初高中数学衔接教案（含答案）

1、第一讲 数与式1.1 数与式的运算1.1绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离例1 解不等式：4解法一：由，得；由，得；假设，不等式可变为，即4，解得x0，又x1，x0；假设，不等式可变为，即14，不存在满足条件的x；假设，不等式可变为，即4， 解得x4又x3，x4综上所述，原不等式的解为 x0，或x413ABx04CDxP|x1|x3|图111解法二：如图111，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|

2、PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的几何意义即为|PA|PB|4由|AB|2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧 x0，或x4练 习1填空：1假设，那么x=_；假设，那么x=_.2如果，且，那么b_；假设，那么c_.2选择题：以下表达正确的选项是 A假设，那么 B假设，那么 C假设，那么 D假设，那么3化简：|x5|2x13|x5. 乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：1平方差公式 ；2完全平方公式 我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式：1立方和公式 ；2立方差公式 ；

3、3三数和平方公式 ；4两数和立方公式 ；5两数差立方公式 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例1 计算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 ，求的值解： 练 习1填空： 1 ； 2 ； (3 ) 2选择题：1假设是一个完全平方式，那么等于 A B C D2不管，为何实数，的值 A总是正数 B总是负数 C可以是零 D可以是正数也可以是负数 二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，等是有理式1分母子有理化把分母子中的根号化去，叫做分母子有理化为了进行分母子有理化，需要引入有理化因式的概念两个含

4、有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等 一般地，与，与，与互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的根底上去括号与合并同类二次根式2二次根式的意义例1 将以下式子化为最简二次根式：1； 2； 3解：

5、1； 2； 3例2计算：解法一： 解法二： 例3 试比拟以下各组数的大小：1和； 2和.解： 1， ，又， 2 又 42， 42， .例4化简：解： 例 5 化简：1； 2 解：1原式 2原式=， 所以，原式例 6 ，求的值 解：，练 习1填空：1_ _；2假设，那么的取值范围是_ _ _；3_ _；4假设，那么_ _2选择题：等式成立的条件是 A B C D3假设，求的值4比拟大小：2 填“，或“1.1.分式 1分式的意义形如的式子，假设B中含有字母，且，那么称为分式当M0时，分式具有以下性质：； 上述性质被称为分式的根本性质2繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1假设，

6、求常数的值解： ， 解得 例21试证：其中n是正整数； 2计算：； 3证明：对任意大于1的正整数n， 有1证明：， 其中n是正整数成立2解：由1可知 3证明： ， 又n2，且n是正整数， 一定为正数， 例3设，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20两边同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去；或e2 e2练 习1填空题：对任意的正整数n， ()；2选择题：假设，那么 A B C D3正数满足，求的值4计算习题11A 组1解不等式： (1) ； (2) ； (3) ，求的值3填空：1_；2假设，那么的取值范围是_；3_B 组1填空： 1，那么

7、_ _；2假设，那么_ _；2：，求的值C 组1选择题：1假设，那么 A B C D2计算等于 A B C D2解方程3计算：4试证：对任意的正整数n，有12 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例1 分解因式： 1x23x2； 2x24x12； 3； 4 解：1如图121，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx图1242611图1231211图12212xx图121 说明

8、：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图121中的两个x用1来表示如图122所示2由图123，得x24x12(x2)(x6)3由图124，得11xy图125 4xy(xy)1(x1) (y+1) 如图125所示2提取公因式法与分组分解法例2 分解因式： 1； 2解： 1= = 或 2= =或 = = =3关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解假设关于x的方程的两个实数根是、，那么二次三项式就可分解为.例3把以下关于x的二次多项式分解因式：1； 2解： 1令=0，那么解得， = =2令=0，那么解得， =练 习1选择题：多项式的一个因式为 A B C D2分解因式：1x2

9、6x8； 28a3b3；3x22x1； 4习题121分解因式：1 ； 2； 3； 42在实数范围内因式分解：1 ； 2； 3； 43三边，满足，试判定的形状4分解因式：x2x(a2a)第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0a0，用配方法可以将其变形为 因为a0，所以，4a20于是1当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2；2当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x2；3当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程a

