误差基本理论与不确定度分析

1、4-4-1 1第4章 测量不确定度 4-4-2 2测量不确定度测量不确定度（uncertainty of measurement） 评定测量结果的质量 误差 无法以其误差的具体数值来评定 研究不确定度的必要性研究不确定度的必要性测量不确定度：测量结果含有的一个参数，测量结果含有的一个参数，表征被测量值的分散性；容易定量、便于操作表征被测量值的分散性；容易定量、便于操作的质量指标的质量指标。 4-4-3 3研究不确定度的必要性（续）研究不确定度的必要性（续） 在在ISOISO/ /IECIEC导则导则25“25“校准实验室和测试实验室能力的通校准实验室和测试实验室能力的通用要求用要求”中指明，实

2、验室的每个证书或报告，必须包含有中指明，实验室的每个证书或报告，必须包含有关评定校准或测试结果不确定度的说明。关评定校准或测试结果不确定度的说明。 ISO9001 ISO9001中规定，使用时保证所用设备的测量不确中规定，使用时保证所用设备的测量不确定度已知。定度已知。 为了与国际接轨，各类合同、协议、文件中有关为了与国际接轨，各类合同、协议、文件中有关测量结果和测量不确定度的表述，都有应该采用与国测量结果和测量不确定度的表述，都有应该采用与国际一致的表达方式。际一致的表达方式。 4-4-4 4不确定度的应用领域不确定度的应用领域 （1）一些产品生产过程中的质量检测、质量保证与控制，以及商品流

3、通领域中的商品检验等有关质量监督、质量控制和建立质量保证体系的质量认证活动；（2）建立、保存、比较溯源于国家标准的各级标准、仪器和测量系统的校准、检定、封缄和标记等计量确认活动； 4-4-5 5（3）基础科学和应用科学领域中的研究、开发和试验，以及实验室认可活动；（4）科学研究与工程领域内的测量，以及与贸易结算、医疗卫生、安全防护、环境与资源监测等有关的其他测量活动；（5）用于对可以用单值和非单值表征被测量的测量结果的评定，以及对测量和测量器具的设计和合格评定。不确定度的应用领域不确定度的应用领域( (续续) ) 4-4-6 6测量不确定度v第一节第一节 测量不确定度的基本概念测量不确定度的基

4、本概念v第二节第二节 标准不确定度的评定标准不确定度的评定v第三节第三节 测量不确定度的合成测量不确定度的合成v第四节第四节 测量不确定度应用实例测量不确定度应用实例 4-4-7 7大纲要求v理解测量不确定度的基本概念。v掌握标准不确定度的两类评定方法，v掌握不确定度的合成，扩展不确定度计算方法。 4-4-8 8一、概一、概 述述二、测量不确定度的定义二、测量不确定度的定义三、测量不确定度与误差三、测量不确定度与误差四、测量不确定度与极限测量误差（补充）四、测量不确定度与极限测量误差（补充）五、测量不确定度与最大允许误差（补充）五、测量不确定度与最大允许误差（补充）六、测量不确定度的来源（补充

5、）六、测量不确定度的来源（补充）第一节 测量不确定度的基本概念 4-4-9 9不确定度的由来不确定度的由来 v1927年德国物理学家海森堡提出测不准关系，也称为不确定度关系。 v1953年Y.Beers在误差理论导引一书中给出实验不确定度。 v1970年C.F.Dietrich出版了不确定度、校准和概率。 v1973年英国国家物理实验室的J.E.Burns等指出，当讨论测量精确度时，宜用不确定度。 v1978年国际计量局（BIPM）发出不确定度征求意见书，征求各国和国际组织的意见。 v1980年，国际计量局提出了实验不确定度建议书INC-1（1980）。 一、概一、概 述述 4-4-1010不

6、确定度的由来不确定度的由来( (续续) ) v1981年10月国际计量委员会（CIPM)提出了建议书（CI-1981），同意INC-1。 v1986年组成国际不确定度工作组，负责制定用于计量、生产、科学研究中的不确定度指南。 v1993年出版了测量不确定度表示指南（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，简称GUM）。 v1999年国家质量技术监督局批准发布了JJF 1059-1999 测量不确定度评定与表示,这规范原则上等同采用了GUM的基本内容。自1999年5月1日起实施。 4-4-1111二、测量不确定度的定义二、测量不

7、确定度的定义测量不确定度的引入测量不确定度的引入测量结果具测量结果具有一定的分有一定的分散性（不确散性（不确定性定性 ）误差的分误差的分散性（不散性（不确定性确定性 ）决定反映测量误测量误差对测差对测量结果量结果的影响的影响测量不确定度定量反映测量误差的影响，可评测量不确定度定量反映测量误差的影响，可评定测量结果质量；误差是不确定度的来源。定测量结果质量；误差是不确定度的来源。大决定反映测量结果的可靠性就越低，质量越差大大测量结果的可靠性、质量测量不确定度测量不确定度 4-4-1212二、测量不确定度的定义二、测量不确定度的定义测量不确定度（测量不确定度（uncertainty of meas

