计算方法 12 牛顿迭代法-非线性方程

1、牛顿迭代法牛顿迭代法 非线性方程非线性方程计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1 1 牛顿给出一种求解方法：牛顿给出一种求解方法：在根附近任取一个点，在根附近任取一个点， 曲线与在该点处的切线，该切线与轴线交点取作曲线与在该点处的切线，该切线与轴线交点取作 第二点，依次循环第二点，依次循环 设方程设方程 有根有根 ，且，且 ，如图所示，如图所示牛顿迭代法几何含义牛顿迭代法几何含义*( )0 ( )0f xxfx x*x0 x1x2xky=g(x)计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期）

2、西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院2 2牛顿迭代法几何含义牛顿迭代法几何含义0000100()()()() 0()f xyf xfxxxyxxfx 令令 x*x0 x1x2xky=g(x)1111211()()()() 0()f xyf xfxxxyxxfx 令令 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院3 3牛顿迭代法牛顿迭代法 定义定义：从几何上看，从几何上看， 越来越接近越来越接近 。由此，。由此， 不难归纳出一般迭代公式不难归纳出一般迭代公式 以上方法称作以上方法称作牛顿迭代

3、法牛顿迭代法（也称（也称切线法切线法）*12, xxx10() ()()kkkkf xxxxfx 为为初初值值 定理定理： 设设 是方程是方程 的一个单根，且的一个单根，且 ， 则，牛顿迭代法以则，牛顿迭代法以 2 阶速度收敛于方程根阶速度收敛于方程根 。* ( )0 ( )0 xf xfxx 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院4 4 证明证明：事实上，迭代函数事实上，迭代函数 ，且，且 当当 时，由迭代定理可知，牛顿迭代时，由迭代定理可知，牛顿迭代 法以法以 2 阶速度收敛于阶速度收敛于 。牛顿迭代法牛

4、顿迭代法 232*3*( )( )( )( )( )( )( )2 ( )( )() ()( )fxfxf x fx fxxfxf xfxfxfxfx ( )( )( )f xxxfx 2( )( )( ), ( )0( )f x fxxxfx *()0 fxx 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院5 5 例例：证明以上公式，对于初值证明以上公式，对于初值 整体收整体收 收敛于收敛于 ，且收敛速度是，且收敛速度是 2 阶的。阶的。牛顿迭代法牛顿迭代法 定义定义：对于给定正数对于给定正数 a，应用牛顿迭代法解

5、二次，应用牛顿迭代法解二次 方程方程 ，可求，可求 的计算公式的计算公式20 xaa 0(0,)x 112kkkaxxx a计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院6 6牛顿迭代法牛顿迭代法 证明证明：从牛顿迭代法可得从牛顿迭代法可得 12221() ()2()1222kkkkkkkkkkkkkkf xxxfxxfxxaxaxxxaxxx 22112111212kkkkkkkkkkaxaxxaxaxaxaxaxaxx 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科

6、学与工程学院制造科学与工程学院7 7牛顿迭代法牛顿迭代法 证明证明：反复递推可得反复递推可得 21221111200 = =kkkkkkkaxaxaxaxaxaxaxax 11201201(1)1kkkaxqqqxaaxq 若若记记：1limkkxa 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院8 8牛顿迭代法牛顿迭代法 证明证明： 11 kkeax设设 1122kkkkeaxeax = =- -121lim2kkkeea =-=-*1lim0 kpkkexep 从从迭迭代代法法则则得得知知：时时，该该迭迭代代式式

7、在在 的的附附近近 阶阶收收敛敛的的。11(0,) 2 2kkkaxxxa 因因此此，在在 上上以以阶阶速速度度整整体体收收敛敛于于 。计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院9 9例题例题 例：例：给出计算给出计算 的牛顿迭代公式，并计算的牛顿迭代公式，并计算 。 3a计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1010例题例题 解：解：设方程设方程 ，则，则 ， 代入牛顿迭代公式可得代入牛顿迭代公式可得 当当 a=3 时，迭代公

8、式为时，迭代公式为 取取 ，代入牛顿迭代公式，计算结果如表，代入牛顿迭代公式，计算结果如表 所示。所示。2( )0 ( )2f xxafxx 1132kkkxxx 21()1()22kkkkkkkkkf xxaaxxxxfxxx 01.5x 01.5000000000000011.750000000000000.2521.732142857142860.01785714285714 31.732050810014730.00009204712813 41.732050807568880.00000000244585 51.7320508075688801 kkkkxxx 31.73205080

9、756888 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1111例题例题 例：例：设设 a0 ，推导用牛顿迭代法计算，推导用牛顿迭代法计算 1/a 的的 公式，要求在迭代公式中不用除法进行运算，并公式，要求在迭代公式中不用除法进行运算，并 计算计算 1/6。计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1212例题例题 解：解：设方程设方程 ，则，则 ， 代入牛顿迭代公式可得代入牛顿迭代公式可得 当当 a=6 时，牛顿迭代公式为时，牛顿

10、迭代公式为 取取 ，代入牛顿迭代公式，计算结果如表，代入牛顿迭代公式，计算结果如表 所示。所示。211( )0 ( )f xafxxx 1(26), (0,1,)kkkxxxk 1()(2), (0,1,)()kkkkkkf xxxxaxkfx 00.15x 00.15000010.1650000.01520.1666500.0016530.1668170.00016740.1666670.0007550.16666701 kkkkxxx 11.666676 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1313例题

11、例题 例：例：用牛顿迭代法计算用牛顿迭代法计算 1/1.2345。计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1414例题例题 解：解：将将 转化为转化为 ， 代入牛顿迭代公式可得代入牛顿迭代公式可得 取取 ，代入牛顿迭代公式，计算结果如表，代入牛顿迭代公式，计算结果如表 所示。所示。11 ( )0 1.2345xf xaaax 21()21.2345()kkkkkkf xxxxxfx 01x 01.0000000000000010.765500000000000.234520.807595036375000.04

12、209503637530.810037145291130.0024421089161340.810044552382650.0000074070915250.810044552450380.0000000000677360.8100445524503801 kkkkxxx 10.810044552450381.2345 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1515例题例题 例：例：设用牛顿迭代法求方程设用牛顿迭代法求方程 ，在节，在节 点点 附近的根，要求精度附近的根，要求精度 。( )1xf xxe50.5 10 x 计算方法（计算方法（2016/2017 第一学期）第一学期） 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1616例题例题 解：解：由由 ，代入牛顿迭代公式可得，代入牛顿迭代