第三章规则金属波导

1、12022-6-522022-6-5 规则金属波导及其特点规则金属波导及其特点 规则金属波导的特征 沿其轴线方向，它的横截面形状、尺寸，以及填充媒质的电参数和分布状态，均不变化的无限长的直波导。 规则金属波导的场论分析v 金属波导管内的电磁场分析是典型的边值问题，属本征值问题；v 规则金属波导仅有一个导体，不能传播TEM导波；v 可以传播TE和TM导波，且存在无限多的模式，这些导模在传播中存在严重的色散现象，并具有截止特性；v 每种导模都具有相应的截止波长c（或截止频率fc ），只有满足条件c （工作波长）或fc c时，传播常数为实数，波沿轴线方向无相位变化，而幅度则指数规律衰减，波导已不能传

2、输能量，此时的场称为消失(衰减)场。这种损耗不是由于能量损失引起的，而是不满足传输条件的原故，称为截止式衰减截止式衰减。另一种是，由于波导壁并非理想导体，高频电流在其上流过时会产生损耗，且波导中介质也有损耗，从而引起导行波的衰减。这里讨论的就是指后一种情况的衰减。当考虑损耗时，传播常数为：cdjjc和d分别表示波导壁和波导中介质引起的衰减常数。492022-6-5设在规则波导中，参考面z=0处的输入功率为P0，则与该处相距单位长度处横截面上的输出功率为：210cPPe因此单位长度损耗的功率及c的计算式为：210000122cLcLcPPPPePPP502022-6-5设在波导内壁表面上的微分面

3、元为dS=dldz，dl和dz分别是沿波导横截面的周界和沿z方向的微元长度。在该微分面元损耗的功率为：22SLRdPdldzH由此得到单位长度的损耗功率为：22SLlRPdlH式中 是波导壁的高频表面电阻；H是波导表面的磁场切向分量。1/SRf 512022-6-5由此得到c的计算式：2212SlcWtsRHdlZHdS代入相应的场量关系，进过一系列计算后，得到各模式的c：20221TE1ScmccRbabZW：波形阻抗，定义为 与 的比值。tEtH522022-6-522222222111TE (0)Sccccmnb bmnRba aabmnban 32222222TM1ScmncbmnRa

4、bmnba532022-6-5例例 计算矩形波导中传输计算矩形波导中传输TE10波时，波导壁产生波时，波导壁产生的衰减。的衰减。 aaxzlaxRJxRJP 0 0 S2SS2Sdd2解解 已知当矩形波导传输已知当矩形波导传输 TE10 波时，波时， 波导波导宽壁宽壁上的电流具上的电流具有有 x 分量及分量及 z 分量，而窄壁上分量，而窄壁上只有只有 y 分量。因此，分量。因此，单位长度单位长度内，内，宽壁宽壁上的损耗功率为上的损耗功率为式中式中xySzHeJzySxHeJ单位长度内单位长度内窄壁窄壁上的损耗功率为上的损耗功率为bylbyRJP 0 S2Sd2式中式中zxyHeJSzyxPPk

5、l21 542022-6-5再算出传输功率再算出传输功率P，即可求得，即可求得TE10波波衰减常数衰减常数为为212122212lScPRPbaaa 则单位长度内总损耗功率为则单位长度内总损耗功率为lblalPPP1552022-6-5 在波导中填充的介质造成热损耗的原因：实际介质并非理想(0)，因而存在传导电流引起的损耗；由于介质中的电子或原子具有一定质量和惯性，在微波电磁场的作用下，很难随之同步振荡，而在时间上有滞后现象，对简谐场而言，表现为相位滞后，及D与E的关系中不再是纯实数，而是一个复数。这两种情况均可利用复数介电常数来表示，因此，复数传播常数可写为：22220 01tanccrjk

6、kkj 562022-6-5实际上大部分介质材料的损耗都很小(损耗正切tan1)，所以这个表示可用台劳级数的前两项来简化为：22222222tantan/2ccckkjkkkjkkk对于无耗介质，22ckkj由此得到均匀有耗介质的介质衰减常数为：2tan(Np/m)TEorTMMode2tan(Np/m)TEMMode2ddkk22220 01tanccrjkkkj 572022-6-5通常波导中填充空气介质，其损耗极小，因而我们主要考虑波导壁上的损耗。矩形波导TE10波的衰减常数c及各种波型衰减的比较如图所示。582022-6-55 5、矩形波导的截面尺寸选择、矩形波导的截面尺寸选择传播主模

