东北大学电路理论第四章单相正弦

1、.正弦电路稳态分析正弦电路稳态分析交流（交流（AC）系统和直流（）系统和直流（DC）系统谁先诞生？）系统谁先诞生？爱迪生发明了白炽灯和直流发电机，该发明成为爱迪生发明了白炽灯和直流发电机，该发明成为1881年巴年巴黎博览会的奇迹之一。黎博览会的奇迹之一。1882年爱迪生在欧洲和美国建设了年爱迪生在欧洲和美国建设了若干若干直流中心发电站。直流中心发电站。但致力于推广直流电供电网络的爱但致力于推广直流电供电网络的爱迪生也碰上了难题迪生也碰上了难题长距离输电损耗造成成本上升。长距离输电损耗造成成本上升。1882年，当时在爱迪生手下工作的年轻科学家特斯拉，成年，当时在爱迪生手下工作的年轻科学家特斯拉，

2、成功造出小型交流电电动机，颠覆了交流电无法供能的结论。功造出小型交流电电动机，颠覆了交流电无法供能的结论。在经济性和适用性方面更占优势的交流电，爱迪生建立直在经济性和适用性方面更占优势的交流电，爱迪生建立直流输电网络的雄心随之破灭。流输电网络的雄心随之破灭。 1895年，世界上第一座水力发电站年，世界上第一座水力发电站美国尼亚加拉美国尼亚加拉发电站采用了交流电系统，宣告了交流电对直流电的胜发电站采用了交流电系统，宣告了交流电对直流电的胜利。利。 交流电的优点主要表现在发电和配电方面交流电的优点主要表现在发电和配电方面：利用建立：利用建立在电磁感应原理基础上的交流发电机可以很经济方便地把在电磁感

3、应原理基础上的交流发电机可以很经济方便地把机械能（水流能、风能机械能（水流能、风能）、化学能（石油、天然）、化学能（石油、天然气气）等其他形式的能转化为电能；交流电源和交流变）等其他形式的能转化为电能；交流电源和交流变电站与同功率的直流电源和直流换流站相比，造价大为低电站与同功率的直流电源和直流换流站相比，造价大为低廉；交流电可以方便地通过变压器升压和降压，这给配送廉；交流电可以方便地通过变压器升压和降压，这给配送电能带来极大的方便这是交流电与直流电相比所具有的电能带来极大的方便这是交流电与直流电相比所具有的独特优势独特优势 交流电的优点交流电的优点交流电常用的电压：交流电常用的电压：110v

4、，220v，380v，3kv，6kv，10kv，20kv，50kv，35kv，66kv，110kv，220kv，330kv，500kv，750kv等等 交流电电压等级划分：交流电电压等级划分： 高压（高压（HV ）：）： 35220kV ，超高压（超高压（EHV ）：）：330kV 1000kV，特高压（特高压（UHV） ：1000kV及以上的电压及以上的电压为什么要分析正弦稳态电路？为什么要分析正弦稳态电路？1、电能远距离传输的需要、电能远距离传输的需要2、正弦信号的完备性：正弦量的加、减、微、正弦信号的完备性：正弦量的加、减、微 分、积分均为正弦量分、积分均为正弦量3、周期信号周期信号 一

5、系列正弦信号一系列正弦信号 傅里叶分析傅里叶分析.上页 下页目录返回4.1.1 正弦量的三要素正弦量的三要素 tIi sinmit O 2 I Im m T上页 下页目录返回Tf1fT22上页 下页目录返回4.1.2 正弦量的初相位与相位差正弦量的初相位与相位差it )sin(mtIiOt 表示正弦量在表示正弦量在 t t =0=0时的相位。时的相位。 0)(tt上页 下页目录返回相位差：相位差：两同频率的正弦量之间的初相位之差。两同频率的正弦量之间的初相位之差。)sin(1mtUu如如：)sin(2mtIi)()(21 tt21 若若021电压超前电流电压超前电流 uiu i tO上页 下页

6、目录返回 021uitui O 9021 90uitui90O021uituiO18021tuiuiO上页 下页目录返回4.1.3 正弦量的幅值与有效值正弦量的幅值与有效值有效值：有效值：如果一个周期电流如果一个周期电流 i 通过电阻通过电阻 R , , 在一个在一个周期周期 T 内消耗的热能等于直流电流内消耗的热能等于直流电流 I 在同样时间在同样时间内通过该电阻内通过该电阻 R 消耗的能量消耗的能量 , , 则则I 定义为定义为 i 的有效的有效值。值。dtRiT20RTI2则有则有 TtiTI02d1 TttIT1022mdsin2mI 上页 下页目录返回同理：同理：mm707.02UU

