数值分析作业

1、浅谈数值分析在机械设计领域的应用摘 要：以一齿轮传动轴为例，经过初步设计后用数值分析的方法进行强度计算，确定轴的应力应变的大小及分布，并计算出最大应力；进行计算模态分析，确定轴的前四阶固有频率和振型，计算其临界转速。通过分析可知，轴的强度和刚度符合设计要求，工作转速远远低于临界转速，不会引起共振，设计是安全的。实际应用表明，数值分析方法可以弥补理论计算和实验方法的不足，提高设计效率，在机械结构设计中有一定应用价值。关键词：机械结构；数值分析；强度计算；模态分析1 引言数值分析是一门研究如何在计算机上求解数学问题算法的学科,主要内容有:误差分析,插值法,数值微积分,数值代数, 矩阵计算和微分方程

2、数值解法等, 是工科各专业大学本科及研究生中开设的一门计算量大,算法多,实践性比较强的专业课。机械结构设计都要先进行力学计算，看其强度和刚度是否足够。如果没有足够的强度和刚度是不允许的。但有时用传统的力学方法计算很困难。若轴的横截面是不断变化的，要精确地计算出轴当中的应力和变形，特别是键槽处的应力是不可能的。如果用实验的方法电测法来测量轴当中的应力和应变，从理论上来说是可以的，但是实际操作比较困难。因为轴上的约束比较复杂，而且用电测应力分析的方法只能测出轴上一部分点的应力和应变，具有一定的局限性。另外，对轴这类容易产生振动的旋转零件来说，设计时其临界转速的计算尤其重要。轴在引起共振时的转速称为

3、临界转速。当轴的转速停留在临界转速附近时，轴的变形将迅速增大，严重时会破坏轴及整个机器。因此，对于高速旋转的轴，必须计算临界转速，使工作转速避开其临界转速。一般是通过试验或计算的方法确定轴的固有频率、主振型等模态参数，从而计算出轴的临界转速。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得。这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析。2 数值分析方法的研究2.1数值分析方法意义数学是一种工具，用于解决日常生活、工业工程上的相关问题。针对于数值分析中的数学方法，我们小组将主要内容概括分解，将使用到的方法进行对比

4、分析。2.2数值分析主要部分1. 各类插值方法我们讲过拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、样条插值。2. 函数逼近及拟合。3. 数值积分、欧拉法解常微分方程、龙格-库塔法解常微分方程、方程组。（1）插值对于牛顿插值相对于拉氏插值增加一个节点，所有的插值基本多项式要重新取、重新算.2而牛顿插值，节点增加，次数增加，即高次插值函数计算量大，有剧烈震荡，数值稳定性较差（例如龙格现象）；分段插值在分段点上仅连续（即函数值相等），但是有尖点，不光滑（尖点导数不连续）；样条函数可以解决以上问题：使插值函数既是低次阶分段函数，又是光滑的函数。（2）理解逼近问题与拟合问题：1）逼近问题：函数f(x)在区间a,b

5、具有一阶光滑度，求多项式p(x)是f(x)-p(x)在某衡量标准下最小的问题。 2）拟合问题：从理论上讲y=f(x)是客观存在的，但在实际中，仅仅从一些离散的数据 (i=1,2)是不可能求出f(x)的准确表达式，只能求出其近似表达式（x）。（3） Romberg（龙贝格）求积法和Gauss求积法的基本思想：(主要研究方法)1）复化求积公式精度较高，但需要事先确定步长，欠灵活性，在计算过程中将步长逐次减半得到一个新的序列，用此新序列逼近I的算法为Romberg求积法。2）对插值型求积公式，若能选取适当的xk.Ak使其具有2n+1阶代数精度，则称此类求积公式为Gauss型。(4)Runge-Kut

6、ta方法的基本思想：借助于Taylor级数法的思想，将yn+1=yn+hy()中的y()（平均斜率）表示为f在若干点处值的线性组合，通过选择适当的系数使公式达到一定的阶。3 轴的参数图 1 齿轮传动轴三维实体图以图 1 所示的齿轮传动轴为例，先利用CAD软件进行三维实体建模，建立分析模型后，设定好载荷和约束条件，对轴结构模型进行分析和计算，得到轴的应力及分布；进行计算模态分析，确定轴的固有频率、主振型等参数，计算出轴的临界转速。结果表明，数值分析的方法可以弥补理论计算和实验方法的不足，减少计算工作量，提高机械结构设计效率。3.1 轴的设计参数及结构尺寸轴输出功率5kW，转速，设计安全系数，经过

7、初步设计后确定轴的结构尺寸如表1所示。表1 轴的结构尺寸 轴的段位 1 2 3 4 5 6 7 键的尺寸（b*h*l） 直径（d/mm） 40 48 50 56 66 60 50 12*8*56 长度（l/mm） 60 48 50 85 10 10 27 16*10*80 3.2 材料参数材料为45钢调质处理，屈服强度为355 MPa，许用应，弹性模量E为210GPa，泊松比0.3，密度。4 强度分析4.1 外力计算并近似地计算出应力的值设作用在轴右边键（大键）上的力为切向力,径向力,则大齿轮处的水平弯矩为大齿轮处的铅垂弯矩为合成弯矩为 大齿轮处的扭矩为大齿轮处的抗弯截面系数为那么,大齿轮处截