7、TE10模的波导截面尺寸条件201001cTEcTEcTE22aab/2;/2ab综合考虑抑制高次模，损耗小和传输功率大等条件，一般选择0.7 ,(0.40.5)aba 波导尺寸确定后，不出现高阶模，工作波长范围1.051.6aa592022-6-5 以矩形波导为例，尽管在z方向它们只可能是入射波加反射波，但是由于横向边界条件，它们由TEmn和TMmn波组成并且它们只能由TEmn和TMmn波组成(后者，我们称之为完备性)，矩形波导中这些波的完备集合即简正波。 任何情况的可能解，只能在简正波中去找，具体场合所不同的仅仅是比例和组合系数，事实上，这样就把求复杂场函数的问题变换成求各个模式的系数。6

8、、关于简正波的讨论、关于简正波的讨论602022-6-5矩形波导的求解是典型的微分方程法，通解表明：在z方向它有广义传输线功能，即是入射波和反射波的迭加；在xy方向由于边界条件限制形成很多分立的TEmn波(Ez=0)和TMmn波(Hz=0)。在物理上称之为离散谱。有限边界构成离有限边界构成离散谱散谱mx方向变化的半周期数； ny方向变化的半周期数。 矩形波导中TE波和TM波的全部集体构成简正波612022-6-51. 1. 完备性完备性 矩形波导中不论放置什么障碍物和边界条件，它们里边存在的是TEmn和TMmn模式，而且，它们也只能存在TEmn和TMmn模式，具体情况所不同的仅仅是各种模式的比

9、例与组合。2. 2. 正交性正交性 简正模中各个模式是相互正交的，也就是说，它们之间没有功率和能量交换，即各模式相互独立，在Fourier分析中表明622022-6-500cossin0 sin cossin0 sinabmlxxdxmlaanpyydynpbb保证了每一模的独立性。 3. 3. 传输模和雕落模传输模和雕落模 由于频率的选择，每一种模都有可能成为传输模或雕落模。 632022-6-522222 cxycmnmnkkkab截止波数截止波数cmn22 / ) 1( /)j zce （0zE2(2 / ) 1 ( / )zcce 传输模传输模凋落模凋落模cmn642022-6-5主模

10、主模TETE1010模小结模小结101010sinsincos0jzyjzxjzzxzyjaxEHeajaxHHeaxHHeaEEH652022-6-5222 2 1/2 ) 1/2 )1 1/2 )cgpaaCaa传传播播条条件件波波导导波波长长（相相速速（波波阻阻抗抗（662022-6-5TE10TE10波表达式，是以波表达式，是以 为领矢矢量的。然而，在实用为领矢矢量的。然而，在实用上也常有用上也常有用 作领矢矢量作领矢矢量0sinj zyEEx eazHyE()00yyxyzyEjHijkEjj E ikjH iH jH kxyxE 672022-6-5000sinsin1cosj z

11、yj zxj zzEEx eaHEx eaHjEx eaa 最终得到最终得到682022-6-522012480abEPa2212480brbrabEPa (2)Pbr与 有关 设 21 ( /2 )a2/, ( )1cxf xx 00.50.9 1.01f(x)x很明显，x 愈接近1则功率容量愈低，且x 或fc 或fc1时， 由Bessel函数和Neuman函数的渐进性质，可得00mcmcmcmcAJk aBNk aAJk bBNk b/(1)mcmcmcmcJk aJk bNk aNk b1412022-6-5 221221cossin44mmmmJxxNxxxx由此可得：()22()1,

12、2,mncc TMck banbankn3、H波的截止波长波的截止波长用类似的方法可得H波的特征方程为：/(2)mcmcmcmcJk aJk bNk aNk b最低次E01模的截至波长012()cTMba对m=0的情况，利用Bessel函数的导数关系，有：1422022-6-5 此式与m=1时E波的关系式相同，于是：0000/(2)ccccJk aJk bNk aNk b02()1,2,nc Hbann对m0的情况，要用数值方法求解，其近似解为：1()1,2,2()2,3,4,1mmnc Hc Habmmbann最低次H11模的截至波长：11()cTEab1432022-6-5由以上可以看出，

13、同轴线中截止波长最长的波是H11波。因此，为了保证同轴线单模传输，必须使H11波截止，即使工作波长11minmin()c Habab 1442022-6-5 设计同轴线需选择它的内、外导体半径a和b。并考虑以下几个因素： 在工作频带内，保证工作波型TEM的单模传输； 功率容量要大； 损耗要小。5 5、同轴线尺寸选择、同轴线尺寸选择同轴线只传播TEM模，最低次导模为TE11模，截止波长最大，应满足min()ab同轴线的应用问题同轴线的应用问题1452022-6-5同轴线的功率容量受介质材料击穿电场强度的限制，为此先求出极限功率Pbr和介质的击穿场强Ebr之间的关系。 设同轴线内、外导体之间的电压

