概统第1章答案

1、概统习题一1. 用以样本点为元素的集合的形式写出下列试验的样本空间及事件,. 1) 投掷一颗骰子,记录出现的点数.“出现奇数点”. 2) 投掷一颗骰子两次,记录出现点数.“两次点数之和为10”,“第一次的点数比第二次的点数大2”. 3) 一个口袋中有5只编号分别为1,2,3,4,5的球,从中同时取出3只球,观察其结果.“球的最小号码为1”. 4) 将,两个球随机地放到甲,乙,丙三个盒子中去,观察放球情况.“甲盒中至少有一球”. 5) 记录在一段时间内通过某桥的汽车流量,“通过汽车不足5辆”,“通过的汽车不少于3辆”.2. 设都是事件,试通过对中的一些事件的交及并的运算式表示下列事件: 1) 中

2、仅有发生. 2) 中至少有两个发生. 3) 中至多两个发生. 4) 中恰有两个发生. 5) 中至多有一个发生.3. 袋中有四个球,其中有两个红球,一个黄球和一个白球.有放回地抽三次,求出现下列情况的概率: “三次都是红的”,“三次颜色全同”,“三次颜色全不同”,“三次颜色不全同”,“三次中无红”,“三次中无红或无黄”.解 每次抽球都可以抽到4个球中的任意一个，有4钟可能，3次抽球共有种可能，因此样本空间含有64个样本点。 每次抽球都可以抽到2个红球中的任意一个，有2种可能，3次抽球都抽到紅球共有种可能，因此事件含有8个样本点。 3次抽球都抽到紅球共有种可能，3次抽球都抽到黄球共有种可能，3次抽

3、球都抽到白球共有种可能，因此事件含有个样本点。 3种颜色的排列有种，对应于每一种排列，抽到的球有种可能，因此事件含有个样本点。 因为事件含有个样本点，故事件含有个样本点。 每次抽球都可以抽到黄球和白球中的任一个，有2种可能，3次抽球都抽不到紅球共有种可能，因此事件含有8个样本点。 3次都抽不到红球有8种可能，3次都抽不到黄球有中可能，3次都抽不到红球和黄球有中可能，因此事件含有个样本点。 由上可得， ， ， 。4. 5个人依次抽5条签,取后不放回. 1) 如果5条签中有1条上签,求第3人抽中上签的概率. 2) 如果5条签中有1条上签,求前3人中有一人抽中上签的概率. 3) 如果5条签中有两条上

4、签,求后两个人都抽不到上签的概率.解 5个人依次抽5条签,有种结果，故样本点总数为120。 1） 第3人抽到上签,其余的人抽到余下的签,有种结果,故所求的概率为。 2) 类似1),前3人中每人抽中上签都有种结果,故共有种结果,所求的概率为。 3) 从这5条签中取出两条上签和1条非上签有3种可能，前3人抽取这3条取出的签有种可能，后2人抽取余下的两条签有2种可能，故共有种结果，所求的概率为。5. 袋中有10个球,其中有5个红球,3个黄球和2个白球.现从这10个球任取5个. 1) 求这5个球中恰有3个红球的概率. 2) 求这5个球中恰有3个红球,1个黄球和1个白球的概率.解 不考虑取球的次序，从1

5、0个球中选取5个有种可能，故样本点总数为。 1） 从5个红球中取出3个红球，有种可能，从剩下的5个球中取出2个球，有种可能，故样本点数为，所求得概率为。 2） 从5个红球中取出3个红球，有种可能，从剩下的5个球中取出1个黄球和1个白球，有种可能，故样本点数为，所求得概率为。6. 在5对夫妻中任选4人,求至少有一对夫妻被选中的概率.解1 考虑选出的人的次序。 在5对夫妻10个人中选出4人有种可能，样本点总数为。 先求事件“至少有一对夫妻被选中”的对立事件“没有一对夫妻被选中”含的样本点数。第1人可以在5对夫妻10人中任选，第2人可以在余下的4对夫妻8人中任选，第3人可以在余下的3对夫妻6人中任选

6、，第4人可以在余下的3对夫妻4人中任选，故事件含有个样本点。由上知含有个样本点，事件的概率是。解2 考虑选出的人的次序。 在5对夫妻10个人中选出4人有种可能，样本点总数为。 先求事件“至少有一对夫妻被选中”的对立事件“没有一对夫妻被选中”含的样本点数。在5对夫妻中先选出4对排列，有种选法，在选中的这4对中每对各选一人，有种选法，故事件含有个样本点。因而含有个样本点，事件的概率是。解3 不考虑选出的人的次序。在5对夫妻10个人中选出4人有种可能，样本点总数为210。先求事件“至少有一对夫妻被选中”的对立事件“没有一对夫妻被选中”含的样本点数。在5对夫妻中先选出4对，有种选法，在选中的这4对中每

