中北六院工程力学10章

1、10 概述概述一、引言一、引言1 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢低碳钢铸铁铸铁PP铸铁拉伸铸铁拉伸 P铸铁压缩铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？、组合变形杆将怎样破坏？MP三、单元体三、单元体：单元体单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质单元体的性质 a a、平行面上，应力均布；、平行面上，应力均布； b b、平行面上，应力相等。、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：二、一点的应力状态： 过一

2、点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（称为这点的应力状态（State of Stress at a a Given Point）。）。xyzs s xs sz s s yt txy梁的内力图如图所示梁的内力图如图所示则则m-m截面上的剪力截面上的剪力和弯矩均为正和弯矩均为正0Mxql820Qxql2ql2q21453lamm由此可得各点的应力由此可得各点的应力状态图如下状态图如下sxsx1sxtxytyx2sxtxytyx3sxtxytyx4sxsx5sx单元体的应力状态单元体的应力状态：zzxyIbQStz

3、xIMys223122xyxxtssss）（主应力的计算主应力的计算：单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态四、主单元体、主平面、主应力：四、主单元体、主平面、主应力：主单元体主单元体( (Principal element body) )： 各侧面上剪应力均为零的单元体。各侧面上剪应力均为零的单元体。主平面主平面( (Principal Plane) )： 剪应力为零的截面。剪应力为零的截面。主应力主应力( (Principal Stress ）：）： 主面上的正应力。主面上的正应力。主应力排列规定：按主应力排列规定：按代数值代数值大小，大小，321ss

4、s单向应力状态（单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。一个主应力不为零的应力状态。 二向应力状态（二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。三个主应力都不为零的应力状态。As sxs sxt tzxs sxs sxBt txzt tzx82 应力状态实例应力状态实例 原始单元体（已知单元体）原始单元体（已知单元体）：例例1 1

5、 画出下列图中的画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。点的已知单元体。 PPAAs sxs sxMPxyzBCs sxs sxBt txzCt txyt tyx102 平面应力状态分析平面应力状态分析等价等价s sxt txys syxyzxys sxt txys syO规定：规定：s s 截面外法线同向为正；截面外法线同向为正； t t 绕研究对象顺时针转为正；绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。逆时针为正。图图1 1设：斜截面面积为设：斜截面面积为S，由分离体平衡得由分离体平衡得： Fn00cossinsinsincoscos22tstssSSSSSyxyxyx一、任意斜截面上的应力一

6、、任意斜截面上的应力xys sxt txys syOs syt txys sxs s t t xyOt tn图图2 2图图1 1xys sxt txys syOs syt txys sxs s t t xyOt tn图图2 2tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyx考虑剪应力互等和三角变换，得：考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：同理：参考197页例10-102cos22sin:000tsssxyyxdd令二、极值应力二、极值应力yxxysst22tg0和两各极值：）、（由此的两个驻点：20101！极值正应力就是主应力 00t）2222xyyxyxm in

7、m axt ts ss ss ss ss ss s （ xys sxt txys syOxys sxt txys syO主主单元体单元体s在剪应力相对的项限内，且偏向于sx 及sy大的一侧。0dd:1t令xyyxtss22tg1222x yyxminmaxt ts ss st tt t ）（01045 , 4成即极值剪应力面与主面min2max1 ;ssss 2s1s例例2 分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原 始单元体求极值应力0yxssPnxyWMtt222122xyyxyxtssssss）（tt2xyt txyCt tyxMCxyOt txyt tyx破坏分析ttsstt22m

8、inmax2xyyx）（tssts321; 0;4522tg00sstyxxy0022tg11tssxyyxMPa200;MPa240:ssts低碳钢MPa300198;MPa960640MPa28098:bybLbtss灰口铸铁低碳钢铸铁 薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用（如图所示）。已知圆管的平均直径D50 mm，壁厚2 mm。外加力偶的力偶矩Me600 Nm，轴向载荷FP20 kN。薄壁管截面的扭转截面系数可近似取为 22PdW 1圆管表面上过D点与圆管母线夹角为 30的斜截面上的应力； 2. D点主应力和最大剪应力。 取微元，确定微元各个面上的应力 围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元

9、。 利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和剪应力公式计算微元各面上的应力： 3PP-3-320kN 1063 7MPa 50mm 102mm 10.FFADs22-3-3P22 600N m76 4MPa50mm 102mm 10.xMMeWdt在本例中有： x63.7 MPa，y0， xy一76.4 MPa，120。 tsssss2sin2cos2230 xyyxyxMPa3501202sinMPa4761202cos20MPa76320MPa763.tsst2cos2sin230 xyyxMPa7101202cosMPa4761202sin20MPa763.确定主应力与最大剪应力 2242

