概率论与数理统计23连续型随机变量

1、2.3 连续型随机变量连续型随机变量一、连续型随机变量一、连续型随机变量二、常见连续型分布二、常见连续型分布 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x),如果存在非负函数如果存在非负函数f(x), 使得对于任意使得对于任意实数实数x,有有 一、连续型随机变量一、连续型随机变量定义定义: 则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量,其中函数其中函数 f(x)称为称为X的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密概率密度度 dttfxFx )()( 可知可知,连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)是整个实轴上的是整个实轴上的连续函数连续函数 若概率密度若概率密度f(x

2、)在点在点x连续连续,则则 F (x)=f(x) f(x)的性质的性质:(1) f(x)0, x+ (2) 1)( dxxfP(x1Xx2)(3) P(x10,有有又又 得得 P(X=a)=0 X=a a Xa 0P(X=a)P(a Xa) =F(a) F(a )0)()(lim0 aFaF故故:(1) P(A)=0 A是不可能事件是不可能事件 (2) 连续型随机变量连续型随机变量X落在区间的概率落在区间的概率与区间是否包含端点无关与区间是否包含端点无关 即即: P(aXb)=P(aXb) =P(aXb) =P(aXb) 例例1 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f(

3、x)=Ae|x| , x+ 试求试求: (1)常数常数A (2) P(0X1) (3) X的分布函数的分布函数 解解:(1) dxAex |dxeAx 02=2A=11)( dxxf21 A(2) P(0X0 x0dxxf 10)(dxex 1021)11(21e dttfxFx )()(dtext | |21dtexFxt 21)(xe21 dtedtextt 002121dtexFxt | |21)(xe 211 X的分布函数为的分布函数为:综合得综合得: 0 ,2110 ,21)(xexexFxx例例2 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 其它其它021210)(xxxxxf

4、试求试求X的分布函数的分布函数 解解:当当x0时时,dttfxFx )()(=0当当0 x1时时,dttfxFx )()(dttfdttfx 00)()(dttx 022x 当当1x0)为常数为常数 xexfx ,21)(222)( 称称X服从参数为服从参数为 , 的正态分布或的正态分布或高斯分布高斯分布,记为记为 XN( , 2) f(x)o x 21可求得可求得X的分布函数为的分布函数为:dtexFxt 222)(21)( ;)1(对对称称关关于于直直线线 x;21)2( 最最大大值值为为.)3(处有拐点处有拐点在在 x 当当 =0, =1时时,称称X服从服从标准正态分标准正态分布布N(0

5、,1)其概率密度其概率密度 (x)及分布函数及分布函数 (x)为为: xexx ,21)(22 dtexxt 2221)( )()(xx (2)N( , 2)的分布函数的分布函数F(x)与与N(0,1)的的分布函数分布函数 (x)的关系的关系:N(0,1)的性质的性质:(1)对称性对称性: ( x)= (x)xo-x ( x)=1 (x)()( xxF (x)令令 ,得得 (3) (4) ab, XN( , 2) ,有有: )(1)( xxfdtexFxt 222)(21)( tuduexFxu 2221)()( x)()()( abbXaP例例7 设设XN(3,4),试求试求:(1) P(2

6、X5) (2) P( 2Xc)=P(Xc),求求c的值的值 解解:又又 =3, =2 )()( xxF)23( x(1) P(2X5)(2) P( 2Xc)=1 P(Xc) =P(Xc)= (2) 1 (2.5)P(Xc)=0.5F(c)=0.5c=35 . 0)23( c023 c34例例8 已知某台机器生产的螺栓长度已知某台机器生产的螺栓长度X（单（单位：厘米）服从参数位：厘米）服从参数06. 0,05.10 的正态分布的正态分布.规定螺栓长度在规定螺栓长度在10.050.12内为合格品内为合格品,试求螺栓为合格品的概率试求螺栓为合格品的概率.),06. 0 ,05.10( :2NX解解记

7、记a=10.05-0.12,b=10.05+0.12,则则bXa 表示螺栓为合表示螺栓为合品品,于是于是)()(bXaPbXaP )2()2()()( ab359544. 019772. 021)2(2 ), 2( 92 NX服从正态分布服从正态分布设随机变量设随机变量例例的的值值则则求求且且)0(, 3 . 0)42( XPXP)22()24(4)XP(2 : 解解3 . 0)0()2( 2 . 0)2(1)2()0( 8 . 03 . 05 . 0)2( XP36例例10 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 其其他他 , 010 ,2)(xxxf现在对现在对X进行进行n次独立重复观测次独立重复观测,以以Vn表示表示观测值不大于观测值不大于