7、对各选一人，有种选法，故事件含有个样本点。由上知含有个样本点，事件的概率是。7. 有9个学生,其中有3个女生,把他们任意地分到3个小组,每组3人.求每组都有一个女生的概率.解 不考虑分到各组的人的次序。在9个学生中选出3个人分到第1组有种可能，在余下的6个学生中选出3个人分到第2组有种可能，把最后的3个学生分到第3组有1种可能。样本点总数为。 在6个男生和3个女生中各选出2个和1个分到第1组有种可能，在余下4个男生和2个女生中各选出2个和1个分到第2组有种可能，把最后的2个男生和1个女生分到第3组有1种可能，事件含有个样本点。所求的概率是。8. 同时投掷3个骰子,求掷出的3个面的点数之和是6的

8、概率.解 样本点总数为。投掷3个骰子，有种可能的结果. 掷出的3个面的点数之和是6的结果的数目恰好等于多项式中的系数.因为 ，上式中的系数是,故中的系数是10.因而所求的概率是.9. 某学校四个年级的学生各占四分之一,从中任意地抽出6名,求其中每个年级的学生都至少有一名的概率(设学生人数很多,抽取几个学生后各年级学生比例的改变可以忽略).解 以记取不到年级的学生,.则,; ,;,; . .所求的概率是.10. 一个口袋中有标有号码1到5号的球各一个,另一个口袋中有标有号码3,5,7,10的球各一个.从这两个口袋中随机地各摸出一个球,则摸出的两个球的号码之和不少于9的概率是多少?解 样本空间含有

9、个样本点，事件“两个球的号码之和不少于9”含有11个样本点，,，。所求的概率是。11. 在今年元旦出生的婴儿中任选一人,又在今年头两天出生的婴儿中再任选一人.求这两人的出生时间相差不到半天的概率.解 设第一个和第二个婴儿出生时间分别是元旦开始后的天和天，则两人的出生时间相差不到半天当且仅当（如右图），从图中看到,矩形面积为2，阴影部分面积为，故两人的出生时间相差不到半天的概率为。12. 某城市的调查表明,该城市的家庭中有65%订阅日报,有55%订阅晚报,有75%订阅杂志,有30%既订阅日报又订阅晚报,有50%既订阅日报又订阅杂志,有40%既订阅晚报又订阅杂志,有20%日报晚报和杂志都订阅.该城

10、市的家庭中至少订阅有一份报纸或杂志的家庭占百分之几?解 设“订阅日报”，“订阅晚报”，“订阅杂志”,则至少订阅有一份报纸或杂志的家庭所占的百分数为 。13. 掷五枚硬币.已知至少出现两个正面,问正面数刚好是三个的条件概率是多少?解 掷五枚硬币，有种结果，样本点总数是32。则“恰好出现个正面”，。在5枚硬币中选出个，有种可能，选种的硬币出现正面，其余的硬币出现反面，有1种可能。故事件含有个样本点。设“至少出现两个正面”，则的对立事件“至多出现一个正面”含有个样本点，事件含有个样本点。因而.又含有个样本点，故。从而所求的条件概率为。 14. 设,求概率.解 ， ， ， 。15. 盒中放有6个乒乓球

11、,其中有4个是新的.第一次比赛时从中任取2个来用,比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从盒中任取2个,求第二次取出的球都是新球的概率.又已知第二次取出的球都是新球,求第一次取到都是新球的概率.解 设“第一次取出的求中没有个新球”,“第一次取出的求中有1个新球”，“第一次取出的求中有2个新球”。“第二次取出的球都是新球”.则 .16. 张先生给李小姐发出电子邮件,但没有收到李小姐的答复.如果李小姐收到电子邮件一定会用电子邮件答复,而电子邮件丢失的概率是.求李小姐没有收到电子邮件的条件概率.解 设”李小姐没有收到电子邮件”,“张先生没有收到李小姐的答复”.则，。17. 同卵双胞胎有相同的性别,异卵双胞