10、x2bxc0a0的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0a0的根的判别式，通常用符号“来表示综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0a0，有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2；2当0时，方程有两个相等的实数根 x1x2；3当0时，方程没有实数根例1 判定以下关于x的方程的根的情况其中a为常数，如果方程有实数根，写出方程的实数根1x23x30； 2x2ax10； 3 x2ax(a1)0； 4x22xa0解：13241330，方程没有实数根2该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根， 3由于该方程的根的判别式为

11、a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21；当a2时，0， 所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a13由于该方程的根的判别式为2241a44a4(1a)，所以当0，即4(1a) 0，即a1时，方程有两个不相等的实数根 ， ； 当0，即a1时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当0，即a1时，方程没有实数根说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解

12、决问题2.1.2 根与系数的关系韦达定理 假设一元二次方程ax2bxc0a0有两个实数根 ，那么有 ； 所以，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系： 如果ax2bxc0a0的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，假设x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有以两个数x1，x2为根的一元二次

13、方程二次项系数为1是x2(x1x2)xx1x20例2 方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值分析：由于了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值解法一：2是方程的一个根，522k260，k7所以，方程就为5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一个根为，k的值为7解法二：设方程的另一个根为x1，那么 2x1，x1由 2，得 k7所以，方程的另一个根为，k的值为7例3 关于x的方程x22(m2)xm2

14、40有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值分析：此题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时，方程为x230x2930，302412930，不合题意，舍去综上，m17

15、说明：1在此题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21求出m的值，取满足条件的m的值即可1在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例4 两个数的和为4，积为12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是x，y，那么 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，这两个数是2和6解

16、法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120的两个根 解这个方程，得 x12，x26所以，这两个数是2和6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二直接利用韦达定理来解题要比解法一简捷例5 假设x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根1求| x1x2|的值； 2求的值；3x13x23解：x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根， ，1| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|23x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()说明：一元二次方程的两根之差的绝对

17、值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0a0，那么，| x1x2| 于是有下面的结论：假设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0a0，那么| x1x2|其中b24ac今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例6 假设关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围解：设x1，x2是方程的两根，那么 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范围是a4练 习1选择题：1方程的根的情况是 A有一个实数根 B有两个不

18、相等的实数根C有两个相等的实数根 D没有实数根2假设关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是 Am Bm Cm，且m0 Dm，且m0 2填空:1假设方程x23x10的两根分别是x1和x2，那么 2方程mx2x2m0m0的根的情况是 3以3和1为根的一元二次方程是 3，当k取何值时，方程kx2axb0有两个不相等的实数根？4方程x23x10的两根为x1和x2，求(x13)( x23)的值A 组1选择题:1关于x的方程x2kx20的一个根是1，那么它的另一个根是 A3 B3 C2 D22以下四个说法： 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22

19、x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个3关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，那么a的值是 A0 B1 C1 D0，或12填空:1方程kx24x10的两根之和为2，那么k 2方程2x2x40的两根为，那么22 3关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，那么它的另一个根是 4方程2x22x10的两根为x1和x2，那么| x1x2| 3试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有

20、实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数B 组1选择题:假设关于x的方程x2(k21) xk10的两根互为相反数，那么k的值为 A1，或1 B1 C1 D02填空:1假设m，n是方程x22005x10的两个实数根，那么m2nmn2mn的值等于 2如果a，b是方程x2x10的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3的值是 3关于x的方程x2kx201求证：方程有两个不相等的实数根；2设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围4一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1和x2求：1| x1x2|和；2x13x235关于x的方程x24

21、xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值C 组1选择题：1一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x70的两根，那么这个直角三角形的斜边长等于 A B3 C6 D92假设x1，x2是方程2x24x10的两个根，那么的值为 A6 B4 C3 D3如果关于x的方程x22(1m)xm20有两实数根，那么的取值范围为 A B C1 D1 4a，b，c是ABC的三边长，那么方程cx2(ab)x0的根的情况是 A没有实数根 B有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根 D有两个异号实数根2填空：假设方程x28xm0的两根为x1，x2，且3x12x218，那么m 3 x1，x2是关于x

22、的一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根1是否存在实数k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？假设存在，求出k的值；假设不存在，说明理由；2求使2的值为整数的实数k的整数值；3假设k2，试求的值4关于x的方程1求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；2假设这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|x1|2，求m的值及相应的x1，x25假设关于x的方程x2xa0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围22 二次函数2.2.1 二次函数yax2bxc的图像和性质问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2x2，yx2，y2