7、U 上页 下页目录返回上页 下页目录返回 4.2.1 复数复数 复数表示形式复数表示形式设设A A为复数为复数: :A =a + jbo+1+jAab式中式中:racosrbsinabarctan22bar复数的模复数的模复数的辐角复数的辐角r上页 下页目录返回由欧拉公式由欧拉公式: :2jeesinjj ,2eecosjj sinjcosej 可得可得: rAje rA rrrjrbaA jesincosj )sinj(cossinjcosrr rA上页 下页目录返回 复数运算复数运算(1)(1)加减运算加减运算用代数或三角形用代数或三角形式若若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 则

8、则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)加减法可用图解法。加减法可用图解法。A1A2+1+jOA1+A2A1-A2-A2上页 下页目录返回(2) (2) 乘除运算乘除运算极坐标或指数形式极坐标或指数形式 若若 A1=|A1| 1 ，若若A2=|A2| 21212()1212121212jjjAAA eA eAA eAA 乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。112jj()11111112j 2222222| | e|e | |e|AAAAAAAAAA 上页 下页目录返回除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。2=cossin222jejj 2-=cos()sin()222jejj

9、=cos()sin()1jej 上页 下页目录返回00 =cos0sin01jej 例例?2510475 )226. 4063. 9()657. 341. 3(2510475jj 569. 047.12j 61. 248.12 解解:?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 例例 解：上式解：上式2 .126j2 .180 04.1462.203 .56211. 79 .2724.19 16.70728. 62 .126j2 .180 329. 6 j238. 22 .126j2 .180 365 .2255 .132j5 .182 上页 下页目录返回正弦量的相量正弦量的相量设设 s

10、in()miiIt 因为因为()cos()sin()ijtmmimiI eItjIt 所以所以()sin()ImImImiimijtjj tj tmmmiItI eI eeI e取虚部幅值相量幅值相量ijmmmiII eI 又又()sin()2 sin()Im 2Im 2Im 2iimiijtjj tj tiItItIeIeeIe 有效值相量有效值相量ijiIIeI 相量相量: : 表示正弦量的复数称为相量。表示正弦量的复数称为相量。2msin()=sin()uUtUt 设正弦量设正弦量 : : UUeU j上页 下页目录返回 UU eU jmmm则则相量的两种表示形式：相量的两种表示形式：)

11、jsincos(ejUUUU 相量式相量式: 相量图相量图: : 把相量表示在复平面的图形把相量表示在复平面的图形V202201 UV451102 U+1+j1U 202U 451U2U超前超前落后落后？2U1U 落后于落后于上页 下页目录返回求：求：例例：15 253 1i tt ( )sin(.)210 236 9i tt ( )sin(.)解解：12i ti ti t( )( )( )(1ti)(2ti)(ti1.5351I43j9 .36102I68j21III211j3 .1018.11( )11.182 sin(10.3 )i tt 正弦量以相量表示，有正弦量以相量表示，有例例 图

12、示电路，已知图示电路，已知：解解：16230u tt ( )sin()24 260u tt ( )sin()(3tu求求+ u1(t) -u3(t) -u2(t) +3061U6042U213UUU)45.32()319.5(jj45.019.3j03. 822. 333 2228 03utt ( ).sin(.)正弦量以相量表示，有正弦量以相量表示，有上页 下页目录返回时域形式时域形式：相量形式：相量形式：iuRRiRIUUII 相量模型相量模型)sin(2)( itIti 已已知知)sin(2)()( iRtRItRitu 则则uR(t)i(t)R+- -有效值关系：有效值关系：UR=RI

13、相位关系相位关系 u= i (u,i同相同相)R+- -RU IUR u相量关系：相量关系：IRUR 上页 下页目录返回RUI u= i时域形式：时域形式：i(t)uL(t)L+- -相量形式：相量形式：) sin(2)( itIti 已已知知)2 sin( 2 ) cos(2d)(d)( iiLtILtILttiLtu 则则相量模型相量模型j L+- -LU I相量关系：相量关系：ILjUL 有效值关系有效值关系UL= L I相位关系：相位关系： u= i + 4.3.2. 4.3.2. 电感元件电感元件伏安关系伏安关系相量形式相量形式2 iLiLIUIILUI i2 时域形式：时域形式：)