10、12xyyxyxtsssssMPa6114MPa47640MPa7632120MPa76322.0s D点的最大剪应力为 13max114.6MPa50.9MPa82.75MPa22sst 224212xyyxyxtsssss 85.50第第3 3节节 广义虎克定律广义虎克定律一、广义虎克定律一、广义虎克定律 1 单向应力状态的虎克定律单向应力状态的虎克定律 轴向拉伸或压缩时轴向拉伸或压缩时 或或 sEsE1由于轴向变形还引起横向变形由于轴向变形还引起横向变形 Es2 2 纯剪切应力状态的虎克定律纯剪切应力状态的虎克定律 或或 tGtG1一般情况下，描述一点处的应力一般情况下，描述一点处的应力

11、状态需要九个应力分量状态需要九个应力分量 在小变形及线弹性范围内，在小变形及线弹性范围内，线应变只与正应力有关，线应变只与正应力有关，而与剪应力无关；剪应变而与剪应力无关；剪应变只与剪应力有关，而与正只与剪应力有关，而与正应力无关，满足应用叠加应力无关，满足应用叠加原理的条件。所以，我们原理的条件。所以，我们利用单向应力状态和纯剪利用单向应力状态和纯剪切应力状态的虎克定律，切应力状态的虎克定律，分别求出各应力分量相对分别求出各应力分量相对应的应变，然后，再进行应的应变，然后，再进行叠加。叠加。3 3复杂应力状态的广义复杂应力状态的广义虎克定律虎克定律 xsyszsxyzxEs1xEsxEsyE

12、syEs1yEszEszEszEs1 正应力分量在不同方向对应的应变正应力分量在不同方向对应的应变 )(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEEsssssssss得出得出 、 和和 方向的线应变表达式为方向的线应变表达式为xyz根据剪切虎克定律，在根据剪切虎克定律，在 、 和和 三个面内的三个面内的 剪应变分别为剪应变分别为 xy yzzxzxzxyzyzxyxyGGGttt1114 4 主单元体时的广义虎克定律主单元体时的广义虎克定律 xyz1s2s3s1ssx2ssy3ssz0 xyt0yzt0zxt)(1)(1)(1213313223211sssssssssEEE 当单元体为主单元体

13、时，且使 、 和 的方向分别与 、 和 的方向一致。这时 xyt tys sxs s对于平面应力状态，广义胡克定律为对于平面应力状态，广义胡克定律为201页10-8式这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中，只有两个是独立的。 例例 题题 6容器所受的内压力。 为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 。若已知容器平均直径D500 mm，壁厚10 mm，容器材料的E210 GPa，0.25。610350t容器表面各点均承受二向拉伸应力状态。所测得的环向应变不仅与环向应力有关，而且与纵向应力有关。根据广义胡克定律，就有EEmttsss4mpDs2tpD936t322 210

14、 1010 10350 10Pa3 36MPa1 0 5500 101 0 5 0 25.EpD整个单元体内的最大剪应力为：231maxssts s2s s1xyzs s33minss1maxss10.4 10.4 三向应力状态研究三向应力状态研究整个单元体内的应力极值为：体积应变Volume strain及应力的关系 1体积应变体积应变 变形前单元体的体积为变形前单元体的体积为 dxdydzV 变形后，三个棱边的长度变为变形后，三个棱边的长度变为 dzdzdzdydydydxdxdx)1 ()1 ()1 (332211由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为由于是单元体，

15、变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为 dxdydzV)1)(1)(1 (3211dxdydzV)1 (32113211VVV于是，单元体单位体积的改变于是，单元体单位体积的改变 2体积应变与应力的关系体积应变与应力的关系 )(21321321sssEKEmssss3)21 ( 3321)21 (3EK)(31321ssssm称为体积弹性模量称为体积弹性模量体积应变只与平均应力有关，或者说只与三个主应力之体积应变只与平均应力有关，或者说只与三个主应力之和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与平均应力成正比，称为平均应力成正比，称为

16、体积虎克定律体积虎克定律。 是三个主应力的平均值是三个主应力的平均值在轴向拉伸或压缩时，根据外力在轴向拉伸或压缩时，根据外力功和应变能在数值上相等的关系功和应变能在数值上相等的关系，导出比能的计算公式为，导出比能的计算公式为 Eu2212ss本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能 应变比能（应变能密度）应变比能（应变能密度）假定应力按假定应力按 ： ： 的比例同时从零增加至最终值的比例同时从零增加至最终值，在线弹性情况下，每一主应力与相应的主应变仍保持线，在线弹性情况下，每一主应力与相应的主应变仍保持线性 关 系 ， 因 而 与 每 一 主 应 力