12、胎有一半有相同的性别,双胞胎中同卵双胞胎的概率是.如果某对双胞胎有相同的性别,求他们是同卵双胞胎的概率.解 设“双胞胎为同卵”,“双胞胎有相同性别”.则，。18. 设有甲乙丙三个箱,甲箱内有个白球和个黑球,乙箱内有个白球和个黑球,丙箱内有个白球和个黑球.今任意取出一箱,再自此箱中任意取出一球,结果发现此球为白球.试求在这种情况下“取到的球属于甲箱”条件概率.解 以表示事件“取到的球是白球”,分别以表示“取到甲箱”,“取到乙箱”,“取到丙箱”.则，.19. 设都是事件.又和独立,和独立,和互不相容., ,.求概率.解 。20. 两个人轮流抛一个硬币,约定谁先抛出正面谁为胜者.求先抛者获胜的概率.

13、解1 设“第次抛出正面”，“先抛者获胜”。则。解2 设先抛者获胜的概率为，则后抛者获胜的概率为，解方程得，故先抛者获胜的概率为2/3。21. 三个人轮流抛一个骰子,约定谁先抛出6点谁为胜者.求先抛者获胜的概率.解1 获胜的概率为。解2 设先抛者获胜的概率为，则第二个和第三个获胜的概率分别为为和，解方程得，故先抛者获胜的概率为30/91。22. 设都是事件.证明如果或,则相互独立.证 1）设。则又，故。因而。由此得相互独立. 2) 设。则.又，故。因而。由此得相互独立.23. 小张,小李,小王三位朋友射击的命中率分别是0,2,0.3,0.4,每人射击一次,求至多有一人没有命中的概率.解 分别以，

14、和记小张,小李和小王三位命中，则所求的概率是 图6.1 。24. 设线路中有元件如图6.1,它们是否断开是独立的,断开的概率分别是0.6,0.5,0.4,0.3,0.2.求线路断开的概率.解 设, , , .则,. 解2 , , .25. 应聘某项工作要先后过4道关,各道关的淘汰率分别是60%, 50%, 50%, 20%,求应聘失败的概率.解 分别以，和记通过这4道关，以记应聘成功。则 。因而应聘失败的概率为。26. 在某个电子游戏中,甲乙两人同时向同一个目标射击,甲的命中率是,乙的命中率是.如果两人都命中目标,则目标“死亡”的概率是.如果刚好有一人命中目标,则目标“死亡”的概率是.如果无人

15、命中目标,则目标“死亡”的概率是. 1) 求目标“死亡”的概率. 2) 如果已知目标死亡,求两人都命中目标的概率. 3) 如果已知目标死亡,求甲命中目标的概率.解 设,. 1) . 。 2) . 3) .27. 某人在罚球线投篮命中率为0.4,投篮3次.求最多只有一次命中的概率.解 分别以，和记第1次，第2次和第3次投篮命中，所求得概率是。28. 某人左右两个口袋各有一盒火柴,吸烟时从任一盒中取一根火柴.经过若干时间后,发现一盒火柴已经用完,如果最初两盒中各有根火柴,求这时另一盒中还有根火柴的概率(提示:按照左边一盒或右边一盒为空盒分为两种情形,但必须注意到两盒都是空盒的情形).解 可能出现两

16、种情况： 1) 取了次以后，左边合中没有火柴，右边合中有根火柴，第次取到左边的合子。出现这种情况的概率是。 2) 取了次以后，右边合中没有火柴，左边合中有根火柴，第次取到右边的合子。出现这种情况的概率也是 所求的概率是29. 设是事件,证明: 1) . 2) 以下两个式子等价:,.(注:第一式称为Markov性,第二式称为条件独立)证 1) . 2) .30. 设,利用条件概率的定义证明, , ,证 因为，故。又,故。 。31*. 证明注5.1中的三元组是一个概率空间.证 由于是一个概率空间，故满足公理1.1.从上题知满足公理1.2之1)和2),下证满足公理1.2之3).若且互不相容,则.32

17、*. 证明命题4.4. 提示:把(4.2)中的分别换成,再利用事件运算的对偶律.证 把命题4.3中的分别换成 .由事件运算的对偶律有 , , , .由此得 . 。习题一参考答案1. 1) ,. 2) (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5), (2,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). (4,6),(5,5),(6,4), (3,1),(4,2),(5,3),(6,4). 3) (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5), (2,4,5),(3,4,5), (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5). 4) , , ,.其中表示甲盒有两个球,另两盒没球,其余类推. 5) , , .2. 1) ; 2) ; 3) (或);