8、urementuncertainty of measurement） 测量不确定度是指测量不确定度是指测量结果变化的不肯定测量结果变化的不肯定，是，是表征被测量的真值在某个量值范围的估计，是表征被测量的真值在某个量值范围的估计，是测量测量结果含有的一个参数，用以表示被测量值的分散性。结果含有的一个参数，用以表示被测量值的分散性。说明：说明： 1）该参数是一个表征分散性的参数）该参数是一个表征分散性的参数。 4-4-1313不确定度的表征参数 A A、标准不确定度标准不确定度（standard uncertainty） 用单倍标准差表示测量结果的不确定度，一般用符号u来表示，即u= 。对于不确定

9、度分量，常在u上加小脚标进行表示，如u1，u2，un等。 标准差标准差B B、扩展（展伸）不确定度扩展（展伸）不确定度（expanded uncertainty） 规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包含了合理赋予被测量值的分布的大部分。用符号U表示。U=ku。k为包含因子，是相对应于置信概率P的置信系数，确定方法同前。 4-4-14142）一个完整的测量结果应包含被测量值的估计值与）一个完整的测量结果应包含被测量值的估计值与分散性参数两部分。如对被测量的测量结果为分散性参数两部分。如对被测量的测量结果为其中其中y是被测量的估计，它具有的测量不确定度为是被测量的估计，它具有的测量不确定度为U

10、。 二、测量不确定度的定义二、测量不确定度的定义说明：说明： Uy 3)在测量不确定度的定义下，被测量的结果所表示的在测量不确定度的定义下，被测量的结果所表示的并非是一个确定的值，而是无数个可能值所处于的一并非是一个确定的值，而是无数个可能值所处于的一个区间。个区间。 4)测量不确定度是定量说明测量结果质量的参数，恒测量不确定度是定量说明测量结果质量的参数，恒为正为正，但当用但当用 表示测量结果时，表示测量值表示测量结果时，表示测量值的可能分散区间。的可能分散区间。 Uy 测量结果测量结果= =被测量的估计值被测量的估计值测量不确定度测量不确定度 4-4-1515二、测量不确定度的定义二、测量

11、不确定度的定义说明：说明： 5）对一个实际的测量过程，影响测量结果有多方面的）对一个实际的测量过程，影响测量结果有多方面的因素。因此测量不确定度一般包含若干个分量（不确定因素。因此测量不确定度一般包含若干个分量（不确定度分量）。测量结果的不确定度是通过对所有若干个不度分量）。测量结果的不确定度是通过对所有若干个不确定度分量进行方差和协方差合成得到。称为合成标准确定度分量进行方差和协方差合成得到。称为合成标准不确定度不确定度（combined standard uncertaintycombined standard uncertainty）记为记为uc,为单一标准差的形式，对于正态分布，置信概

12、率只有为单一标准差的形式，对于正态分布，置信概率只有68%，为了提高置信概率用扩展不确定度（展伸不确定，为了提高置信概率用扩展不确定度（展伸不确定度）来表示测量结果。用度）来表示测量结果。用U表示，表示，U=kuc。 6）在测量过程中产生的含粗大误差的异常值，在不确）在测量过程中产生的含粗大误差的异常值，在不确定度的评定中应剔除，判别原则同前。定度的评定中应剔除，判别原则同前。 4-4-1616不确定度的分类：不确定度的分类： A A类评定类评定（type A evaluation of uncertainty） 指由一系列观测数据的统计分析进行不确定度评定的方法。指由一系列观测数据的统计分析

13、进行不确定度评定的方法。 B B类评定类评定（type B evaluation of uncertainty） 指基于经验或其它信息所认定的概率分布来进行不确定度指基于经验或其它信息所认定的概率分布来进行不确定度评定的方法。评定的方法。 二、测量不确定度的定义二、测量不确定度的定义按评定方法分：按评定方法分：按性质（产生原因）分：（补充）按性质（产生原因）分：（补充） 将系统误差和随机误差引起的数据的分散分别称为系统将系统误差和随机误差引起的数据的分散分别称为系统效应和随机效应，两种效应产生的不确定度分量分别称为效应和随机效应，两种效应产生的不确定度分量分别称为由系由系统效应导致的不确定度分

14、量统效应导致的不确定度分量和和由随机效应导致的不确定度分量由随机效应导致的不确定度分量。 注意：不确定度的性质与评定方法间无对应关系。注意：不确定度的性质与评定方法间无对应关系。 4-4-1717不确定度的分类：不确定度的分类： 二、测量不确定度的定义二、测量不确定度的定义注意：注意：(1)不确定度的性质与评定方法间无对应关系。不确定度的性质与评定方法间无对应关系。 (2)类评定和类评定只是方法不同，不分优劣，也与类评定和类评定只是方法不同，不分优劣，也与影响不确定因素的来源和性质性质无关，仅仅是为了讨论影响不确定因素的来源和性质性质无关，仅仅是为了讨论方便，并不意味着两类评定之间存在本质上区