14、幅度为Vm，则传输功率为：20/2mPVZ00lnbmaEbVdrEra20ln/bEaP q计算极限功率计算极限功率PbrVm可通过同轴线中TEM的电场强度的幅度Em来计算：代入同轴线的特性阻抗，得1462022-6-5当同轴线中的最大电场强度达到击穿场强Ebr时，功率P达到极限值。由 最后得 0,brr aEEr22ln./brbrba EaP 0/brdPd b a1.65ba若填充介质为空气，则22ln120brbra EbPa在介质一定的情况下，Pbr与a和b有关。如果 ，令b不变，只改变aab令若填充介质为空气，则相应于该尺寸的同轴线的特性阻抗约为若填充介质为空气，则相应于该尺寸的

15、同轴线的特性阻抗约为30 .1472022-6-5(TEM)02cRZ1122SRRab R为同轴线单位长度的电阻：同轴线的衰减常数为：q 计算同轴线的衰减常数计算同轴线的衰减常数最后得0/cdd b a3.592ba(TEM)1/2lncSbbRbaa由上面可以看出，获得最大功率容量和最小衰减的条件并不相同，如果两由上面可以看出，获得最大功率容量和最小衰减的条件并不相同，如果两者兼顾，可取者兼顾，可取b/a=2.303。此时衰减比最佳值约大。此时衰减比最佳值约大10，功率容量比最大值，功率容量比最大值约小约小15。这时的特性阻抗为。这时的特性阻抗为50 （以空气填充为例，硬同轴线）。（以空气

16、填充为例，硬同轴线）。在微波波段，同轴线的特性阻抗常取在微波波段，同轴线的特性阻抗常取50 和和75 两种。两种。由 可得 1482022-6-5实际使用的同轴线的特性阻抗一般有实际使用的同轴线的特性阻抗一般有5050和和7575两两种。种。50(b/a=2.3)50(b/a=2.3)的同轴线兼顾了耐压、功率容量和衰减的同轴线兼顾了耐压、功率容量和衰减的要求的要求, , 是一种通用型同轴传输线；是一种通用型同轴传输线； 7575的的同轴线是衰减同轴线是衰减最小的同轴线最小的同轴线, , 它主要用于远距离传输。它主要用于远距离传输。1492022-6-5用同轴线作传输能量的传输线时，高次模有害，

17、应当避免。但同轴线中的高次模有时是有用的。图示为一种应用了同轴线中高次模的复合馈源，其内导体是传输TE11模的圆波导管，同时它又与外导体一起构成了一端短路的同轴线。该馈源用圆波导中的H11模激励，只要短路同轴线的长度l、同轴线内、外导体直径1、 2选择得合适，口面处圆波导的H11模叠加形成的口径场，可使馈源的方向图形状和张角十分接近抛物面天线所需要的理想馈源方向图。1502022-6-51512022-6-5正规模的定义： 均直无耗金属波导中的TE模和TM模。包括无穷多个结构不同的TEmn和TMmn模式，彼此相互独立，单独存在，也可同时并存麦克斯韦方程的两套基本的独立解。波导正规模的重要特性

18、对称性 正交性 完备性 1522022-6-5对称性 ：正规模的电场和磁场对时间和距离具有对称函数和反对称函数a.正规模的电场和磁场波函数对时间t分别为对称函数和反对称函数，即有： 或b.正规模的电场和磁场的波函数关于纵坐标z的对称性。横向电场Et与纵向磁场Hz是坐标z的对称函数；横向磁场Ht与纵向电场Ez是坐标z的反对称函数，即有21( , )( ,)E r tE rt21( , )( ,)Hr tH rt 21( )( )E rEr21( )( )HrHr 下标1为t 的场，下标2为t 的场，1532022-6-5如果时间如果时间t t和传播方向（即坐标和传播方向（即坐标z z）同时变换符

19、号，则电）同时变换符号，则电场和磁场应同时满足以上几式，对称性则变成：场和磁场应同时满足以上几式，对称性则变成：21( )()ttEzEz21( )()zzEzEz 21( )()ttHzHz 21( )()zzHzHz21t it iEE21t it iHH21z iz iEE 21z iz iHH 下标下标1为为z方向方向 的场，的场，下标下标2为为z方向方向 的场，的场，下标下标i为模式指数，为模式指数，im, n1542022-6-5结论：正规模的电场和磁场的横向分量或纵向分量相互同相，而横向分量与纵向分量成90相位差。故对于正规模， 是传输能量。c.对于截止模，不存在变换z的符号问题

