数的开方知识点与复习

1、 数的开方知识点及复习知识点一：平方根 （1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。 （2）开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方. （3）平方根的表示：a的平方根记作: 。a叫做被开方 （4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算 （5）平方根的性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数0有一个平方根，它是0本身负数没有平方根。 （6）算术平方根的定义：非负数a的正的平方根。 （7）算术平方根表示：一个非负数a的平方根用符号表示为：“”，读作：“根号a”，其中a叫做被开方数 （8）算术平方根的性质:正数a的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负

2、数没有算术平方根。注1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质； (a0)是一个非负数, 即 0; 2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数； 3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1; 4).非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a0)； 5）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|= 6).平方根有三种表示形式：± ， ，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平 方 根，非负数a的负平方根。要特别注意： ± 7).平方根与算术平方根的区别与联系： 区

3、别：定义不同 个数不同： 表示方法不同： 联系:具有包含关系： 存在条件相同： 0的平方根和算术平方根都是0。 知识点二、立方根：（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（也叫三次方根）。如果x3=a，则x叫做a的立方根。记作： ,读作“三次根号a” 。（2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方（3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算（4）立方根的性质一个正数有一个正的立方根，即若a>0，则 一个负数有一个负的立方根，即若a<0，则0的立方根是0，即若a=0，则 。注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的

4、立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.典型例题:例1、x为何值时，下列代数式有意义。（1） （2） （3） （4） （5） （6）例2、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是，求a+2b的平方根。例3、若x、y都是实数，且，求x+3y的平方根。例4、如果是a+b+3的算术平方根，是a+2b的立方根，求MN的立方根。例5已知：=0，求实数a, b的值。练习：1、 填空：（1）0.25的平方根是 ;的算术平方根是 , 的平方根是 。（2） 的相反数是 ，的倒数是 ， 的绝对值是 ；（3） （3） ，= ，= 。（4）当x 时, 有意义；若有意义，则x ；当时，有意义；当时

5、，有意义（5）的平方根是_，的算术平方根是_， 的平方根是_，的立方根是 。（6）若一个正数的平方根是和，则，这个正数是 （7）如果有是m的一个平方根,那么m的算术平方根是_;（8）计算： =_（9）已知，则 ；(a+2)2|b1|0，则abc 。（10）某种洗衣机的包装箱是长方形,其高为1.2m , 体积为1.2, 底面是正方形,则该包装箱的底面边长为 m.（11）已知ABC的三边长分别为a、b、c,，且满足,则此ABC的周长= 。（12）请你观察、思考下列计算过程：因为，所以，同样，因为，所以由此猜想=_2、选择：（1）一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）A、 1 B、 0 C

6、、 -1 D、1，-1或0（2）下列各式中无意义的是( )A、 B、 C、 D 、（3）下列说法正确的是( ) A 、4的平方根是2 B、-16的平方根是4 C、实数a的平方根是 D、实数a的立方根是（4）有理数中，算术平方根最小的是（ ） A 、1 B 、0 C、0.1 D、不存在（5）下列说法中，正确的是（ ） A、27的立方根是3，记作=3 B、-25的算术平方根是5 C、的三次立方根是 D、正数的算术平方根是（6）的值是（ ）（A） 是正数 （B） 是负数 （C） 是零 （D） 以上都可能（7）若，则（ ）（A）-0.7 （B）±0.7 （C）0.7 （D）0.49（8）下列

7、等式：，； 正 确的有（ ）个（A）4 （B）3 （C）2 （D）1（9）设、为实数，且，则的值是（ ）A、1 B、9 C、4 D、5（10）下列说法中正确的是（ ） A、4是8的算术平方根 B、16的平方根是4 C、是6的平方根 D、没有平方根（11）下列各式中错误的是（ ） A、 B、 C、 D、（12）下列计算中正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 3、求下列各数的平方根和算术平方根：（1） （2） （3）4、计算：（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）-+（8） （9）5、解方程：（1） （2） （3）（4）(x+3)3=27 （5） （6）64(x-1)3+125=0