8、面上的最大应力值（不考虑应力集中的影响）为但是，轴当中的应力最大值会大大超过这一值，因为在轴肩和键槽处存在很大程度的应力集中现象。4.2 键槽面上分布力的计算数值分析时需要计算出作用在键槽面上的分布力的值。作用在轴右边键槽上的水平（切向）分布力为同理，作用在轴右边键槽上的铅垂（径向）分布力为轴传递的力偶矩为作用在轴左边键槽上的水平（切向）力为则作用在轴左边键槽上的水平（切向）分布力为4.3 建立分析模型，确定边界条件用四面体单元对轴三维实体进行网格划分，共划分765 个节点3062 个单元。有限元模型如图2 所示。根据设计要求，对输出轴的轴承处施加零位移约束。作用在轴右边键槽上的水平（切向）分

9、布力为17.9 MPa，径向分布力2.03 MPa，作用在轴左边键槽上的水平（切向）分布力为44.75MPa。图2 齿轮传动轴有限元模型4.4 计算结果及分析图3 轴的应力云图轴应力云图如图3 所示，可以看出在轴肩和键槽处存在应力集中，最大应力56.9 MPa，远大于理论计算的20.1 MPa。轴承安装的轴颈过渡圆角处存在着较高的应力水平，是最容易破坏及最危险的部位。图4 轴的变形云图图 4 为轴的变形云图。可以看出轴最大变形量仅为4.7e-2 mm，其刚度也是满足设计要求。总体来说,轴在强度和刚度方面都存在很大的机械设计制造 机电技术2008 年第4 期47余量，材料的承载能力并没有得到充分

10、的利用，这为轴的优化提供了很大的空间。5 模态分析5.1 模态分析的理论基础多自由度的运动微分方程为 （1）式中：M、K、C 分别为总体质量、刚度、阻尼矩阵；为节点加速度向量；为节点速度向量；x(t)为节点位移向量；F(t)为整体载荷向量。固有频率也称自然频率，只与系统本身的特性(质量、刚度和阻尼)有关，模态分析即是求解振动系统的固有频率和振型。当弹性体的动力基本方程中的外力向量F(t)=0 时，便可得系统的微分方程： (2)求解主轴的固有频率和振型，即是求解式(2)的广义特征值和特征向量。5.2 模态分析模型分析模型与强度分析模型相同，但由于固有频率只与系统本身的特性(质量、刚度和阻尼)有关

11、，所以不施加载荷。5.3 计算结果及分析模态分析结束后提取了前四阶模态频率和振型，如图5 和表2 所示。一阶模态固有频率104.79Hz，振型如图5（a）所示，二阶模态固有频率106.78Hz，振型如图5（b）所示，三阶模态固有频率316.69Hz，振型如图5（c）所示，四阶模态固有频率368.33Hz，振型如图5（d）所示，可以看出，一、二阶固有频率几乎相等，可看作是式2 的一对重根。结果表明，通过计算模态分析可以得到轴的各阶模态的固有频率和振型，并具有很好的空间仿真效果。为了保证设计的安全性，轴的工作转速不能等于或超过其临界转速，从表2 可知，一阶临界转速n=60f =60×10

12、4.79=6287.4r/min，而其工作转速280r/min，大大低于一阶临界转速，所以设计是安全的，能有效避开共振区，保证了轴的加工精度和安全，但有很大的优化空间。表2 轴的各阶模态固有频率和临界转速阶次 固有频率（HZ） 临界转速（r/min）1 1.047876e+02 6287.42 1.067754e+02 6406.83 3.166935e+02 19001.44 3.683262e+02(a)第一阶模态变形云图(b) 第二阶模态变形云图(c)第三阶模态变形云图（d）第四阶模态变形云图图 5 前四阶模态变形云图6 小结1. 利用数值分析的方法进行了强度计算，准确地了解了轴零件的应

13、力应变的大小和位置，特别是最大应力及应力集中的位置，为结构设计提供参考。2. 利用数值分析的方法计算了轴零件的临界转速，结果表明，轴的工作转速远远低于临界转速，不会引起共振，设计是安全的。3. 计算表明，轴的最大应力和临界转速都远远小于临界值，说明设计虽然是安全的，但不尽合理，还有很大的优化空间，以免造成结构笨重，浪费材料。4. 本文是以一轴零件为例，说明数值分析的方法在机械结构设计中的应用，结果表明，这种方法可以弥补理论分析和实验方法的不足，提高设计效率，它同样适用于其他零件的设计。因此，在机械结构设计中运用数值分析的方法是可行的且具有一定优势。7 参考文献1 孙爱芹,王吉岱,李磊林等.基于 ANSYS 的高压巡检机器人电机主轴动态分析J.煤矿机械,2008,29(7).2 钟佩思,孙雪颜,苏超等.基于 ANSYS 的