、11.11)2注：1符号，数字2022-6-752例例9假设由假设由S,E,M三个域组成的一个三个域组成的一个32位二进制字所表示的非零规位二进制字所表示的非零规格化浮点数格化浮点数,真值表示为（非真值表示为（非IEEE754标准）：标准）：(1)s(1.M)2E128问：它所表示的规格化的最大正数、最小正数、最大负数、最小负数问：它所表示的规格化的最大正数、最小正数、最大负数、最小负数是多少？是多少？(1)最大正数0 1111 1111 111 1111 1111 1111 1111 11111(12-23)2127(2)最小正数 000 000 000000 000 000 000 000

24、 000 000 001.02128(3)最小负数111 111 111111 111 111 111 111 111 111 111(1223)2127(4)最大负数100 000 000000 000 000 000 000 000 000 001.02128 2022-6-7532.1.3字符和字符串字符和字符串(非数值非数值)的表示方法的表示方法l符号数据：字符信息用数据表示，如ASCII等；l字符表示方法ASCII:用一个字节来表示,低7位用来编码(128),最高位为校验位表表2.1 ASCII字符编码表字符编码表 000 001 010 011 100 101 110 111 00

25、00 NUL DEL SP 0 P p 0001 SOH DC1 ! 1 A Q a q 0010 STX DC2 2 B R b r 0011 ETX DC3 # 3 C S c s 0100 EOT DC4 $ 4 D T d t 0101 ENQ NAK % 5 E U e u 0110 ACK SYN & 6 F V f v 0111 DEL ETB 7 G W g w 1000 BS CAN ( 8 H X h x 1001 HT EM ) 9 I Y i y 1010 LF SUB * : J Z j z 1011 VT ESC + ; K k 1100 FF FS , N

26、 n 1111 SI US / ? O _ o DEL l字符串字符串是指连续的一串字符,通常方式下,它们占用主存中连续的多个字节,每个字节存一个l字符。当主存字由2个或4个字节组成时,在同一个主存字中,既可按从低位字节向高位字节的顺序l存放字符串的内容,也可按从高位字节向低位字节的次序顺序存放字符串的内容。l例例将字符串：IFABTHENREAD(C)从高位字节到低位字节依次存在主存中。 解解:设主存单元长度由4个字节组成。每个字节中存放相应字符的ASCII值，文字表达式中的空格“”在主存中也占一个字节的位置。因而每个字节分别存放十进制的73、70、32、65、62、66、32、84、72、

27、69、78、32、82、69、65、68、40、67、41、32。 主存I F 空 A B 空 TH E N 空R E A D( C)空2022-6-7572.1.4汉字的存放汉字的存放l汉字的表示方法（一级汉字3755个，二级汉字3008个）l输入码l国标码一级（1655）*94二级（5687）*94图形符号（682个）（0109）*94l拼音、五笔l汉字内码：汉字信息的存储，交换和检索的机内代码，两个字节组成，每个字节高位都为1（区别于英文字符）2022-6-7582.1.4汉字的存放汉字的存放l汉字字模码：汉字字形l点阵l汉字库2022-6-7592.1.5校验码校验码l校验码（只介绍奇

28、偶校验码）l引入：信息传输和处理过程中受到干扰和故障，容易出错。l解决方法：是在有效信息中加入一些冗余信息（校验位）l奇偶校验位定义l设(01n1)是一个n位字,则奇校验位定义为:C0 1 n1,式中 代表按位加,表明只有当中包含有奇数个1时,才使C1,即C0。同理可以定义偶校验。 l只能检查出奇数位错；不能纠正错误。l其它还有Hamming,CRC奇偶校验码奇偶校验码l优点： 实现简单l缺点：只能查出一位或奇数位错，且不能纠错，对于偶数位错更是无能为力。l例例10已知下表中左面一栏有5个字节的数据。请分别用奇校验和偶校验进行编码,填在中间一栏和右面一栏。 2022-6-7622.2 定点加法

29、、减法运算定点加法、减法运算l负数用补码表示后，可以和正数一样来处理。这样,运算器里只需要一个加法器就可以了,不必为了负数的加法运算,再配一个减法器。2022-6-7632.2.1补码加法补码加法l补码加法的公式是补补补 (mod 2)2022-6-764补补补补补补证明证明l假设采用定点小数表示，有1, 1, 1 l现分四种情况来证明 (1)0,0,则0 补=x, 补=y, 补=x+y所以等式成立.(2)0,0,则0或0时,2 () 2,进位2必丢失,又因()0，故补补补当0时,2 () 2,又因()0，故补补2()补所以上式成立2022-6-765补补补补补补证明证明(3)0,则0或 0