8、6、已知实数满足，求的值.7、a、b在数轴上的位置如图所示，化简：8、已知2x-1的平方根是±3，3x+y-1的平方根是±4，求x+2y的平方根。9、已知：实数、满足条件试求的值 知识点三：实数基础知识 1无理数的定义:（ ）叫做无理数 2有理数与无理数的区别： 有理数总可以用（ ）或（ ）表示；反过来，任何（ ） 或（ ）也都是有理数。而无理数是（ ）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。 有理数可以化成（ ），无理数不能化成（ ）。3.常见的无理数类型(1) 一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨··

9、3;(2) 看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。(3) 有特定意义的数，如：=3.14159265··· (4).开方开不尽的数。如：。4 实数、概念：_和_统称为实数。5 分类 按定义 _ _ _ _ _ 有限小数或_小数 _ 实数 _ _ _ 无限不循环小数_ 正实数按 性质 0 负实数6、实数的有关性质 a与b互为相反数=a+b=0 a与b互为倒数=ab=1 任何实数的绝对值都是非负数，即0 互为相反数的两个数的绝对值相等, 即= 正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零

10、没有倒数. A.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的关系 B.实数的大小比较：1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2.正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。 C.实数中的非负数及其性质 非负数有如下三种形式 任何一个实数a的绝对值是非负数，即0 任何一个实数的平方是非负数，即0； 任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即0 (4)、非负数有以下性质 非负数有最小值零 有限个非负数之和仍然是非负数 几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。二二、典型例题经典例题类型一有关概念的识别例1下面几个数：0.23 ，1.01001

11、0001，3，其中，无理数的个数有（ ）A、1 B、2 C、3 D、4类型二计算类型题例2设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 类型三数形结合 例3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为_2例4.已知实数、在数轴上的位置如图所示： 化简 类型四实数绝对值的应用例 4化简下列各式：(1) |-1.4|(2) |-3.14 (3) |-| (4) |x-|x-3| (x3) (5) |x2+6x+10|类型五实数应用题例 5有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少c

12、m。类型六引申提高例6已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.A组（基础）一、细心选一选1下列各式中正确的是（ ）A B. C. D. 2. 的平方根是( ) A4 B. C. 2 D. 3. 下列说法中 无限小数都是无理数 无理数都是无限小数 -2是4的平方根 带根号的数都是 无理数。其中正确的说法有（ ）A3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个4和数轴上的点一一对应的是（ ）A整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数5对于来说（ ）A有平方根 B只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定6在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数 的个数有（ ）A3个 B. 4个

13、 C. 5个 D. 6个7面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（ ）A B. C. D. 8下列各组数中，互为相反数的是（ ）A-2与 B.-与 C. 与 D. 与9-8的立方根与4的平方根之和是（ ）A0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或410已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）A B. C. D. 二、耐心填一填11的相反数是_，绝对值等于的数是_，=_。12的算术平方根是_，=_。13_的平方根等于它本身，_的立方根等于它本身，_的算术平方根等于它本身。14已知x的算术平方根是8，那么x的立方根是_。15填入两个和为6的无理数，使等式成立

14、： _+_=6。16大于，小于的整数有_个。17若2a-5与互为相反数，则a=_，b=_。18若a=6，=3，且ab0，则a-b=_。19数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为_。20一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_，x=_。三、认真解一解21计算 + ×+× 4× 9 + 2×（） （结果保留3个有效数字）22 在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：B组（提高）一、选择题： 1的算术平方根是 （ ）A0.14 B0.014 C D2的平方根是 （ ）A6 B36

15、 C±6 D±3下列计算或判断：±3都是27的立方根；的立方根是2；， 其中正确的个数有 （ ）A1个 B2个 C3个 D4个 4在下列各式中，正确的是 （ ）A; B; C; D 5下列说法正确的是 （ ） A有理数只是有限小数 B无理数是无限小数 C无限小数是无理数 D是分数6下列说法错误的是 （ ）A B C2的平方根是 D7若，且，则的值为 （ ）A B C D 8下列结论中正确的是 （ ）A数轴上任一点都表示唯一的有理数; B数轴上任一点都表示唯一的无理数;C. 两个无理数之和一定是无理数; D. 数轴上任意两点之间还有无数个点9-27 的立方根与的平方根之和是 （ ）A0 B6 C0或-6 D-12或6 10下列计算结果正确的是 （ ）A B C D二填空题: 11下列各数：3.141、0.33333、0.3030003000003（相邻两个3之间