套利与套利组合

1、投资学 第1章14.3 套利定价理论（APT） 定义：套利（Arbitrage）是同时持有一种或者多种资产的多头或空头，从而存在不承担风险的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。 不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！ 两种套利方法： 当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益净现值为正） 当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的净支出为零（支出的净现值为0）。投资学 第1章2 假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，则有套利机会。 套利过程是：交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）1.签订一份协

2、议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.100.5）。投资学 第1章3 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.121），并用1110万元（等于1051e0.110.5）偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。投资学 第1章4 套利不仅仅局限于同一种资产（组合），对于整个资本市场，还应该包括那些“相似”资产（组合）构成的近似套利机会。 无套利原则（Non-arbitrage principle)：根据价格同一率（the

3、law of one price），两种具有相同风险的资产（组合）不能以不同的期望收益率出售。 套利行为将导致一个价格调整过程，最终使同一种资产的价格趋于相等，套利机会消失！投资学 第1章5 APT的基本原理：由无套利原则，在因子模型下，具有相同因子敏感性的资产（组合）应提供相同的期望收益率。 APT与CAPM的比较 APT对资产的评价不是基于马克维茨模型，而是基于无套利原则和因子模型。 不要求“同质期望”假设，并不要求人人一致行动。只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会。 不要求投资者是风险规避的！投资学 第1章64.3.1 APT的基本假设市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的（Perfe

4、ctly competitive and frictionless capital markets）；投资者是不知足的：只要有套利机会就会不断套利，直到无利可图为止。因此，不必对投资者风险偏好作假设？资产的回报可以用因子表示投资学 第1章7 APT假设证券回报可以用预期到的回报和未预期到的回报两个部分来解释，构成了一个特殊的因子模型iiiirrb fe1()0ttE f未预期到的变化未预期到的变化预期的回报预期的回报f是证券是证券i的某个因子的变化，的某个因子的变化，基于有效市场理基于有效市场理论论，它是不可预测的。，它是不可预测的。要依靠要依靠“旧旧”的的f来获利是不可能的！来获利是不可能的

5、！投资学 第1章8 若市场有效，则t-1时刻的信息集预测t时刻的价格无效，这等价于t-1时刻信息无法预测t时刻的因子，即对于因子的变化没有任何倾向公平赌局（Fair game） 从有效市场的理论来看，价格（回报）的不可预测，本质上是信息的不可预测，也就是因子的变化不可预测，这些信息既有宏观的、也有微观的。1()0ttE f投资学 第1章9充分分散投资组合的套利定价充分分散投资组合的套利定价ix11niixniiiprxr1 iiiniieFrEx1 pppeFrE假定某证券组合假定某证券组合P由由n种证券构成，各证券的组合种证券构成，各证券的组合权数为权数为= niiipx1peniiiex1

6、其中其中代表投资组合代表投资组合P对共同因子对共同因子F的敏感度；的敏感度；为为P的非系统收益率。的非系统收益率。类似于利用指数模型对证券风险的讨论，我们类似于利用指数模型对证券风险的讨论，我们可将证券及证券组合的风险分成由共同因子引起可将证券及证券组合的风险分成由共同因子引起=投资学 第1章10的系统风险与由特殊因素引起的非系统风险两的系统风险与由特殊因素引起的非系统风险两部分。由（部分。由（4-2）式，有）式，有 iFiiiiieeFrEVarr2222由（由（4-3）式有）式有 pFpppppeeFrEVarr2222其中证券组合其中证券组合P的非系统风险等于：的非系统风险等于： pe2

7、 niiiex122=投资学 第1章11n2ix当证券组合包含的证券数越来越多当证券组合包含的证券数越来越多且各证券权重的平方且各证券权重的平方越来越小时越来越小时,上式中的非上式中的非系统风险将逐渐趋于零。系统风险将逐渐趋于零。得到作为实际用途的充分分散证券组合的收益率得到作为实际用途的充分分散证券组合的收益率构造：构造： FrErppp222FppFpp且且， 下面再看下图，下面再看下图， 投资学 第1章12收益率（%） P B 10 8oF我们要问充分分散组合我们要问充分分散组合P与充分分散组合与充分分散组合B能否能否同时并存？同时并存？ 答案不可能。因为无论共同因子处于答案不可能。因为