30、这种情况和第2种情况一样,把和的位置对调即得证。 (4)0,0,则0 相加两数都是负数,则其和也一定是负数。补2,补2补补222(2)上式右边分为”2”和(2)两部分.既然()是负数,而其绝对值又小于1,那么(2)就一定是小于2而大于1的数,进位”2”必丢失.又因()0, 所以补补2()补例11 x=+1001 , y=+0101 , 求 x+y=？解：x补 = 01001 , y补 = 00101x补0 1 0 0 1y补0 0 1 0 1x+y补0 1 1 1 0 x+y = +1110 例12 x=+1011 , y=-0101 , 求 x+y=？解：x补 = 01011 , y补 =

31、11011x补0 1 0 1 1y补1 1 0 1 1x+y补1 0 0 1 1 0 x+y = +0110 2022-6-7682.2.2补码减法补码减法l负数的加法要利用补码化为加法来做，减法运算也要设法化为加法来做。因为它可以和常规的加法运算使用同一加法器电路，从而简化了计算机的设计。l数用补码表示时,减法运算的公式为补补补补补只要证明补补,上式即得证 补补补(mod 2) 补补补（1） 补()补补补补 补补（2）将(1)和(2)相加,得补补补补补补 补补补 补补补0故补补(mod 2) l从补求补的法则是：对补包括符号位“求反且最末位加1”,即可得到补。写成运算表达式，则为补补2n20

32、22-6-771l如： y=0.0111 y补=0.0111 -y补=1.1001从右边到左边，除了第一个1和右边的0保持不变以外，其它按位取反,很重要！l【例13】已知x11110，x21101，求：l解：补x1补x1补x2补-x210010 x1补0111000001011012x41补补x01101x2补1001100001100102x422x补l【例14】x=+1101,y=+0110，求x-y。l解：l所以 x - y=+011101101补x00110y补11010y补01101补x11010补y_100111补yx 2022-6-7742.2.3 溢出概念与检测方法溢出概念与检

33、测方法l在定点小数机器中,数的表示范围为|x0 x补= 4+x 0 x -2 Sf1 SF2 0 0正确（正数）0 1上溢1 0下溢1 1正确（负数） Sf1 表示正确的符号，逻辑表达式为V=Sf1 Sf2,可以用异或门来实现l例17 ：x=+01100, y=+01000,求 x+y.l解：l两个符号位出现“01”，表示正溢出，即结果大于+2n 。001100补x001000补y001100补x001000补y_010100补yxl例18 ：x=-1100, y=-1000,求x+y。l解：l两个符号位出现“10”，表示负溢出，即结果小于-2n+1。110100补x111000补y11010

34、0补x111000补y_101100补yx由此可以得出如下结论：l当以模4补码运算,运算结果的二符号位相异时,表示溢出；相同时,表示未溢出。故溢出逻辑表达式为 VSf1+Sf2,其中Sf1和Sf2分别为最高符号位和第二符号位。此逻辑表达式可用异或门实现。l模2n+2补码相加的结果,不论溢出与否,最高符号位始终指示正确的符号。2022-6-7832、单符号位法lCf C000正确（正数）01上溢10下溢11正确（负数）lV=Cf C0 其中Cf为符号位产生的进位,C0为最高有效位产生 各种逻辑门的图形符号各种逻辑门的图形符号2.2.3基本的加法和减法器基本的加法和减法器1. 加法器加法器l半加器

35、l半加器完成两个一位二进制数相加l只考虑两个加数本身，而不考虑来自相邻低位的进位l根据加法法则可列出半加器的真值表和逻辑电路l由真值表可得出半加器的逻辑表达式： =1 & Ai Bi Si Ci Ai Bi Si Ci CO (b) 半加器符号 (a) 半加器电路图 图 半加器电路图及符号 半加器真值表Ai BiSi Ci0 00 11 01 10 01 01 00 1表1nnnnnnnYXYXYXH YHl全加器l两个多位数相加是每一位都是带进位相加，所以必须用全加器。这时只要依次将低位的进位输出接到高位的输入，就可构成多位加法器了。l全加器是一种由被加数、加数和来自低位的进位数三者相加的运算器。基本功能是实现二进制加法。l全