14、sin(2)( utUtu 已已知知)2sin(2 )cos(2d)(d)( uuCtUCtUCttuCti 则则相量形式：相量形式：相量关系：相量关系：iC(t)u(t)C+- -2 uCuCUIUU 有效值关系：有效值关系： IC= CU相位关系：相位关系： i = u + (i 超前超前 u 90)CCCICjICjUUCjI 11 UCI +- -Cj1UCI u上页 下页目录返回2 4.3.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式上页 下页目录返回 基尔霍夫电流定律的相量形式基尔霍夫电流定律的相量形式对于电路中任一结点，对于电路中任一结点，根据根据KCL有有： 0i连接在电路

15、任一节点的各支路电流的相量的代数和为零连接在电路任一节点的各支路电流的相量的代数和为零上页 下页目录返回 ）一般一般0I(0I 基尔霍夫电压定律的相量形式基尔霍夫电压定律的相量形式对于电路中任一回路，对于电路中任一回路，根据根据KVLKVL有有： 0u任一回路的各支路电压的相量的代数和为零任一回路的各支路电压的相量的代数和为零上页 下页目录返回）一般一般 0U(0U例例。和和，求求电电压压，已已知知：有有效效值值bdadSuuFCHLRsradAI 113/105 3 LCR+ uL - -uCa+- -iS+ uR - -bcdR+ - -a+- -+ - -bcdSI RU LU CU L

16、j Cj 1AIS 05设VIRUSR 015VILjUSL 905000 VICjUSC 9050001 上页 下页目录返回R+ - -a+- -+ - -bcdSI RU LU CU Lj Cj 1VIRUSR 015VILjUSL 905000 VICjUSC 9050001 0 CLbdUUUVUUUbdRad 015Vtuuadbd)10sin(21503 上页 下页目录返回 4.4 复阻抗、复导纳及其等效变换复阻抗、复导纳及其等效变换上页 下页目录返回 正弦激励下正弦激励下IZU+- -线性线性无源无源 IU+- -jXRZIUIUIUZiuiu | 复复阻阻抗抗|Z|RX 阻抗三

17、角形阻抗三角形iu 单位：单位： IUZ 阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角4.4.1 复阻抗与复导纳复阻抗与复导纳 上页 下页目录返回复导纳复导纳YjBGYUIUIUIYuiui |Y|GB 导纳三角形导纳三角形 ZYYZ1 , 1 对同一二端网络对同一二端网络:单位：单位：SUIY |ui 上页 下页目录返回线性线性无源无源 IU+- -IYU+- -导纳模导纳模导纳角导纳角（1）电阻阻抗与导纳：）电阻阻抗与导纳：RRIRU （2）电感阻抗与导纳电感阻抗与导纳：LLLLjBLjLjYjXLjZ 11,（3）电容阻抗与导纳电容阻抗与导纳：CCCCjBCjYjXCjCjZ ,11GRYRZRR 1,LL

18、ILjU CCUCjI 4.4.2 R、L、C 元件的阻抗和导纳元件的阻抗和导纳上页 下页目录返回 , :UZZUZZkkkk串联4.4.3 阻抗和导纳的串联和并联阻抗和导纳的串联和并联 上页 下页目录返回Z1+Z2ZnUIZ+- -UIZIZZZIUUUUnn)(21211. 1. 阻抗的串联阻抗的串联2. 2. 导纳的并联导纳的并联Y1+Y2YnUIY+- -UIYUYYYUIIIInn)(2121 , :IYYIYYkkkk并联上页 下页目录返回121221121212-Z ZZZZZIIZZZIIZZ上页 下页目录返回分流公式：分流公式：RLC串联电路的阻抗串联电路的阻抗ZjXRXXj

19、RCLjRCjLjRZZZZCLCLR )()1( 1 LCRuuLuCi+- -+- -+- -+- -uR. Ij LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1+- -RU. 上页 下页目录返回电路为感性，电压超前电流；电路为感性，电压超前电流；电路为容性，电压落后电流；电路为容性，电压落后电流；电路为电阻性，电压与电流同相。电路为电阻性，电压与电流同相。 ZRXXRjXRXXjRCLjRZCLarctan)()1(22CL 1 0, 0 XCL 1 0, 0 XCL 1 0, 0 X上页 下页目录返回j LR+- -+- -+- -. ULU. CU. Cj1+- -RU.