15、别。方便，并不意味着两类评定之间存在本质上区别。 4-4-1818三、测量不确定度与误差三、测量不确定度与误差 v相同点：相同点：都是评定测量结果质量高、低的重要指标。都是评定测量结果质量高、低的重要指标。 v不同点：不同点：v1、定义上：误差是以真值或约定真值为中心，表明测量结、定义上：误差是以真值或约定真值为中心，表明测量结果偏离真值。而不确定度是以估计值为中心，表明测量结果偏离真值。而不确定度是以估计值为中心，表明测量结果的分散性。果的分散性。 v3、能否定量：误差是无法定量的；不确定度是可以定量评定、能否定量：误差是无法定量的；不确定度是可以定量评定量的。量的。v2、数值上：误差可正、

16、负，误差、数值上：误差可正、负，误差=测量结果测量结果-真值；而不确定真值；而不确定度是恒为正，用标准差及其倍数表示。度是恒为正，用标准差及其倍数表示。 4-4-1919v4）分布规律性：误差的取值具有不确定性并服从一定的分布，而不确定度对某一确定的测量方法来说具有确定的值。三、测量不确定度与误差三、测量不确定度与误差 v不同点：不同点：v6）关于修正：系统误差的估计值可以对测量结果进行修正，得到已修正结果，经修正的结果误差小；不确定度不可以对对测量结果进行修正，经修正的结果不确定度仍可能较大。v5）与人类认识上：误差客观存在，不以人的认识程度而改变；而不确定度与人们对被测量、影响量及测量过程

17、的认识有关。v7）关于合成：误差合成时需要区分误差性质（系统误差和随机误差）；测量不确定度合成时不需要区分误差性质。评定、合成方法一样。v8）在重复性条件下，不同测量结果其不确定度相同，但误差不同；对同一被测量不论其测量程序，条件如何，相同测量结果的误差相同，但不确定度可能不同。 4-4-2020v1 1、误差是不确定度的来源，不确定度反映了误差对、误差是不确定度的来源，不确定度反映了误差对测量结果的影响程度。测量结果的影响程度。v2 2、两者都与测量结果有关，而且两者是从不同角度、两者都与测量结果有关，而且两者是从不同角度反映了测量结果的质量指标。前者是指对测量结果反映了测量结果的质量指标。

18、前者是指对测量结果的不能肯定的程度，后者是指测量结果相对真值的的不能肯定的程度，后者是指测量结果相对真值的差异大小。用测量不确定度代替误差表示测量结果，差异大小。用测量不确定度代替误差表示测量结果，易于理解、便于评定，具有合理性和实用性。易于理解、便于评定，具有合理性和实用性。v3 3、误差是不确定度的基础。、误差是不确定度的基础。v5 5、不确定度是经典误差理论的补充，是现代误差理、不确定度是经典误差理论的补充，是现代误差理论的内容之一，但它还有待于进一步研究、完善与论的内容之一，但它还有待于进一步研究、完善与发展。发展。 三、测量不确定度与误差三、测量不确定度与误差 v联系：联系： 4-4

19、-2121v测量不确定度与极限测量误差都是评定测量结果质测量不确定度与极限测量误差都是评定测量结果质量的参数。量的参数。v扩展不确定度与极限测量误差的相似，都是以标准扩展不确定度与极限测量误差的相似，都是以标准差再乘以一定置信概率相应的包含因子（置信系数）差再乘以一定置信概率相应的包含因子（置信系数）确定其值。确定其值。v扩展不确定度不是误差，是表征测量数据（误差）扩展不确定度不是误差，是表征测量数据（误差）的分散性的半区间。极限测量误差实质上也不是误差，的分散性的半区间。极限测量误差实质上也不是误差，也是误差可能的分散区间。也是误差可能的分散区间。四、测量不确定度与极限测量误差四、测量不确定

20、度与极限测量误差 v两者主要区别是评定方法。极限测量误差区分系统两者主要区别是评定方法。极限测量误差区分系统误差和随机误差。不确定度不区分。误差和随机误差。不确定度不区分。 4-4-2222v测量仪器的最大允许误差不是测量不确定度，测量仪器的最大允许误差不是测量不确定度，但可作为测量不确定度的依据。测量结果中由但可作为测量不确定度的依据。测量结果中由测量仪器引入的测量不确定度可根据该仪器的测量仪器引入的测量不确定度可根据该仪器的最大允许误差按最大允许误差按B类评定方法评定。类评定方法评定。 五、测量不确定度与最大允许误差五、测量不确定度与最大允许误差 4-4-2323六、测量不确定度的来源六、

21、测量不确定度的来源 （1）对被测量的定义不完整或不完善 （2）复现被测量定义的方法不理想 （3）测量所取样本的代表性不够，即被测量的样本不能完全代表所定义的被测量。 （4）对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善 （5）对模拟式仪器的读数存在人为偏差 （6）仪器计量性能上的局限性 4-4-2424（7）赋予测量标准和标准物质的标准值的不准确 （8）引用常数或其它参量的不准确 （9）与测量原理、测量方法和测量程序有关的的近似性或假定性 （10）在表面上完全相同的测量条件下，被测量在重复观测中的变化。 不确定度的来源（续）不确定度的来源（续） 4-4-2525（11）对已定

