第四节条件概率

1、概率论概率论 1.4 条件概率条件概率条件概率条件概率乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式Bayes 公式公式概率论概率论 一、条件概率的定义及计算一、条件概率的定义及计算对任两个事件对任两个事件A A、B B，有加法公式，有加法公式 )()()()(ABPBPAPBAP特别，当特别，当A、B是互不相容事件时，是互不相容事件时， AB)()()(BPAPBAP但在一般情况下，为求但在一般情况下，为求 , 还应知道还应知道P(AB).)(BAP问题问题: 事件事件A、B满足什么条件时，满足什么条件时， 能通过能通过P(A)、P(B) 求求 P(AB)? 概率论概率论 在解决许多概率问题时，往往需

2、要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.1. 条件概率的概念条件概率的概念如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概率，发生的概率，将此概率记作将此概率记作P(A|B). 一般地一般地 P(A|B) P(A) 概率论概率论 P(A )=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是结果构成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有中共有3个

3、元素个元素,它们的出现是等它们的出现是等可能的可能的,其中只有其中只有1个在集个在集A中中.容易看到容易看到)()(636131BPABPP(A|B)于是于是概率论概率论 P(A )=3/10， 又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正件正品中有品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 现从这现从这10件中任取件中任取一件，记一件，记 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)()(10710373BPABP则则概率论概率论 P(A )=3/10， B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，计算本例中，计算P(A)时，依据的

4、时，依据的前提条件是前提条件是10件产品中一等品的比件产品中一等品的比例例. A=取到一等品取到一等品， 计算计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加时，这个前提条件未变，只是加上上“事件事件B已发生已发生”这个新的条件这个新的条件. 这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报情报”，使我们得以在，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题某个缩小了的范围内来考虑问题.概率论概率论 若事件若事件B已发生已发生, 则为使则为使 A也也发生发生 , 试验结果必须是既试验结果必须是既在在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点 , 即即此点必属于此点必属于AB. 由于我们已经由于我们已经知道知道B

5、已发生已发生, 故故B变成了新的变成了新的样本空间样本空间 , 于是于是 有有(1). 设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 (1)()()|(BPABPBAPSABAB2. 条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.概率论概率论 性质性质1 条件概率是概率，即若设条件概率是概率，即若设P(B)0，则，则互不相容，则互不相容，则，中的中的）若）若（）（）（，）（）（,AAAF.B|PF.ABAPn213120|1 11)(nnnn.|BAP|BAP由性质由性质1可见，条件概率具有普通概率的一切性质可见，条件概率

6、具有普通概率的一切性质, 如：如： (2)有限可加性有限可加性(3)加法公式：加法公式：)()()()(212121A|BBPA|BPA|BPA|BBP )()(AP|AP 0)(1) A|P 概率论概率论 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2 点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的缩减发生后的缩减样本空间所含样样本空间所含样本点总数本点总数在缩减样本空在缩减样本空间中间中A所含样所含样本点个数本点个数概率论

7、概率论 例例2 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1)()()|(BPABPBAP解法解法2 2163)|(BAP解解 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用应用 定义定义在在B发生后的缩减样本发生后的缩减样本空间中计算空间中计算21366363概率论概率论 由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBAP而而 P(AB)=P(BA)若已知若已知P(B)

8、, P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0 , 则则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率概率论概率论 注意注意P(AB)与与P(A | B)的区别！的区别！请看下面的例子请看下面的例子概率论概率论 例例2 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中 300件是乙厂生产的件是乙厂生产的. 而在这而在这300个零件中，有个零件

9、中，有189个是标准个是标准件，现从这件，现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问这个零件是乙厂这个零件是乙厂生产的标准件生产的标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产, A=是标准件是标准件概率论概率论 所求为所求为P(AB) .设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件若改为若改为“发现它是发现它是乙厂生产的乙厂生产的,问它问它是标准件的概率是标准件的概率是多少是多少?”求的是求的是 P(A|B

10、) .B发生发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(A|B)中作为条件中作为条件.甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产概率论概率论 例例3 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的概年以上的概率为率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现年问现年20岁的岁的这种动物，它能活到这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解解 设设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为所求为 P(B|A) .