20、，只有时间对称 关系： 可见Ei是实数，而Hi是虚数，两者相位差90。故对于截止模或消失模， 不是传输能量，而是虚功，是储能。正规模的对称性是麦克斯韦方程对称性和规则波导本身对称性的必然结果。 iiEH21( )( )iiErEr21( )( )iiHrHr iiEH1552022-6-5 正交性： 正交性是正规模的一种基本特性。在确定组成波导中的电磁场各模式的系数时，都必须应用正规模的正交特性。两个模式之间有能量交换称为“耦合”，没有能量交换为“无耦合”或“正交”。本征函数具本征函数具有正交特性有正交特性本征函数表征波导的正规模本征函数表征波导的正规模也就具有正交特性。也就具有正交特性。15

21、62022-6-5定理定理1：设：设 i和和 j是规则波导中第是规则波导中第i个和第个和第j个个TE模或模或TM模模的的纵向场分量纵向场分量，其，其kc值分别为值分别为kci和和kcj，当，当kci kcj时，恒有时，恒有0ijSdS式中S是规则波导的横截面。该定理表明，两个非简并的TE或TM模的纵向场分量正交。如果两个模简并，即kci kcj，则应取上述模简模的适当线性组合，例如取i i、 j j j，形成亚模i 和j ，只要取待定常数为： 则亚模i 和j 正交。因此，在一般讨论中，假定kci kcj，并不影响最后结论。ijijijiiiiSSiiPPdSPdSP1572022-6-5定理2

22、：编号为i和j的两个不同的TE模或TM模的横向电场分量，以及一个TM模和一个TE模的横向电场分量相互正交。即式中上角标e表示TM波、m表示TE波000eetitjSmmtitjSemtitjSdSdSdSEEEEEE1582022-6-5定理定理3：编号为：编号为i和和j的两的两TE模或模或TM模的横向磁场分量，以模的横向磁场分量，以及一个及一个TM模和一个模和一个TE模的模的横向磁场分量横向磁场分量相互正交。即相互正交。即式中上角标e表示TM波、m表示TE波定理定理4：在无耗波导中，若存在几个非简并的传输模，则这：在无耗波导中，若存在几个非简并的传输模，则这些传输模所传输的总功率等于每个模单

23、独存在时传输的功些传输模所传输的总功率等于每个模单独存在时传输的功率之和。即非简并的模之间没有功率耦合，具有率之和。即非简并的模之间没有功率耦合，具有功率正交功率正交性。性。000eetitjSmmtitjSemtitjSdSdSdSHHHHHH0t0()()0itjSEHads,TETMij或模1592022-6-5(5)模式间正交模式间正交00() ()0TETMtitjSEEds00() ()0TETEtitjSHHdsijij(6)(6)模式函数正交性模式函数正交性推广为推广为 （归一化）（归一化）000ijSEHzdsij10ijSijehzdsij1602022-6-5完备性如前所

24、述，波导正规模是本征函数的乘积，而本征函数系是完备的，所以正规模必然是完备的。波导中的任意电磁场都可以用正规模叠加来代表，即用正规模的展开式来表示。1612022-6-5波导中的任意电磁场的横向场可以表示为（沿正z方向传播情况）：系数和可用正交关系像确定傅立叶级数的系数那样来确定。 和 可以属于TE模或TM模。 令 0()ijztitiiEA Ee0()ijztitiiHB He0()tiE0()tiH( )ijziiAeV z( )ijziiiBeZ I z00()()tiitiiiEeHh Z1622022-6-5则上式还可写为式中 和 称为第i模式的模式电压和模式电流。当波导中传输任意场

25、时，所传输的总功率为( ) ( , )tiiiEV z e u v( ) ( , )tiiiHI z h u v( )iV z( )iI z011ReRe221Re21Re21Re2ttSSi ijjSijijijSijiiiiSiPEHzdsEHzdsVeI hzdsV IehzdsV Ieh zds10ijSijehzdsij1632022-6-5结果表明，波导中传输任意场时的总功率等于每个正规模所携带功率之总和，而各模式之间没有能量耦合。正如前面所讨论的色散导波系统，如矩形波导或圆波导.其TE和TM模的场解为：而场解的分量可能存在的完备形式为：, , , , ,uuzzE uza Euz