22、系统误差的修正不完善 （12）测量列中的粗大误差因不明显而未剔除 不确定度的来源（续）不确定度的来源（续） 所有这些不确定来源，若影响到测量结果，所有这些不确定来源，若影响到测量结果，都会对测量结果的分散性作出贡献。在不确定度都会对测量结果的分散性作出贡献。在不确定度评定中，原则上都不应轻易忽略。但是，在对各评定中，原则上都不应轻易忽略。但是，在对各个不确定度来源的大小都比较清楚的前提下，为个不确定度来源的大小都比较清楚的前提下，为了简化对测量结果的评定，应力求了简化对测量结果的评定，应力求“抓主舍次抓主舍次”。 4-4-2626第二节标准不确定度评定标准不确定度A类评定 标准不确定度B类评定

23、 4-4-2727一、标准不确定度一、标准不确定度A A类评定类评定 xu定义：采用定义：采用统计分析统计分析的方法评定，其标准不确定度的方法评定，其标准不确定度u u等同于由系列观测值获得的等同于由系列观测值获得的 。单次测量值作为被测量的估计值 x 单次测量的实验标准差当用n次测量的平均值作为被测量的估计值 贝塞尔公式，别捷尔斯法，极差法、贝塞尔公式，别捷尔斯法，极差法、 最大误差法等最大误差法等 nxu 4-4-2828标准不确定度标准不确定度A A类评定的流程：类评定的流程： 4-4-2929二、二、B B类评定方法类评定方法 1、定义：、定义：B类评定不用统计分析法，而是类评定不用统

24、计分析法，而是基于其它方基于其它方法估计概率分布或分布假设法估计概率分布或分布假设来评定标准差并得到标准不来评定标准差并得到标准不确定度确定度。 2、意义：意义：B类评定在不确定度评定中占有重要地位。类评定在不确定度评定中占有重要地位。 4-4-3030二、二、B B类评定方法类评定方法 3、B类评定的信息来源：类评定的信息来源： B B类评定类评定方法获得不确定度，不是依赖于对样方法获得不确定度，不是依赖于对样本数据的统计，他必然要设法利用与本数据的统计，他必然要设法利用与被测量有关的其他被测量有关的其他先验信息先验信息来进行估来进行估计。因此，如何获取有用的先验信息计。因此，如何获取有用的

25、先验信息十分重要，而且如何利用好这些先验十分重要，而且如何利用好这些先验信息也很重要信息也很重要 指影响被测量值可能变化的全部信息 4-4-3131 过去的测量数据过去的测量数据 测量仪器的特性和其他相关资料等；测量仪器的特性和其他相关资料等； 测量者的经验与知识；测量者的经验与知识； 假设的概率分布及其数字特征。假设的概率分布及其数字特征。 3 3、B B类评定的信息来源类评定的信息来源 校准证书、检定证书、测试报告及其他证书文件校准证书、检定证书、测试报告及其他证书文件 生产厂家的技术说明书生产厂家的技术说明书 引用的手册、技术文件、研究论文和实验报告引用的手册、技术文件、研究论文和实验报

26、告中给出的参考数据及不确定度值等中给出的参考数据及不确定度值等 4-4-32324 4、B B类评定的方法类评定的方法 先验信息先验信息分布区间的半宽分布区间的半宽a(U)概率分布类型、置信概率概率分布类型、置信概率kkaUux)( 4-4-3333如何对测量进行一定的分布假设如何对测量进行一定的分布假设v一般地，当量值出现在中心附近远多于边界附近，一般地，当量值出现在中心附近远多于边界附近，可选为正态分布；可选为正态分布；(一般情况下一般情况下)v而当量值出现在中心附近与边界附近的机会均等，而当量值出现在中心附近与边界附近的机会均等，则可选为均匀分布；则可选为均匀分布；v介于两者之间的情形，

27、可选为三角分布。介于两者之间的情形，可选为三角分布。v当完全缺乏信息，可保守地认为其服从均匀分布。当完全缺乏信息，可保守地认为其服从均匀分布。v经验、同行的共识。经验、同行的共识。 4-4-34344 4、B B类评定的方法类评定的方法 例题：某校准证书说明，标称值为例题：某校准证书说明，标称值为1kg的标准砝码的的标准砝码的质量质量ms为为1000.000325g，该值的测量不确定度按三该值的测量不确定度按三倍标准差计算为倍标准差计算为240 g，求该砝码质量的标准不确定求该砝码质量的标准不确定度。度。 解：该砝码质量的标准不确定度：解：该砝码质量的标准不确定度： ggkUussmm8032

28、40（1 1）已知测量结果的扩展不确定度）已知测量结果的扩展不确定度U Ux为为标准差的标准差的k k倍倍时时 kUuxx 4-4-35354 4、B B类评定的方法类评定的方法 （2 2）已知测量结果的）已知测量结果的“置信区间（置信区间（x-a,x+a)”x-a,x+a)”和和“置信水平置信水平” ” p置信区间的半宽度 置信水平的包含因子 pxkau 例如：当测量估值例如：当测量估值x受到多个独立因素影响，且影受到多个独立因素影响，且影响大小相近，则假设为正态分布响大小相近，则假设为正态分布kp的数值可由本书附的数值可由本书附录的正态分布积分表查得。录的正态分布积分表查得。 首先，对测量