8、无论共同因子处于何种水平，证券组合何种水平，证券组合P都优于证券组合都优于证券组合B，这就是，这就是产生了套利机会（无风险）。产生了套利机会（无风险）。投资学 第1章13例如例如,投资者可卖空价值一百万元的投资者可卖空价值一百万元的B,再买入价值再买入价值一百万元的一百万元的P,构造出一个零投资组合构造出一个零投资组合,其收益额为其收益额为: 0 . 108. 00 . 110. 0FF1百万=2万元 注意注意,投资者没有使用自己的任何本金投资者没有使用自己的任何本金,就获得了就获得了2万元的收益万元的收益,并且由于实行等额卖空与买入并且由于实行等额卖空与买入,该零该零投资组合的投资组合的值就

9、为零，因此系统风险全部消除值就为零，因此系统风险全部消除,同时同时,由于证券组合由于证券组合P与与B都是充分分散组合都是充分分散组合,非系统非系统风险也全部消除风险也全部消除,所以该零投资组合实际上没有任何所以该零投资组合实际上没有任何风险风险,如果真正存在这种套利机会如果真正存在这种套利机会,那么投资者要想获那么投资者要想获取多少收益就能得到多少取多少收益就能得到多少,事实上事实上,这是不可能的这是不可能的,即即使这种机会出现使这种机会出现,也不会保持长久也不会保持长久,正如前面分析的那正如前面分析的那样样,套利者的套利行为将引起市场上对套利者的套利行为将引起市场上对P与与B的供需的供需投资

10、学 第1章14相同的期望收益率相同的期望收益率,否则无风险套否则无风险套量发生变化量发生变化,从而最终消除此二证券组合在价格从而最终消除此二证券组合在价格上的差异上的差异.换句话说换句话说,在市场均衡状态下在市场均衡状态下,相同的相同的证券组合必须有证券组合必须有利机会就将存在利机会就将存在.在市场均衡状态下，具有同在市场均衡状态下，具有同值的充分分散证券值的充分分散证券组合应具有相同的期望收益率组合应具有相同的期望收益率那么对于不同那么对于不同值的充分分散证券组合，值的充分分散证券组合，它们的它们的期望收益率与其期望收益率与其值之间存在值之间存在 什么关系呢？什么关系呢？ 投资学 第1章15

11、fr期望收益率（%） 10 P 7 D 6 C 0.5 1 投资学 第1章16假设某充分分散证券组合假设某充分分散证券组合C的的系数为系数为0.5,期望收益期望收益=0.06,C位于由 CrE率为率为 04. 0ffrr与与P的连接线的连接线的下方的下方,如果以二分之一权重的如果以二分之一权重的 P及二分之一权重的及二分之一权重的 fr构成一新的投资组合构成一新的投资组合D, 那么那么D的的值为值为:5 . 01210212121PfDD的期望收益率等于的期望收益率等于: 07. 010. 02104. 0212121PfDrErrE这样证券组合这样证券组合D与与C有相同的有相同的值，但值，但

12、D的期望收益的期望收益 率高于率高于C，由前面的分析知，由前面的分析知， 无风险套利机会将存在。无风险套利机会将存在。 投资学 第1章17因此，在市场处于均衡状态不存在套利机会时，因此，在市场处于均衡状态不存在套利机会时， 所有充分分散证券组合必所有充分分散证券组合必 位于始于位于始于fr的同一条的同一条直线上直线上, 这条直线的方程为：这条直线的方程为： 其中斜率代表了单位风险的报酬，有时也称它为其中斜率代表了单位风险的报酬，有时也称它为 pfprrE （4-6）风险因子的价格。风险因子的价格。 上式就是关于充分分散上式就是关于充分分散证券组合证券组合的套利定的套利定 价模型价模型， 它描述

13、了在市场均衡状态下，它描述了在市场均衡状态下， 任意充分分散证券组合收益率与风险任意充分分散证券组合收益率与风险 的关系。的关系。 投资学 第1章184.3.2 构建套利组合（Arbitrage portfolio）零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资（Self-financing）组合。无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的敏感度为0。正收益：套利组合的期望收益大于零。投资学 第1章19 用数学表示就是111000niiniiini iiwbwwr11121()( = () = ( )()nni iiiii