17、 相 应 的 比 能 仍 可 按性 关 系 ， 因 而 与 每 一 主 应 力 相 应 的 比 能 仍 可 按 计算，于是，复杂应力状态下的比能是计算，于是，复杂应力状态下的比能是1s2s3ss21u332211212121sssu)(1)(1)(1213313223211sssssssssEEE)(221133221332221sssssssssEu1s2s3s=msmsms+mss1mss2mss3体积改变比能和形状改变比能体积改变比能和形状改变比能3221ssssm对于单元体的应变能对于单元体的应变能 也可认为是由以下两部分组成：也可认为是由以下两部分组成：因体因体积改变而储存的比能积改

18、变而储存的比能 。称作体积改变比能。称作体积改变比能。体积不变，只体积不变，只因形状改变而储存的比能因形状改变而储存的比能 。称作形状改变比能。称作形状改变比能uVududVuuu2321)(621sssEuv)(31133221232221sssssssssEud213232221)()()(61ssssssE10-5 强度理论的概念强度理论的概念1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸 P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP 大家知道，单向应力状态和纯剪应力状态下的极限应力大家知道，单向应力状态和纯剪应力状态下的极限应力值，是直接由实验确定的。但是，复杂

19、应力状态下则不能。值，是直接由实验确定的。但是，复杂应力状态下则不能。这是因为：一方面复杂应力状态各式各样，可以说有无穷多这是因为：一方面复杂应力状态各式各样，可以说有无穷多种，不可能一一通过实验确定极限应力；另一方面，有些复种，不可能一一通过实验确定极限应力；另一方面，有些复杂应力状态的实验，技术上难以实现。杂应力状态的实验，技术上难以实现。二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。三、材料的破坏形式： 屈服； 断裂 。一、最大拉应力（第一强度）理论：一、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。无论何种应

20、力状态下，当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就发生断裂破坏。1、破坏判据：0)( ; 11 s ss ss sb2、强度准则： 0)( ; 11 s ss ss s3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。 伽利略1638年提出了第一强度理论，后经兰金等人修正；二、最大伸长线应变（第二强度）理论：最大伸长线应变（第二强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就发生断裂破坏。1、破坏判据：0)( ; 11 b2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。 EEbs ss ss s s s 32111 bs ss ss

21、s s s 321 s ss ss s s s 321马里奥特1682年关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽，后经圣维南等人于19世纪修正；三、最大剪应力（第三强度）理论：三、最大剪应力（第三强度）理论： 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就发生屈服破坏。1、破坏判据：st tt t max3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。 sst ts ss ss st t 2231maxss ss ss s 312、强度准则： s ss ss s 31库仑1773年提出了最大剪应力理论；四、形状改变比能（第四强度）理论：四、形状改变比能

22、（第四强度）理论：构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就发生屈服破坏。1、破坏判据：xsxuu max2、强度准则3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。 21323222161s ss ss ss ss ss s Eux ss ss ss ss ss ss ss s 21323222121 s ss ss ss ss ss ss s 21323222121贝尔特拉米1885年提出能量强度理论，后经胡勃等修正。第四强度理论是由米泽斯（R.von Mises）于1913年从修正最大剪应力准则出发提出的。1924年，德国的亨奇（H.Henck

23、y）从畸变能密度出发对这一准则作了解释，从而形成了畸变能密度准则，因此，这一理论又称为米泽斯准则。 1926年，德国的洛德（Lode，W）通过薄壁圆管同时承受轴向拉伸与内压力时的屈服实验，验证第四强度理论。他发现：对于碳素钢和合金钢等韧性材料，这一理论与实验结果吻合得相当好。其他大量的试验结果还表明，第四强度理论能够很好地描述铜、镍、铝等大量工程韧性材料的屈服状态。 五、相当应力：（强度准则的统一形式）。五、相当应力：（强度准则的统一形式）。 ss其中，s *相当应力。1*1ss3212ssss213232221421sssssss313sss nsssss, 2 . 0b89 莫尔强度理论及其相当应力莫尔强度理论及其相当应力 莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大剪应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论。 阿托阿托莫尔莫尔(O.Mohr),18351918近似包络线极限应力圆的包络线O t ts 极限应力圆一、两个概念：一、两个概念：1、极限应力圆：2、极限曲线：极限应力圆的包络线（en