29、进行一定的分布假设。首先，对测量进行一定的分布假设。 4-4-3636设校准证书给出名义值设校准证书给出名义值1010的标准电阻器的电的标准电阻器的电阻阻，测量结果服从正态测量结果服从正态分布，置信水平为分布，置信水平为9999。求其标准不确定度。求其标准不确定度。 【例题】【例题】【解】【解】根据题意，该标准电阻器的置信区间根据题意，该标准电阻器的置信区间半宽度半宽度 129a查表得992.576k计算129()50.0782.576Su R10.00074129sR 4-4-37374 4、B B类评定的方法类评定的方法 （3）已知测量结果的“置信区间”置信区间的半宽度 置信水平接近1的包

30、含因子 kaux 这种情况下的置信概率并未确定，一般这种情况下的置信概率并未确定，一般从保守的从保守的角度考虑角度考虑，取大的置信概率，对无限扩展的正态分布，取大的置信概率，对无限扩展的正态分布包含因子可取包含因子可取3（置信水平（置信水平=99.73%），其余有限扩），其余有限扩展的概率分布则取置信水平为展的概率分布则取置信水平为1的包含因子的包含因子 首先，对测量进行一定的分布假设。首先，对测量进行一定的分布假设。 4-4-3838v已知估计值已知估计值x落在区间落在区间 内的概率为内的概率为1，且在区间内出现的机会相等，则且在区间内出现的机会相等，则x服从均匀分服从均匀分布，其标准不确定

31、度为：布，其标准不确定度为： ),(axax3aux（P=100%） v当估计值当估计值x受到两个独立且皆是具有均匀分布受到两个独立且皆是具有均匀分布的因素影响，则的因素影响，则x服从在区间服从在区间 内的三内的三角分布，其标准不确定度为：角分布，其标准不确定度为： ),(axax（P=100%） 6aux 4-4-3939v已知估计值已知估计值x服从区间服从区间 内的反正弦分内的反正弦分布时，其标准不确定度为：布时，其标准不确定度为： ),(axax（P=100%） 2aux 4-4-4040例题v例例4-2手册给出了纯铜在手册给出了纯铜在20C时的线膨胀系数时的线膨胀系数为为16.5210

32、-6/C,并说明此值的误差不超过并说明此值的误差不超过0.4010-6/C。求线膨胀系数求线膨胀系数的标准不确定度。的标准不确定度。 解；根据经验假设解；根据经验假设值以等概率落在区间值以等概率落在区间(16.52-0.4)10-6/C至至(16.52+0.4)10-6/C内，即为均匀分内，即为均匀分布，布，a= 0.4010-6/C,则则的标准不确定度为：的标准不确定度为： CCaux/1023. 03/104 . 0366 4-4-4141v4)已知测量结果的已知测量结果的扩展不确定度扩展不确定度Ux以及以及置信概率置信概率P与与有效自由度有效自由度veff，则其标准不确定度为则其标准不确

33、定度为)(,effpppxxvtkkUu例题：例题：某校准证书说明，标称值为某校准证书说明，标称值为5kg的标准砝码的的标准砝码的质量质量ms为为5000.00078g，并给出了并给出了ms的测量结果的的测量结果的扩展不确定度扩展不确定度U95=48 g，有效自由度有效自由度veff=35，求该砝求该砝码质量的标准不确定度。码质量的标准不确定度。 解：查解：查t分布表，知该砝码质量的标准不确定度：分布表，知该砝码质量的标准不确定度： ggtUkUupms2403. 248)35(959595 4-4-42425、标准不确定度B类评定的流程： a 4-4-4343例题：v一个检验员在测量零件尺寸

34、时，估计其长度以一个检验员在测量零件尺寸时，估计其长度以50%的的概率落在概率落在10.07mm到到10.15mm的范围内，并报的范围内，并报告告 ，求该尺寸的标准不确定度，求该尺寸的标准不确定度。mml04. 011.10解：根据报告的测量结果解：根据报告的测量结果 a=0.04，p=50%假设假设l的可能值为正态分布，查表得，的可能值为正态分布，查表得，k=0.67，标标准不确定度准不确定度 mmmmul06. 067. 004. 04-4-4444三、自由度三、自由度及其确定及其确定 4-4-4545自由度：自由度：将不确定度计算表达式中总和所包含的项将不确定度计算表达式中总和所包含的项

35、数减去各项之间存在的约束条件数所得的差值，用数减去各项之间存在的约束条件数所得的差值，用 表示。表示。意义：意义：反映不确定度评定的质量，自由度越大，标反映不确定度评定的质量，自由度越大，标准差越可信赖，不确定度评定质量越好。准差越可信赖，不确定度评定质量越好。（一）自由度（一）自由度（degrees of freedomdegrees of freedom）的概念的概念 对某量对某量X X进行进行n n次独立重复测量，用贝塞尔公式估次独立重复测量，用贝塞尔公式估计实验标准差的自由度为计实验标准差的自由度为n-1n-1。 4-4-4646（二）自由度的确定1.标准不确定度标准不确定度A类评定的