14、iiniiiniiiDwrDw rb feDwb fD fwb11()0,0nni iiiiiDwrwb若要则要（4.1）（4.2）（4.3）投资学 第1章204.3.3 套利定价模型 假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风险利率借入1元钱；（2） 1元钱投资在两种资产，这样构造一个自融资组合。00()(1)()1()()piijjijjijjrw rb fwrb fw rrrw bbbf 0ij设设无无风风险险利利率率为为 ，两两个个资资产产是是资资产产 和和资资产产，在，在因因子子模模型的假型的假定定下下，套，套利利组组合合的收的收益益为为（忽（忽略略残差残差）l投资学 第1章21若不存

15、在套利机会，则该套利组合的收益为若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0jpijbwrbb 时, 无风险根据条件（根据条件（2），），()0ijjw bbb当，即0()0,jpijjijbrrrrbb =001jiijrrbb01iirb投资学 第1章221miiijjjrrb f命题命题4.1 ：假设：假设n种资产其收益率种资产其收益率m个因子决定个因子决定（mn），即），即其中，其中，i=1,2,n ，j=1,2,m，则，则01miijjjrb01,.,j 为常数严格证明投资学 第1章23 证明：假设在资产i上投资wi，构造零投资且无风险的组合，即wi满足下列条件10nTiiww 1112

16、211000nTiiinTiiinTiimmiwbwbwb1w bw bw b零投资零投资无风险无风险（4.5）（4.4）即，即，1、bj（j=1,2,m)线性无关。线性无关。投资学 第1章24如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投资、无风险的组合必然是无收益的，从而只资、无风险的组合必然是无收益的，从而只要（要（4.4）和（）和（4.5）成立，则）成立，则蕴含蕴含(followed),1,.,jjmw1,wbwr这等价于，这等价于，只要只要10ni iiwrTw r对于任意的对于任意的W，必然必然有有投资学 第1章25 又由于非零向量1,b1,b2,bm

17、线性无关，则 必定落在由1,b1,b2,bm张成的向量空间Rm+1中，也就是存在一组不全为零的数 使得r01,.,m 01122,.,mmr1bbb证毕。证毕。理解：理解： 必须落在必须落在Rm+1空间中，才能必然成立空间中，才能必然成立 rwr1和和bj是该空间的一组基是该空间的一组基投资学 第1章26abCd在向量空间中，如果向量在向量空间中，如果向量a、b正交于正交于c，蕴蕴含着含着d正交与正交与c，则，则d必须落在由必须落在由a和和b张成的张成的二维空间上，二维空间上，d可以由可以由a、b线性表示！线性表示！0示意图：向量空间示意图：向量空间投资学 第1章27APT的意义01miijj

18、jrb若bij0，则上式退化为无风险资产，则意味着01mfifijjjrrrb若bij0，则期望回报 随着 的增加而增大，所以 是因子 的风险价格。ijbirjif自变量自变量投资学 第1章281,1,.,ifirrb in在单因子条件下，有12112,.,ffnfnrrrrrrbbbAPT1对于所有风险资产则有由此可见，方程的斜率 实际上是因子1的风险价格。结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时，结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时，则证券之间不存在套利。则证券之间不存在套利。APT的意义投资学 第1章2901iribhrlrhlhlbb若给定等投资额的证券若给定等投资额的证券h多头和

19、证券多头和证券l空头，则形成套空头，则形成套利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券h，从从而使其价格上升，预期收益率下降，最终到达而使其价格上升，预期收益率下降，最终到达APT定定价线价线。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，只要证券偏离只要证券偏离APT定价线就会有套利机会。定价线就会有套利机会。APT定价线定价线投资学 第1章304.3.4 APT的另一种表达11ppfbprr在单因子模型下，考虑一个使的（资产）组合 ，即，则有,()mifmfirrrrr b特别地，当即纯因子组合为市场组合时有1pfr

20、r101,()pfiiffirrrbrr b令即风险价格,则则称该组合则称该组合p为为纯因子组合纯因子组合(类似于类似于CAPM的市场组合的市场组合)投资学 第1章31在两因子模型下，我们有1122ifiirrbb11211,0,iipbb若存在纯因子组合 ，使得且其期望收益为 则11ifrr11fr即即投资学 第1章322122220,1,iifpbbr同理，若存在纯因子组合 ，使得其期望收益为 ，则=从而第第1因子的风险价格因子的风险价格第第2因子的风险价格因子的风险价格1122()iffifirrr br b(22fr这样可将这样可将APT的表达式可以改写为的表达式可以改写为投资学 第1

