对坐标曲线积分

1、第二节第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 第二类曲线积分第二类曲线积分 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 xOy 平面内从点平面内从点 A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L 移动到点移动到点 B, 求移求移cosABFW “分割分割” “近似代替近似代替”“求和求和” “取极限取极限”变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功解决办法解决办

2、法:动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxFABLxyO1kMkMABxy1) “分割分割”.2) “近似代替近似代替”L把把L分成分成 n 个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替近似代替, ),(kk则有则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为所做的功为,kWF 沿沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则则用有向线段用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点上任取一点在在kykxO),(, ),(),(yxQyxPyxF3) “求和求和”4) “取极限取极限”nkW1kkk

3、kkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(其中其中 为为 n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO2. 定义定义. 设设 L 为为xOy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在都存在,在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中其中

4、, ),(yxPL 称为称为积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线 .称为称为被积函数被积函数 , 在在L 上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数极限极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作记作),(yxF),(yxQLxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若若 L为空间曲线弧为空间曲线弧 , 记记称为称为对对 x 的曲线积分的曲线积分;称为称为对对 y 的曲线积分的曲线积分.若记若记, 对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(

5、),(zyxRzyxQzyxPzyxFd( , , )d( , , )d( , , )dLLFsP x y zxQ x y zyR x y zz)d,d,(ddzyxs 类似地类似地, 3. 性质性质(1) 若若 L 可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧 , 则则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(则则 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的对

6、坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上有定义上有定义且且L 的参数方程为的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续连续,存在存在, 且有且有特别是特别是, 如果如果 L 的方程为的方程为,:),(baxxy则则xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :类似有类似有zzyxRyzyxQxzyxPd)

7、,(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttR)(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx)(, )(),(tttQyxO例例1. 计算计算其中其中 L 为为,:, 0aaxyBAaa(1) 半径为半径为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周, 方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2) 从点从点 A ( a , 0 )沿沿 x 轴到点轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的参数方程为的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取取 L 的方程为的方程为xyLd2ta202si

8、nttad)sin(132334aaaxd00则则则则23202(1 cos)dcosatt练习练习1. 计算计算,dLxyx其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线xy 2解法解法1 取取 x 为参数为参数, 则则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取取 y 为参数为参数, 则则11:,:2yyxL54d2114yy从点从点xxxd10的一段的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A例例2. 解：解：()()Lxy dxy

9、x dy2123334)2(dyyyy2221()2()yyyyydy例例2. 解：解：()()Lxy dxyx dy2111)410(dyy21(32) 3(32)yyyydy 例例2. 解：解：21LLL1:1xL21: y 2:2yL41: x ()()Lxy dxyx dy2411(1)(2)ydyxdx14练习练习2. 计算计算,dd22yxxyxL其中其中L为为(1) 抛物线抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式原式22xxxx d4103(2) 原式原式yyy222yy d5104(

10、3) 原式原式yxxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd )2210(yyd )4yxxyxABdd2210dy11yxO. 0, 01 , 2222闭路默认正向）闭路默认正向）的边界，逆时针方向（的边界，逆时针方向（，：及及求求 yxyxLdyxdxyLL解解例例3)1( Ldxy2dxyLLL2)(321 dxyL21 ,dx0010 1:222 yxL1L3LxyO1 , 0, 0:1 xyL0212(1),3x dx 22Ly dx22:1,0,1L yxx32Ly dx02100,y d. 32 2 dxyLdyxdyxyLL20:21

11、2)( dyxyyxL21 ,0,1:22 dyxxL20:3 0)1(0210 dyy.32 1:222 yxL1L3LxyO3:0,0,1L xy. )0 , 0 , 0( )1 , 2 , 3( ,3 223AOOALydzxdyzydxxL的的有有向向线线段段到到是是从从计计算算 解解练习练习的方向向量的方向向量 Ldttttdtttdt)2()3()2()2(3)3()3(32301 原原式式 OA ),1 ,2,3(: L tztytx 23.1 , 0 t.487 zyzx23即即.1 , 0 z1. 定义定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质性质(1) L