36、自由度类评定的自由度 最常用的是按贝塞尔公式计算标准差的自最常用的是按贝塞尔公式计算标准差的自由度公式由度公式 1n 对对A类评定的标准不确定度，其自由度即为标准类评定的标准不确定度，其自由度即为标准差的自由度，由于有不同计算法，因而自由度也不同，差的自由度，由于有不同计算法，因而自由度也不同，已计算好其它方法的自由度列于表已计算好其它方法的自由度列于表4-1。 4-4-47472 2、B B类评定的自由度类评定的自由度 对B类评定的标准不确定度u由估计u的相对相对标准差标准差来确定自由度，其自由度定义为： 221uvu式中： 评定不确定度评定不确定度u的标准差的标准差 评定不确定度评定不确定

37、度u的相对标准差。的相对标准差。 uuu此式也适用于A类不确定度评定。 上式表明 越小，v 越大，评定越可靠。表4-2 uu不可信赖程度 4-4-4848用游标卡尺对某一试样的尺寸重复测量10次，得到的测量列如下（单位：mm） 75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08 求该重复测量中随机变化引起的标准不确定度分量该重复测量中随机变化引起的标准不确定度分量及其自由度。 【例【例 题】题】【解】【解】本例估计的是重复测量中随机变化引起的标准不确定度分量，可根据已知样本数据进行类评定 4-4-4949按极差法求取极差 ma

38、xmin0.09mmnxx查表3-1得， 103.08d则标准差 0.0292mmnnwud查表4-1其自由度 7.5用两种方法估计得到的标准差很接近，但自由度有明显不同，可见用贝塞尔公式更好一些。 210.008250.0303mm110 1niivusn由贝塞尔公式其自由度10 19 计算结果 4-4-5050某激光管发出的激光之波长，经检定为 后来又用更精确的方法，测得该激光管的波长为，试估计原检定波长的标准不确定度及其自由度。 【例题】【例题】【解】【解】查表4-1其自由度0.90.63299130m0.63299144m用了更精确的方法测量激光管的波长，故可认为约定真值为则原检定波长

39、的真误差为0.63299144m80.632991300.6329914414 10 m可用最大误差法进行类评定，因n=1，查表得 111.25k 则标准差即原检定波长的标准不确定度 8711.25 14 101.75 10nuskm4-4-5151第三节测量不确定度的合成 4-4-5252一、一、 合成标准不确定度合成标准不确定度 合成标准不确定度合成标准不确定度 当测量结果受多个因素影响而形成若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度通过该多个标准不确定度分量合成得到的。 第个标准不确定度分量 任意两个直接测量值xi，xj不确定度的相关系数。 N 不确定度分量的个数 合成标准不确定度 c

40、uij1ucuixiiuau NiNjixxijjixicjiiuuaauau11222)()( 4-4-5353间接测量中，设各直接测得量间接测量中，设各直接测得量x xi i的标准不确定度为的标准不确定度为u uxixi，它它对被测量的传递系数为对被测量的传递系数为 。 ixf /一、一、 合成标准不确定度合成标准不确定度 ),(21Nxxxfyxiiiuxfu而测量结果而测量结果y y的标准不确定度的标准不确定度u uc c可用下式表征：可用下式表征：若：若： ，则由直接测得量，则由直接测得量xi引起的被测量引起的被测量y的不确定度分量为的不确定度分量为xjxiijjNjiiNixiic

41、uuxfxfuxfu11222(4-8) 4-4-5454用合成标准不确定度作为被测量用合成标准不确定度作为被测量Y估计值估计值y的测量的测量不确定度，其测量结果可表示不确定度，其测量结果可表示 cuyY 4-4-5555二二 展伸展伸( (扩展扩展) )不确定度不确定度用扩展不确定度表示测量结果为： UyY扩展不确定度的表示扩展不确定度的表示 cUku1)合成标准不确定度的倍数：k=2或3ppcUk u2)具有置信水平p的置信区间的半宽一般采用一般采用p为为95%和和99%,在多数情况下采用在多数情况下采用95%.对某些测量标准对某些测量标准,也可根据有关规定为也可根据有关规定为99%.简易

42、法自由度法)(pptk 4-4-5656)(pptk 其中，其中，kp由由t分布的临界值给出，分布的临界值给出， P给定的置信水给定的置信水平。平。Niiicuu144uc的自由度，当各不确定度分量相互独立时，的自由度，当各不确定度分量相互独立时，（4-16）其中，其中，vi为为ui的自由度的自由度, ui为不确定分量为不确定分量. 4-4-5757测量不确定度评定流程： 4-4-5858【例题】【例题】某测量结果含5个不确定度分量，每个分量的大小及自由度见下表，它们之间的协方差均为零，求其合成标准不确定度和有效自由度。 来源序号12345合成结果基准尺读数电压表电阻表温度1.01.01.42

43、.02.05104161不确定度符号数值符号数值自由度3.51u2u3u4u5ucu12345eff7.8 4-4-5959【解】【解】2222212345222221.01.01.42.02.03.5cuuuuuu根据题意，按式(1)计算合成标准不确定度 有效自由度4444443.57.81.01.01.42.02.05104161effv计算结果 4-4-6060测量不确定度来源分析 v主要误差源分析主要误差源分析v基于测量系统量值特性指标分析：基于测量系统量值特性指标分析：l重复性重复性l稳定性l偏移l复现性l分辨力 示值误差 4-4-6161重复性重复性 在相同测量条件下，重复测量同一