21、章33在多因子模型下01122,.,iiimimrbbb证券的期望收益率等于无风险收益率，加上证券的期望收益率等于无风险收益率，加上j个因个因素的风险补偿（风险价格素的风险补偿（风险价格风险因子载荷）；风险因子载荷）；资产对风险因子的敏感度（因子载荷）越大，则其资产对风险因子的敏感度（因子载荷）越大，则其应得到的风险补偿越大。应得到的风险补偿越大。1122(),., ()ffifimfimrr br br b（j1,.,j jm其中， 为因子 （）的纯因子组合的期望收益投资学 第1章34111()(),APTCAPMififfiifimfmiirrbrrbrrrrrb显然，若纯因子组合是市场组

22、合即代表 ，则与一致。4.4 APT与CAPM的比较nAPT与与CAPM的一致性的一致性若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组合，若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组合，则当则当APT与与CAPM均成立时有均成立时有投资学 第1章35所以说，从某种意义上讲，所以说，从某种意义上讲，CAPM是是APT的一个特例。的一个特例。进一步分析还可以发现，上述一致性并不是偶然的个别进一步分析还可以发现，上述一致性并不是偶然的个别现象，现象，即使对于比较复杂的收益率产生过程即使对于比较复杂的收益率产生过程,由此推导的由此推导的 APT模型所描述的资本市场均衡关系与模型所描述的资本市场均衡关系与CAPM

23、所描述的所描述的关系也是相通的。关系也是相通的。 投资学 第1章36 命题4.2：若纯因子组合不是市场组合，APT与CAPM可能不一致。 证明：只要证明存在一个反例cov( ,)cov(,)cov(,)cov( ,)iiiiimiiimimiimrab fer rab fe rbf rbe r由单因子模型可得上式两边同除以上式两边同除以2m并且定义并且定义,2cov( ,)mf mmf r投资学 第1章37由于由于2cov( ,)imme r很小，不妨把它忽略，则有很小，不妨把它忽略，则有,2cov( ,)imif mimr rb如果如果APT 也成立，且满足也成立，且满足CAPM，则，则,1

24、()ifif mmfifirrbrrrrb1,()mff mrr得到得到投资学 第1章38若因素若因素f与市场组合正相关，那么与市场组合正相关，那么,2cov( ,)cov( ,)00mmf mmf rf r0,mfrr且由于从而1,()0mff mrr也就是，如果也就是，如果CAPM成立，则必然要求上述条件成立，则必然要求上述条件成立，它构成了对成立，它构成了对APT中中 的约束。的约束。1投资学 第1章39但是，如果但是，如果APT成立，不受成立，不受CAPM约束，即约束，即仅从仅从APT本身推断，必有本身推断，必有100fr或者只有当只有当mr才成立才成立10反之，如果反之，如果mr，则

25、可能有10fr则对于证券则对于证券i的定价就会出现不同的定价就会出现不同投资学 第1章40即如果纯因子组合不是市场组合，即如果纯因子组合不是市场组合，APT与与CAPM可能不一致。可能不一致。,()()ifif mmfr CAPMrbrr()()ififr APTrbr,0,0,0,()0()0if mfif mmfifbrbrrbr若，投资学 第1章41 若纯因子组合不是市场组合，则APT与CAPM不一定一致，CAPM仅仅是APT的特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时，CAPM与APT等价。 在CAPM中，市场组合居于不可或缺的地位（若无此，则其理论瓦解），但APT即使在没有市场组合条件下仍

26、成立。APT模型可以得到与CAPM类似的期望回报-b直线关系，但并不要求组合一定是市场组合，可以是任何风险分散良好的组合CAPM与APT的区别投资学 第1章421()()ifififimfrrbrrrrr注意二者并注意二者并不一致不一致由于市场组合在实际中是无法得到的，因此，由于市场组合在实际中是无法得到的，因此，在实际应用中，只要指数基金等组合，其即可在实际应用中，只要指数基金等组合，其即可满足满足APT。所以。所以APT的适用性更强！的适用性更强！投资学 第1章43CAPM属于单一时期模型，但APT并不受到单一时期的限制。模型的假定条件不同，APT的推导以无套利为核心，CAPM则以均值方差

