复合函数的单调性例讲

1、-复合函数的单调性 例 讲五寨一中 摄爱忠高考主要考察：求复合函数的单调区间；讨论含参复合函数的单调性或求参数围问题“中间变量是形成问题转化的桥梁.函数思想是解决问题的关键复合函数定义：1. 设定义域为，的值域为，假设，则关于的函数叫做函数 与的复合函数，叫中间变量外函数：； 函数：复合函数的单调性：同增异减.2.假设则增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数3.求解复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为假设干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值围转化为自变量的取值围

2、；(5)求出复合函数的单调性。题型1：外函数都只有一种单调性的复合型.例题1：函数y=loga(2-a*)在0,1上是*的减函数，则a的取值围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).2，+)解：设y= logau，u=2-a*，a是底数，所以a0，函数y=loga u在u0,1上是减函数，而u=2-a*在区间*0,1上是减函数， y= logau是u(0, +)上的增函数，故a1，还要使2-a*0在区间上总成立，令g(*)= 2-a*，由，解得a2，1a0知函数的定义域为，因y= log0.5u在u(0,+)上是减函数，而u= *2+4*+4在*(-，-3)

3、上是减函数，在(-1，+ )上是增函数，根据复合规律知，函数y=log0.5(*2+4*+4) 在*(-，-3)上是增函数；在*(-1，+ )上是减函数.变式训练：讨论函数的单调性。 解：函数定义域为R. 令u=*2-4*+3，y=0.8u。指数函数在u(-，+)上是减函数， u=*2-4*+3在(-，2上是减函数，在2，+)上是增函数， 函数在(-，2上是增函数，在2，+)上是减函数。 这里没有第四步，因为中间变量允许的取值围是R，无需转化为自变量的取值围。题型3：外函数有两种单调性函数有一种单调性的复合型.例 题3： 函数y=2sin( -2*)的单调递增区间是( )(A). (B). (

4、C). (D). 解：令y=sinu，u= -2*，u= -2*是R上的减函数，而y=sinu在u 2k+，2k+(kZ)上单调递减，根据函数单调性的复合规律，令2k+ -2*2k+得:当k=0时，应选(A) .例 题4：讨论函数y=(log2*)2+log2*的单调性. 解：显然函数定义域为(0，+). 令 u=log2*，y=u2+u u=log2*在(0，+)上是增函数，y=u2+u在(-，上是减函数，在，+)上是增函数【注意】:(-，及，+)是u的取值围.令，则0*，(ulog2*) 所以y=(log2*)2+log2*在(0，上是减函数，在，+)上是增函数。 用数轴标单调区间如下：求

5、复合函数的定义域；求函数在定义域的单调区间；求外函数的单调区间；求外函数对函数变量所对应的单调区间；在数轴上标出按“同增异减写出复合函数的单调区间.变式训练：求函数的单调区间【解析】1此函数的定义域：；2此函数是由函数复合所得；3层函数的单调区间：函数在单调递减；4外层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增；5根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数在单调递增；在单调递减【评注】：给出复合函数的单调区间，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的围，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的围.函数的单调递减区间是；单调递减区间是.题型4：外函数都有两种单调性的复合型.

6、例 题5：函数则A在区间上是减函数 B在区间上是减函数C在区间上是增函数 D在区间上是增函数【解析】设， ， 外函数：增区间 ；减区间 ； 函数：增区间 ；减区间 当时，即1，*1或*-1；当时，即1，-1*1用数轴标出单调区间如下：显然，A正确.变式训练：函数则的递增区间是. 【解析】设，； 外函数：减区间 ； 增区间 函数：减区间 ； 增区间 令；再令. 用数轴标出单调区间如下：故 的单调递增区间为 和.求复合函数的定义域；求函数在定义域的单调区间；求外函数的单调区间；求外函数对函数变量所对应的单调区间；在数轴上标出按“同增异减写出复合函数的单调区间.练习题组：函数在上单调递减，则的取值围

7、是 .A BC D答案为B.【评注】：研究函数的单调区间必须遵循“定义域优先的原则，不能无视在恒成立.函数在上单调递增，则的取值围是( ).A BC D2021函数的图象大致是 A BCD2021*函数的单调递增区间是A BC D求函数的单调区间函数的单调区间是.函数在上是增函数，求的取值围函数的单调性判断错误的选项是A在递减B在递增C在递减D在递增2021年全国卷假设函数在区间是减函数，则的取值围是_函数的单调递增区间是.函数的单调递减区间是 .题型5：函数的单调性求参数围型.例 题5：函数在区间2，+)上是减函数，则实数a的取值围是_。【解析】如下： 令u=*2-a*+3a，y=u 因为y=u在(0，+)上是减函数 f(*)=(*2-a*+3a)在2，+)上是减函数u=*2-a*+3a在2，+)上是增函数，且对任意*2，+)，都有u0。对称轴*=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)0。 -4a4假设f(*)=loga(3-a*)在0，1上是减函数，则a的取值围是_。【解析】令u=-a*+30，y=logau，由于a作对数的底数，所以a0且a1，由u=-a*+30得*。在0，1上，且u是减函数。 f(*)=loga(3-a*)在0，1上是减函数。 y=l