20、. IRLC并联电路的导纳并联电路的导纳Y由由KCL：iLCRuiLiC+- -iL. Ij L. ULI. CI. Cj 1R+- -RI. 上页 下页目录返回 YGBBGjBGBBjGLCjGLjCjGYYYYLCLCRarctan)()1(122电路为容性电路为容性，i 超前超前 u；电路为感性电路为感性，i 落后落后 u；电路为电阻性电路为电阻性，i 与与 u 同相同相。LC 1 0, 0 BLC 1 0, 0 BLC 1 0, 0 B上页 下页目录返回 YGBBGjBGLCjGYYYYLCRarctan)1(22. Ij L. ULI. CI. Cj 1R+- -RI. 例例求图示电

21、路的等效阻抗，求图示电路的等效阻抗， 105rad/s 。解解感抗和容抗为：感抗和容抗为： 100130 100)100100(10030)(221jjjjXRjXjXRjXRZCLCL 10010110 35LXL 100101 . 0101165CXC 1mH30 100 0.1 FR1R2上页 下页目录返回例例图示电路对外呈现感性还是容性？图示电路对外呈现感性还是容性？ 。等效阻抗为：等效阻抗为： 75. 45 . 5481 .532563 )43(5)43(5630jjjjjjZ3 3 j6 j4 5 电路对外呈容性。电路对外呈容性。上页 下页目录返回。，1021/3141001010

22、005 . 010 UsradVUFCRHLRS求各支路电流和电压 例已知R2R1+- -+- -Lj Cj 1SU I1 I2 I10 U 0100SU设：设： 10001021RRZZ， 157jLjZL 5 .3181jCjZC CRLRZZZZZ/21 5 .3181000)5 .318(100015710jjj 132102j 16752 3 . ZUIS 3 .5216701000 6 52 3 A. 上页 下页目录返回。，1021/3141001010005 . 010 UsradVUFCRHLRS求各支路电流和电压例 已知R2R1+- -+- -Lj Cj 1SU I1 I2

23、I10 U 10001021RRZZ， 157jLjZL 5 .3181jCjZC 2210.57 70 ARRCZIIZZ0 6 52 3 AI. 16752 3 Z. 220.18220 ACRCZIIZZ210218220 VRUZI上页 下页目录返回4.4.3 复阻抗和复导纳的等效互换复阻抗和复导纳的等效互换ZRjXGjBY | ZjXRZ| YjBGYjBGXRjXRjXRZY 2211 2222 , XRXBXRRG BXGR1,1 一般情况下，一般情况下， 若若Z Z为感性，为感性， X0，则，则B0, 电路吸收功率电路吸收功率, ,电源把能量传送给网络。电源把能量传送给网络。p

24、 p0，电路发出功率，网络把能量返还给电源。电路发出功率，网络把能量返还给电源。 t iOupUIcos )2cos(cos sin2)sin(2)(tUIUItItUuitp 上页 下页目录返回 TtpTP0d1正弦量的有效值正弦量的有效值cos ：功率因数。功率因数。P P 的单位的单位：W（瓦瓦）、）、KW（千瓦）（千瓦） TttUIUIT0d)2cos(cos1 UIcos 对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。iu IU、功率因数角功率因数角4.5.2 平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）上页 下页目录返回v R、L、C 元件的平均功率元件的平均功率

25、电阻电阻 R： = 0 = 0，RURIIUIUPRRRRRRR22cos 电感电感 L： = = /2 /2 ，0cos LLLIUP电容电容C： =- =- /20cos CCCIUP电阻吸收有功功率，而电感电阻吸收有功功率，而电感和电容不吸收有功功率。和电容不吸收有功功率。上页 下页目录返回 4.5.3 无功功率无功功率 瞬时功率可改写为瞬时功率可改写为：tIUtIU 2sinsin)2cos1 (cos)2(coscos)( tIUtp 上式第一项符号不变，反映网络上式第一项符号不变，反映网络 N N 与外电路之间的单与外电路之间的单向能量传送速率，其平均值即有功功率。上式第二项是正负