23、x2的图象，通过这些函数图象与函数yx2的图象之间的关系，推导出函数yax2与yx2的图象之间所存在的关系先画出函数yx2，y2x2的图象先列表：x3210123x294101492x2188202818yx2y2x2图2.2-1xOy从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数yx2，y2x2的图象如图21所示，从图21我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y2x2的图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数yx2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数yx2的图象之间的关系图

24、2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数yax2(a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到在二次函数yax2(a0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数y2(x1)21与y2x2的图象如图22所示，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y2(x1)21的图象这两个函数图象之

25、间具有“形状相同，位置不同的特点类似地，还可以通过画函数y3x2，y3(x1)21的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yax2bxc(a0)具有以下性

26、质：1当a0时，函数yax2bxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y2当a0时，函数yax2bxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y xyOxA图2.2-3xyOxA图2.2-4上述二次函数的性质可以分别通过图223和图224直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值或最小值，并指出当x取何值

27、时，y随x的增大而增大或减小？并画出该函数的图象xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图2.25解：y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)；当x1时，函数y取最大值y4；当x1时，y随着x的增大而增大；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象如图25所示说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确例2 某种产品的本钱是120元/件，试销阶段每件产品的售价x元与产品的日销售量y

28、件之间关系如下表所示：x /元130150165y/件705035假设日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量y(销售价x120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解：由于y是x的一次函数，于是，设ykxB将x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200设每天的利润为z元，那么z(x+200)(x120)x2320x2400

29、0 (x160)21600，当x160时，z取最大值1600答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元例3 把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值解法一：yx2bxc(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数yx2的图像，所以， 解得b8，c14解法二：把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，等价于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数yx2bxc的图像由于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右

30、平移4个单位，得到函数y(x4)22的图像，即为yx28x14的图像，函数yx28x14与函数yx2bxc表示同一个函数，b8，c14说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，那么是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题例4 函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变

31、量x的值 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论解：1当a2时，函数yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x2；2当2a0时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当xa时，函数取最小值ya2；3当0a2时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当x0时，函数取最小值y0；4当a2时，由图226可知，当xa时，函数取最大值ya2；当x0时，函数取最小值y0xyO2axyO2aa24图2.26xyOa224a22xyOaa24说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论此外，本例中所研究的二次函

32、数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取局部实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题练 习1选择题：1以下函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 Ay2x2 By2x24x2Cy2x21 Dy2x24x 2函数y2(x1)22是将函数y2x2 A向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 B向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 C向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 D向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2填空题1二次函数y2x2mxn图象的顶点坐标为(1，2)，那么m ，n 2二次函数yx2+(m2)x2m，当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 时

33、，函数图象的顶点在x轴上；当m 时，函数图象经过原点3函数y3(x2)25的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x 时，函数取最 值y ；当x 时，y随着x的增大而减小3求以下抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大小值及y随x的变化情况，并画出其图象1yx22x3； 2y16 xx24函数yx22x3，当自变量x在以下取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大小值时所对应的自变量x的值：1x2；2x2；32x1；40x32.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh

34、)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点个数当抛物线yax2bxc(a0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点的横坐标纵坐标为零，于是，不难发现，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式b24ac有关，由此可知，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与根的判别式b24ac存在以下关系：1当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两

35、个交点；反过来，假设抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点，那么0也成立2当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点抛物线的顶点；反过来，假设抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点，那么0也成立3当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点；反过来，假设抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点，那么0也成立于是，假设抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，那么x1，x2是方程ax2bxc0的两根，所以x1x2，x1x2，即 (x1x2)， x1x2所以，yax2bxca() = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx

36、2) 由上面的推导过程可以得到下面结论：假设抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，那么其函数关系式可以表示为ya(xx1) (xx2) (a0)这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 例1 某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点3，1，求二次函数的解析式分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而

37、可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1上，所以，2x1，x1顶点坐标是1，2设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点3，1，解得a2二次函数的解析式为，即y2x28x7说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题例2 二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式分析一：由于题目所给的条件中，二次函数

38、的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0)，展开，得 yax22ax3a， 顶点的纵坐标为 ，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，|4a|2，即a所以，二次函数的表达式为y，或y分析二：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x1又顶点到x轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或2于是可设二次函数为ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22a，或a所以，所求的二次函数为y(x1)22，或y(x1)22说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度