11、)()()|(APABPABP5 . 08 . 04 . 0)()(APBP概率论概率论 条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设设A是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下是在该试验条件下事件事件A发生的可能性大小发生的可能性大小.P(A) 与与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它它们是两个不同的概念们是两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同. 而条件概率而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加是在原条件下又添

12、加 “B 发生发生 ” 这个条件时这个条件时A发生的可能性大小发生的可能性大小, 即即 P(A|B) 仍是概率仍是概率.概率论概率论 . 个事件的积事件的情况个事件的积事件的情况乘法定理可以推广到多乘法定理可以推广到多 , 0 , 则则且且为三个事件为三个事件、设设 ABPCBA |. P ABCP A P B A P C AB , 2, , , , 21并且并且个事件个事件设有设有一般地一般地 nAAAnn , , 0121可得可得则由条件概率的定义则由条件概率的定义 nAAAP 12121312112-212-1|.|nnnnnP A AAP A P AA P AA AP AA AAP A

13、 A AA概率论概率论 乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球. 随机地随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行这种手续进行四次四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率到红球的概率. （波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）b个白球个白球, r个红球个红球概率论概率论 于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球，第一、连续取四个球，第一、第二个是白

14、球，第三、四个是红球第二个是白球，第三、四个是红球. ” b个白球个白球, r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进c个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球. 解解 设设 Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球， j=1,2,3,4概率论概率论 用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率也取到同色球的概率. 这是一个这是一个传染病模型传染病模型. 每次每次发现一

15、个传染病患者，都会增加再传染的概率发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)概率论概率论 例例（罐子模型）（罐子模型）设罐中有设罐中有b个黑球个黑球，r个红球个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，还每次随机取出一个球，取出后将原球放回，还加进加进c个同色球个同色球和和d个异色球个异色球。求连续从罐中取。求连续从罐中取出三个球，其中两个红球，一个黑球的概率。出三个球，其中两个红球，一个黑球的概率。解：解： 记记 为为“第第i次取出的是黑球次取出的是黑球”记记

16、 为为“第第j次取出的是红球次取出的是红球”iBjRdcrbdcrdcrbdrrbbR|BRP|BRPBPRRP(B22)()()()213121321 概率论概率论 dcrbdcrdcrbdbrbrR|BRP|RBPRPRBRP22)()()()(123121321 dcrbdbdcrbcrrbrR|RBP|RRPRPBRRP222)()()()(123121321 (1)当当c =-1, d=0时，即为不返回抽样时，即为不返回抽样.(2)当当c=0, d=0时，即为返回抽样时，即为返回抽样.(3)当当c0, d=0时，称为传染病模型时，称为传染病模型.(4)当当c=0, d0时，称为安全模

17、型时，称为安全模型.概率论概率论 , 6第一次落下时第一次落下时透镜透镜设某光学仪器厂制造的设某光学仪器厂制造的例例 , , 21 第二次落下第二次落下若第一次落下未打破若第一次落下未打破打破的概率为打破的概率为 , , 107第三次落下打第三次落下打若前两次未打破若前两次未打破打破的概率是打破的概率是 . , 109破的概率破的概率试求透镜落下三次未打试求透镜落下三次未打破的概率是破的概率是 解解 , 3 , 2 , 1, iiAi次落下打破次落下打破透镜第透镜第设设 , 则则透镜落下三次未打破透镜落下三次未打破 B . 321AAAB 321AAAPBP 213121|AAAPAAPAP