44、个被测量，测量仪器提在相同测量条件下，重复测量同一个被测量，测量仪器提供相近示值的能力。供相近示值的能力。注：注：1.这些条件包括：这些条件包括：相同的测量程序；相同的测量程序；相同的观测者；相同的观测者；在相同条件下使用相同的测量设备；在相同条件下使用相同的测量设备；在相同地点；在相同地点；在短时间内重复。在短时间内重复。2.重复性可用示值的分散性定量地表示。重复性可用示值的分散性定量地表示。 4-4-6262稳定性稳定性 测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。注：注：1.若稳定性不是对时间而是对其他量而言，则应该若稳定性不是对时间而是对其他量而言，

45、则应该明确说明。明确说明。2.稳定性可以用几种方式定量表示，例如：稳定性可以用几种方式定量表示，例如：用计量特性变化某个规定的量所经过的时间；用计量特性变化某个规定的量所经过的时间；用计量特性经规定的时间所发生的变化。用计量特性经规定的时间所发生的变化。 4-4-6363偏移偏移 测量仪器示值的系统误差。测量仪器示值的系统误差。(多次平均值与基准值差值多次平均值与基准值差值)注：测量仪器的偏移通常用适当次数重复测量的示值误注：测量仪器的偏移通常用适当次数重复测量的示值误差的平均来估计。差的平均来估计。 示值误差 4-4-6464复现性复现性 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之在改变了

46、的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。间的一致性。注：注：1.在给出复现性时，应有效地说明改变条件的详细情在给出复现性时，应有效地说明改变条件的详细情况。况。2.改变条件可包括：改变条件可包括：测量原理；测量方法；观测者；测量仪器；参考测测量原理；测量方法；观测者；测量仪器；参考测量标准；地点；使用条件；时间。量标准；地点；使用条件；时间。3.复现性可用测量结果的分散性定量地表示。复现性可用测量结果的分散性定量地表示。4.测量结果在这里通常理解为已修正结果。测量结果在这里通常理解为已修正结果。 4-4-6565分辨力分辨力 显示装置能有效辨别的最小的示值差显示装置能有效辨别的最小的示

47、值差注：注：1.对于数字式显示装置，就是当变化一个末位有效数对于数字式显示装置，就是当变化一个末位有效数字时其示值的变化字时其示值的变化 4-4-6666被测电压的已修正结果为，其中重复测量6次的算术平均值=0.928571V，A类标准不确定度为 。修正值，修正值的标准不确定度由B类评定方法得，估计的相对误差为25%。试求V的合成标准不确定度及其自由度。 【例题】【例题】【解】【解】VVVV( )12u V V0.01VV()8.7uVV=0.928571+0.01=0.93857122( )( )()128.715cVVu Vu VuVVV （）VVVV由合成标准不确定度的计算公式得V的合成

48、标准不确定度2222 4-4-6767自由度( )6 15V 查B类评定自由度表得 ()8V444444( )15( )10.4( )()128.7( )()58cuVVu VuVVV有效自由度 计算结果计算结果 4-4-6868测量环路正弦交变电位差幅值V，电流幅值I，各重复测量5次，得到如下表所示的数据，相关系数=0.36，试根据测量值，求阻抗R的最佳值及其合成标准不确定度。 【例题】【例题】5.007次数123454.9945.0054.9904.99919.63919.663电位差幅值V 电流幅值mA 19.64019.68519.675 4-4-6969【解】【解】根据算术平均值和标

49、准差的计算公式得 114.999VniiVVn1119.6604mAniiIIn211( )0.0072V1niiVV Vn（）( )( )( )0.0032VVu VVn211( )0.0206mA1niiIIIn( )( )( )0.0092mAIu IIn算术平均值和标准差的计算 4-4-7070计算结果电阻的最佳值为 4.999254.26719.661VVRImA合成标准不确定度 2222( )( )( )2( ) ( )0.2342cRRRRu Ru VuIu V u IVIVI 4-4-7171【例题】【例题】用卡尺对某工件直径重复测量了三次，结果为15.125，15.124和1

50、5.127mm。 试写出其测量的最佳估计值和该重该重复测量中随机变化引起的标准不确定度分量复测量中随机变化引起的标准不确定度分量(重复性重复性)。已知该卡尺的产品合格证书上标明其最大允许误差为0.025mm，假设测量服从三角分布（置信因子取），估计其不可信赖程度为25%。试表示其测量结果。 6【解】【解】（1）计算算术平均值和测量重复性 311115.125 15.124 15.12715.12533iiddn（）因，用极差法估计s，有 3n 15.127 15.1240.00181.693s 4-4-7272（2）用A类评定方法估计测量不确定度分量之一 计算算术平均值的标准偏差，即多次测量的