26、a Euza Euz, , , , ,uuzzH uza Huza Huza Huz1642022-6-5, , ,uumnmnEuzEuz, , ,mnmnEuzEuz, , ,zzmnmnEuzEuz, , ,umnmnHuzHuz, , ,mnmnHuzHuz, , ,zzmnmnHuzHuz具体具体TEmn和和TMmn的场分量的场分量1652022-6-53.5不均匀性引起模式耦合不均匀性引起模式耦合 正交性 只存在于均直无耗传输系统中 不均匀性 引起模式之间的能量耦合 。不均匀性 z方向上横截面发生变化截面边界条件的改变，或者局部引入介质等。 矩形波导为例 ，其交叉功率 121200

27、sinsinsinsincoscoscoscosabmmnnIxx dxyy dyaabb1662022-6-512mm12nn 或或 ，有，有 I 0三角函数的正交性三角函数的正交性 三角函数在积分区间取波导截面的整个区域三角函数在积分区间取波导截面的整个区域和和 时才成立时才成立均匀波导均匀波导 正交性正交性 0 xa0yb不均匀性，假设不均匀性，假设宽边两侧种插入宽边两侧种插入一片金属薄片，一片金属薄片，在不均匀区在不均匀区 即即aaa1672022-6-5因为交叉功率的积分I中对的积分区域由a变为a，这样，即使模式标号 的两个不同模式，I中对x的积分也不一定等于零了，因此，m1m2，n

28、1n2的不同模式之间就不一定正交。由于金属片的插入，使得模式标号m不同的模式之间可能发生能量的交换原来边界条件下的正交本征函数对于新的边界条件不再正交了，因此就出现了模式之间的耦合。 在均匀区，导波系统如果传输的是单一主模，到达不均匀区将激励起一些高次模。 12mm121200sinsinsinsincoscoscoscosabmmnnIxx dxyy dyaabb1682022-6-5模式之间的耦合意味着能量的转移，这在微波技术中是一个重要的问题，在不均匀区将激励起并能传播的场模式取决于：传播条件：c；激励条件：奇偶禁戒规则。传输系统中第i和第j模式之间的交叉功率为： 1()2212iiji

29、jziTjTSSiTjTSiPEHa dSHH dSEE dS3.6 奇偶禁戒规则奇偶禁戒规则1692022-6-5根据本节前面给出的模式正交定理:引入归一化横向场 ，满足 0ijP ij0ijP ij( , )if x yj( , )( , )iijsf x yfx y dxdy10ijijij1702022-6-5有了正交归一化条件，再根据模式的完备性，就可以将传输系统中的任何场F在S面上展开为正交模式，即将上式两边各乘 ，在S内积分 ( , )( , )iiiF x ya f x yj( , )fx yj( , )( , )( , )( , )jiissiiijjiF x yfx y d

30、saf x yfx y dsaa( , )( , )jjsaF x yfx y ds1712022-6-5所关心的是，在什么条件下 呢？根据场的对称性质，对于某一对称面，可以把场按其空间对称性质分对称（偶）场和反称（奇）场两类。如果 与 对于某一个对称面具有相反的对称性（一个为奇，另一个为偶），则必有 现在来解释其物理意义，并且给出奇偶禁戒规则：1.设为F外来的激励场，目的是在传输系统中建立起某些所需要的模式，这称为传输系统的“激励”。 0ja ( , )F x y( , )jfx y0ja 1722022-6-52.激励场可以展开为各正交模式场的叠加， 的系数 代表这个模式的相对大小。如果

31、，则表示在这种激励条件下，模式不存在，或者叫做被“禁戒”。结论：如果激励场与被激励的模式的场具有相反相反的对称性质（一个为奇，另一个为偶），则此模式被禁戒，这就是奇偶禁戒规则奇偶禁戒规则。 一般的奇偶禁戒规则可以归结为两句话：对称（偶）激励不可能激起反称（奇）模式；反称（奇）激励不可能激起对称（偶）模式。jfja0ja 1732022-6-5 在具体应用这个规则时，还必须注意以下几点：1、场的对称相对于某一个确定的对称面而言，这个对称 面必须是边界条件的几何对称面。2、激励场与被激励场的对称性质，可以都用电场来判断，也可以都用磁场来判断；可以证明，这两种分析的结果都是一样的，因此任选取某种场进行分析就够了。3、只要找到任何一个对称面，满足奇偶禁戒规则，就可 以断定相应的模式是被禁戒的。1742022-6-51、波导激励的物理概念和波导的激励形式波导的激励就是要在波导中建立起所需要的工作模式，并力求使信号源的能量匹配的进入波导。在设计激励时，通常先定性地选择结构形式和激励器端位置；在定性