18、10911071211 . 2003 概率论概率论 . 1 , BPBPBPBP求得求得再由再由本题也可以先求本题也可以先求 由于由于 , 321211AAAAAAB , 321211AAAAAA并且并且 , 故有故有为两两不相容事件为两两不相容事件 321211AAAAAAPBP 321211AAAPAAPAP 213121121|21AAAPAAPAPAAPAP 21 107211 1091071211 . 200197 20019711 BPBP所以所以 . 2003 概率论概率论 有三个箱子有三个箱子,分别编号为分别编号为1,2,3.1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球个白球,2号

19、箱装有号箱装有2红红3白球白球 , 3号箱装有号箱装有3 红球红球. 某某人从三箱中任取一箱人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球从中任意摸出一球,求取得红球求取得红球的概率的概率.解解 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，123其中其中 A1、A2、A3两两互斥两两互斥看一个例子看一个例子:概率论概率论 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的得到在概率计算中常用的全概率公式全概率公式.对求和中的每对求和中的每一项运用乘

20、法一项运用乘法公式得公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到运用加法公式得到即即 B= A1B A2B A3B， 且且 A1B、A2B、A3B 两两互斥两两互斥概率论概率论 定义定义12 , , , nEB BB设为随机试验的样本空间 , 如果满足如果满足的一组事件的一组事件是是 E jiBBji 1 122 nBBB , , , , , nnBBBBBB2121或称或称为完全事件系为完全事件系则称则称 . 为的一个划分: 注意注意 , , , 为样本空间的一个划分为样本空间

21、的一个划分若若nBBB21 , 事件组事件组则对每次试验则对每次试验 , , 中必有且仅有中必有且仅有nBBB21一个事件发生一个事件发生. , . 可见的划分是将分割成若干个互斥事件概率论概率论 B1B2B3B4B5B6B7B8概率论概率论 1定定理理, SE 的样本空间为的样本空间为设试验设试验nBBB, , 21 , , 则对则对且且的一个划分的一个划分为为n,iBPSi 210 , 恒有恒有样本空间中的任一事件样本空间中的任一事件A niiiB|APBPAP1 证明证明 因为因为 ASA nBBBA 21nABABAB 21 并且并且 , , 所以所以jiABABji nABPABPA

22、BPAP 21 nnB|APBPB|APBP 11 niiiB|APBP1概率论概率论 niiiB|APBPAP1 . 全概率公式全概率公式 件件是把一个未知的复杂事是把一个未知的复杂事全概率公式的基本思想全概率公式的基本思想 , 而这些简单而这些简单单事件再求解单事件再求解分解为若干个已知的简分解为若干个已知的简 , 使得某个未知事件使得某个未知事件事件组事件组事件组成一个互不相容事件组成一个互不相容故在故在至少一个同时发生至少一个同时发生与这组互不相容事件中与这组互不相容事件中, A , S的的关键是要找到一个合适关键是要找到一个合适应用此全概率公式时应用此全概率公式时 . 的一个划分的一

23、个划分概率论概率论 某一事件某一事件A的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因 ，如果，如果A是由原因是由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，则所引起，则A发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生，故发生，故A发发生的概率是各原因引起生的概率是各原因引起A发生概率的总和，发生概率的总和，即全概率公式即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解概率论概率论 由此可以形象地把由此可以形象地把全概率公式全概率公式看成为看成为“由原由原因推结果因推结果”，每个原因对结果的发生有一定

24、的，每个原因对结果的发生有一定的“作用作用”，即结果发生的可能性与各种原因的，即结果发生的可能性与各种原因的“作作用用”大小有关大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系全概率公式表达了它们之间的关系 .B1B2B3B4B5B6B7B8A诸诸Bi是原因是原因A是结果是结果概率论概率论 敏感性问题调查敏感性问题调查应用应用:比率比率弊问题，估计出作弊的弊问题，估计出作弊的现要调查学生的考试作现要调查学生的考试作一、先设计两个问题一、先设计两个问题日之前？日之前？月月你的生日是否在你的生日是否在问题问题17A :你是否考试作过弊？你是否考试作过弊？问题问题:B号回答号回答随机取号，若抽到随机取号，