51、重复性（传递系数为1） 10.00180.0013u （3）用B类评定方法估计测量不确定度分量之二 （传递系数为1）20.0250.0156u （4）求合成标准不确定度 220.0010.0150.015cu 合成标准不确定度的计算 4-4-7373求扩展不确定度 简易法简易法 取，有 3k 0.045cUku自由度法自由度法 其不可信赖程度为25%，卡尺允许误差极限分量的自由度为 18重复测量分量的自由度为 23 12 则有效自由度 4440.01580.0010.01528v 扩展不确定度 999983.355 0.0150.049cUtu（ ）错误:应查表为1.8 4-4-7474三、不

52、确定度报告 对测量不确定度进行分析与评定后，应给出对测量不确定度进行分析与评定后，应给出测量不确定度的最后报告。报告应尽可能详细，测量不确定度的最后报告。报告应尽可能详细，以便使用者可以正确地利用测量结果。同时，为以便使用者可以正确地利用测量结果。同时，为了便于国际间和国内的交流，应尽可能地按照国了便于国际间和国内的交流，应尽可能地按照国际和国内统一的规定来描述。际和国内统一的规定来描述。 4-4-75751 1、测量结果报告的基本内容、测量结果报告的基本内容 测量不确定度用扩展不确定度表示 测量不确定度用合成标准不确定度表示 合成标准不确定度 cu自由度 扩展不确定度U 合成标准不确定度 c

53、u自由度 包含因子k置信水平 p二、为提高测量结果的使用价值，在不确定度报告二、为提高测量结果的使用价值，在不确定度报告中，应尽可能提供更详细的信息。中，应尽可能提供更详细的信息。 一、测量结果一、测量结果:最佳估计值和测量不确定度最佳估计值和测量不确定度4-4-76762 2、 测量结果的表示测量结果的表示一个完整的测量结果 被测量的最佳估计值，一般由算术平均值给出 测量不确定度 4-4-7777（）合成标准不确定度表示方式（）合成标准不确定度表示方式如被测量Y是标称值为100g的标准砝码，其测量的估计值y=100.02147g，对应的合成标准不确定度uc=0.35mg,则测量结果可用下列四

54、种方法之一表述：可用下列四种方法之一表述：1) y=100.02147g， uc=0.35mg2)Y=100.02147(35) g 括号中的内容为括号中的内容为uc的数值，与被测量估计的数值，与被测量估计值的末位对齐，单位相同。值的末位对齐，单位相同。3)Y=100.02147（0.00035）g，括号中的内容为括号中的内容为uc的数值，与被测的数值，与被测量估计值的单位相同。量估计值的单位相同。 4) Y=（100.02147+0.00035）g，+符号后的数值为符号后的数值为uc的数值。的数值。 4-4-7878（2 2）扩展不确定度表示方式）扩展不确定度表示方式 gUyY)00079.

55、 002147.100( 其中，U=kuc=0.00079g， 是由uc=0.35mg和包含因子k=2.26确定的，k是依据置信概率p=0.95和自由度v=9由t分布表查得的。 这里注意, 扩展不确定度的表示方法与标准不确定度表示形式（4）相同，容易混淆。因此，当用扩展不确定度表示测量结果时，应给出相应的说明。 4-4-7979（3 3）相对不确定度表示方式）相对不确定度表示方式 测量结果的相对不确定度 ：yyuuccrel/ )(yyUUccrel/ )( 被测量Y是标称值为100g的标准砝码，其测量的估计值y=100.02147g，对应的合成标准不确定度uc=0.35mg,则测量结果可表示

56、成：y=100.02147g， ucrel=0.00035% 4-4-8080(4)(4)测量结果及其不确定度的有效位 (1) 最后报告的不确定度有效位数一般不超过两位修约原则，GUM中未作规定 有的国家规定，当不确定度的第一位有效数字有的国家规定，当不确定度的第一位有效数字位位1 1和和2 2时，应保留两位有效数字，大于时，应保留两位有效数字，大于3 3时可保留时可保留一位或两位有效数字。这一做法虽然未在一位或两位有效数字。这一做法虽然未在GUMGUM与国与国标中没作规定，但是要引起我们的注意。标中没作规定，但是要引起我们的注意。 4-4-8181修约原则：“四舍六入五凑双”(2) 被测量的

57、估计值的位数也要进行相应的修约与修约后的不确定度数值的位数对齐被测量的估计值 已修约的不确定度的数据修约的被测量的估计值20.000 54 0.001 2 20.000 5 20.000 56 0.001 2 20.000 6 20.000 55 0.001 2 20.000 6 四舍六入逢五取偶被测量的估计值的位数的修约 4-4-8282第四节测量不确定度应用实例 4-4-8383测量不确定度评定流程： 4-4-8484【例题】【例题】用数字电压表测量某直流电压问题 用数字电压表在标准条件下对10伏直流电压进行了10次测量，得到10个数据如下表所示。由该数字电压表的检定证书给出，其示值误差按3倍标准差计算为3.510-6 V。同时，在进行电压测量前，对数字电压表进行了24小时的校准，在10V点测量时，24小时的示值稳定度不超过15V。试分析评定对该10伏直流电压量的测量结果。iixiixiixiix1234567891010.00010710.00010310.00009710.00011110.00009110.00010810.00012110.00010110.00011010.000094 4-4