26、向能量传送速率，其平均值即有功功率。上式第二项是正负半周对称的时间函数，它反映网络半周对称的时间函数，它反映网络 N N 与外电路之间能量往与外电路之间能量往返交换的速率，是在平均意义上不能作功的无功分量，其返交换的速率，是在平均意义上不能作功的无功分量，其最最大值大值 UIsin 定义为网络的无功功率。定义为网络的无功功率。上页 下页目录返回定义网络定义网络 N N 的无功功率的无功功率 Q Q 为：为：Q 的单位：无功伏安，简称为：乏的单位：无功伏安，简称为：乏 ( (var) )、千、千乏乏（kvar) )v R、L、C 元件的无功功率元件的无功功率电阻电阻 R： = 00sin RRR

27、IUQ电感电感 L： = /2LLLLLLLLLXUXIIUIUQ22sin 电容电容 C： = - /2cCcCCCCCCXUXIIUIUQ22 sin电阻不吸收无功功率，电感吸收正值的无功电阻不吸收无功功率，电感吸收正值的无功功率，电容吸收负值的无功功率。功率，电容吸收负值的无功功率。UIQsindef 上页 下页目录返回设备的容量一般用视在功率表示。设备的容量一般用视在功率表示。S 的单位：伏安的单位：伏安 ( (VA) )、千伏安、千伏安( (KVA) )视在功率、平均功率和无功功率之间的关系视在功率、平均功率和无功功率之间的关系视在功率视在功率)( VA : def伏安伏安单位单位U

28、IS 22QPS 上页 下页目录返回QPS222 sinSQ cosSP PQtg SPQ 视在功率，平均功率视在功率，平均功率和无功功率之间的关系和无功功率之间的关系上页 下页目录返回讨论正弦电流电路中负载获得最大功率讨论正弦电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。的条件。S UZLZiI+- -Zi= Ri + jXi， ZL= RL + jXL2Li2LiSLiS)()( , XXRRUIZZUI ZL= RL + jXL可任意改变可任意改变 2Li2Li2SL2L)()( XXRRURIRP 有有功功功功率率功率传输功率传输上页 下页目录返回(a) 先讨论先讨论XL改变时，改变时，P

29、 的极值的极值 显然，当显然，当Xi + XL=0，即，即XL = - -Xi时，时，P 获得极值获得极值2Li2SL)(RRURP (b) 再讨论再讨论RL改变时，改变时，P的最大值的最大值 当当RL= Ri时，时，P获得最大值获得最大值i2Smax4RUP 综合综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：，可得负载上获得最大功率的条件是：ZL= Zi*，即，即RL= RiXL =- -Xi2Li2Li2SL)()(XXRRURP 共扼匹配共扼匹配 最佳匹配最佳匹配上页 下页目录返回求一端口的戴维南等效电路：求一端口的戴维南等效电路：例例 图示电路图示电路 求负载最佳匹配时获得的最大

30、功率。求负载最佳匹配时获得的最大功率。,02AIS SI+_2 2 2 j4 Z I U+_ZeqZ I U+_ocU 024424jjUOC 4522224444jjjZeq 。时时，负负载载获获得得最最大大功功率率当当22jZZeq WRUPeqOC124)22(422max 上页 下页目录返回4.6 正弦稳态电路的计算正弦稳态电路的计算上页 下页目录返回电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：GuiRiuui : 0 :KVL 0 :KCL :或元件约束关系电阻电路 : 0 :KVL 0 :KCL : UYIIZUUI或或元件约束关系元件约束关系正弦电

31、路相量分析正弦电路相量分析可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。用于正弦稳态的相量分析中。4.6 正弦稳态电路的计算正弦稳态电路的计算上页 下页目录返回1、根据原电路图画出相量模型图根据原电路图画出相量模型图( (电路结构不变电路结构不变) )Ee 、Ii 、UuX C 、XL 、 RRCLjj2 2、根据相量模型列出相量方程式或画相量根据相量模型列出相量方程式或画相量图图3、用相量法或相量图求解用相量法或相量图求解4、将结果变换成要求的形式将结果变换成要求的形式上页 下页目录返回 例例图示电路中，已知图示电路中，已知j5)5(,j0.5)0.1(V,0227V,023032121 ZZZUU试用支路电流法求电流试用支路电流法求电流 I3。1Z+1U-2Z1I2I3I+2U-3Z上页 下页目录返回解解：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程133113210UIZIZIII23322UIZIZ代入