25、若抽到二、被调查者从箱子中二、被调查者从箱子中1调查方案：调查方案：.，看完放回，看完放回号则回答问题号则回答问题，若抽到，若抽到问题问题B2A是或否是或否三、回答答卷三、回答答卷？怎样来估计作弊的概率怎样来估计作弊的概率概率论概率论 例例 某工厂有某工厂有4条流水线生产同一产品，该条流水线生产同一产品，该4条流条流水线的产量分别占总产量的水线的产量分别占总产量的15、20、30和和35，不合格品率依次为，不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及及0.02。问题问题1：现从出厂产品中任取一件，恰好抽到：现从出厂产品中任取一件，恰好抽到 不合不合格品的概率为多少格品的概率为多少解：令解：令

26、A=任取一件，恰好抽到不合格品任取一件，恰好抽到不合格品； =任取一件，恰好抽到第任取一件，恰好抽到第i条流水线的产品条流水线的产品，i=1,2,3,4iB由全概率公式得由全概率公式得%25. 3)|()()(41iiiBAPBPAP概率论概率论 问题问题2：若该厂规定，出了不合格品要追究有关：若该厂规定，出了不合格品要追究有关流水线的责任。现在出厂产品中任取一件，结果流水线的责任。现在出厂产品中任取一件，结果为不合格品，但该产品的标志已脱落，厂方如何为不合格品，但该产品的标志已脱落，厂方如何处理这件不合格品比较合理？比方说第处理这件不合格品比较合理？比方说第4条流水条流水线应承担多大责任？线

27、应承担多大责任？%5 .210325. 002. 035. 0)|()()|()()()()|(414444iiiBAPBPBAPBPAPABPABPBayes公式公式概率论概率论 该球取自哪号箱的可能性该球取自哪号箱的可能性最大最大? 这一类问题是这一类问题是“已知结果求原因已知结果求原因”. 在实际中在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小发生条件下，探求各原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意摸某人从任一箱中任意摸出一球，出一球，发现是红球发现是红球,求该球求该球是取自是取自1号箱的概率号箱的概率.

28、1231红红4白白或者问或者问:看一个例子看一个例子:概率论概率论 接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式概率论概率论 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红个红球球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红红球球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率 .1231红红4白白?概率论概率论 某人从任一箱中任意摸出一球，某人从任一箱中任意摸出一球，发现

29、是红球，求该球是取自发现是红球，求该球是取自1号号箱的概率箱的概率. )()()|(11BPBAPBAP记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球求求P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?概率论概率论 njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|( 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯 (Bayes) 给出给出. 它是在它是在观察到事件观察到事件B已发生的条件下，

30、寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每发生的每个原因的概率个原因的概率.ni, 21 贝叶斯公式贝叶斯公式定理定理2 , , 21为样本空间的为样本空间的设设nAAA , 0 , , 则恒有则恒有且且中的任一事件中的任一事件为为一个划分一个划分 BPB 概率论概率论 贝叶斯公式在实际中有很多应用贝叶斯公式在实际中有很多应用. 它可以帮助人们确定某结果（事件它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最）发生的最可能原因可能原因.概率论概率论 例例 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一，患者对一种试验反应是阳性的概率为种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试

31、，正常人对这种试验反应是阳性的概率为验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. CCC已知已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04求解如下求解如下: 设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C|A).概率论概率论 现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义. .由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 )|()()|()(

32、)|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？概率论概率论 如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1. 这种试验

33、对于诊断一个人是否患有癌症有意义这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(CA)= 0.1066 P(C)=0.005 概率论概率论 试验结果为阳性试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有症，这种可能性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人个人中大约只有中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再，此时医生常要通过再试验来确认试验来确认. 概率论概率论 P(Ai) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息（不知道事是在没有进一步信息（不知道事件件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发发生），人们对诸事件发生可能性大小生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化贝叶斯公式从数量上刻划