27、模型为核心，隐含投资者风险厌恶的假设，但APT无此假设。在CAPM中，证券的风险只与市场组合的相关，它只给出了市场风险大小，而没有表明风险来自何处。APT承认有多种因素影响证券价格，从而扩大了资产定价的思考范围（CAPM认为资产定价仅有一个因素），也为识别证券风险的来源提供了分析工具。投资学 第1章446.建立模型的出发点不同建立模型的出发点不同. APT考察的是当市场不存在无考察的是当市场不存在无风险套利而达到均衡时风险套利而达到均衡时,资产如何均衡定价资产如何均衡定价,而而CAPM考察的是当所有投资者都以相似的方法投资考察的是当所有投资者都以相似的方法投资,市场最市场最终调节到均衡时终调节

28、到均衡时,资产如何定价资产如何定价.7.描述形成均衡状态的机理不同描述形成均衡状态的机理不同.当市场面临证券定价不当市场面临证券定价不 合理而产生价格压力时合理而产生价格压力时,按照按照APT的思想的思想,即使是少数几个即使是少数几个 投资者的套利行为也会使市场尽快地重新恢复均衡投资者的套利行为也会使市场尽快地重新恢复均衡; 而而按按CAPM的思想的思想,所有投资者都将改变其投资策略所有投资者都将改变其投资策略,调整调整 他们选择的投资组合他们选择的投资组合,他们共同行为的结果才促使市场重他们共同行为的结果才促使市场重 新新回到均衡回到均衡 状态状态.8.定价范围及精度不同定价范围及精度不同投

29、资学 第1章45CAPM是从它的假定条件经逻辑推理得到的是从它的假定条件经逻辑推理得到的,它提供了它提供了 关于所有证券及证券组合的期望收益率关于所有证券及证券组合的期望收益率-风险关系的风险关系的明确描述明确描述,只要模型条件满足只要模型条件满足,以此确定的任何证券或证券以此确定的任何证券或证券组合的均衡价格都是准确的组合的均衡价格都是准确的;而而APT是从不存在无风险套是从不存在无风险套利的角度推出的利的角度推出的,由于市场中有可能存在少数证券定价由于市场中有可能存在少数证券定价 不合理而整个市场处于均衡之中不合理而整个市场处于均衡之中(证券数少到不足以产生证券数少到不足以产生无风险套利无

30、风险套利),所以所以APT提供的均衡定价关系有可能对少数提供的均衡定价关系有可能对少数证券证券不成立不成立.换言之换言之,在满足在满足APT的条件的情况下的条件的情况下,用用APT的的证券证券或证券组合确定均衡价格或证券组合确定均衡价格,对少数证券的定价可能对少数证券的定价可能出现偏差出现偏差.投资学 第1章464.5 APT对资产组合的指导意义 APT对系统风险进行了细分，使得投资者能够测量资产对各种系统因素的敏感系数，因而可以使得投资组合的选择更准确。例如，基金可以选择最佳的因素敏感系数的组合。 APT的局限：决定资产的价格可能存在多种因素，模型本身不能确定这些因素是什么和因素的数量，实践

31、中因素的选择常常具有经验性和随意性。投资学 第1章47APT的检验 检验APT的方法类似于检验CAPM所使用的方法，即首先根据各证券收益率的时间序列数据 估计出证券对各个共同因子的敏感度 ，然后利用证券平均收益率及估计的 值数据对证券期望收益率 关系式作出估计，从而对APT所预言的证券均衡定价关系作出验证。 由于APT只假定证券收益率受一些共同因子的影响，而这些共同因子分别代表什么，它们共有多少个，模型并没有明确定义，因此，对证 ij券券值的估计过程中必然伴随着要确值的估计过程中必然伴随着要确定共同因定共同因 投资学 第1章48子，为此就需找到一种方法，能同时确定共同因子子，为此就需找到一种方法，能同时确定共同因子 及各证券对共同因子的敏感度。这种方法就是统计及各证券对共同因子的敏感度。这种方法就是统计学中的因子分析法。（详见学中的因子分析法。（详见多元统计分析多元统计分析