高三理科数学一轮复习9：证明方法与极限—证明方法

1、高三理科数学一轮复习9：证明方法与极限证明方法1设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于A B C D2下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）A由an=2n1，求出S1=12，S2=22，S3=32，推断：数列an的前n项和Sn=n2B由f（x）=xcosx满足f（x）=f（x）对都成立，推断：f（x）=xcosx为奇函数C由圆x2+y2=r2的面积S=r2，推断：椭圆=1的面积S=abD由，推断：对一切，（n+1）22n3给出命题：

2、若是正常数，且，则（当且仅当时等号成立）根据上面命题，可得到函数（）的最小值及取最小值时的值分别为（ ）A， B，C25， D，4六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。如，在平行四边形中，有，那么在图（2）的平行六面体中有等于（ ）A BC D5对于任意正整数n，定义“”如下：当n是偶数时，当n是奇数时，现在有如下四个命题：；的个位数是0；的个位数是5。其中正确的命题有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个6若表示的各位数字之和，如，记，则的值是（ ）A 3 B 5 C 8 D 117设为正整数，且与皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）必为合数； （乙）必为两个平方数的和你的判断是 （

3、 ）A甲对乙错； B 甲错乙对； C甲乙都对； D甲乙都不一定对8设，是的小数部分，则当时，的值（ ）必为无理数必为偶数 必为奇数可为无理数或有理数9已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_成立10设的三边长分别为，的面积为，内切圆半径为，则；类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为，四面体的体积为，则 11如图小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回

4、出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点旋转了角，其中为小正六边形的中心，则 12给定有限单调递增数列，数列至少有两项）且，定义集合若对任意点，存在点使得为坐标原点），则称数列具有性质（1）给出下列四个命题，其中正确的是 （填上所有正确命题的序号）数列-2，2具有性质;数列:-2，-1，1，3具有性质;若数列具有性质，则中一定存在两项，使得;若数列具有性质，且，则（2）若数列只有2014项且具有性质，则的所有项和 参考答案1若m、nx|x=a2102+a110+a0，其中ai1，2，3，4，5，6，7，i=0，1，2，并且m+n=636，则实数对（m，n）表示平面上不同点的个数为（ ）A60个

5、 B70个 C90个 D120个【答案】C【解析】试题分析：记A=x|x=a0+a110+a2100，求实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数也就是要找x+y=636在A中的解的个数，按10进制位考察即可解：记A=x|x=a0+a110+a2100，实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数等价于要找x+y=636在A中的解的个数，按10进制位考察即可首先看个位，a0+a0=6，有5种可能再往前看：a1+a1=3且a2+a2=6，有25=10种可能，a1+a1=13且a2+a2=5，有24=8种可能，所以一共有（10+8）5=90个解，对应于平面上90个不同的点故选C点评：本题考查排列、组

6、合及其简单计数问题，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，属于中档题2设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于A B C D【答案】C【解析】试题分析：四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此，解得考点：类比推理的应用3下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）A由an=2n1，求出S1=12，S2=22，S3=32，推断：数列an的前n项和Sn=n2B由f（x）=xc

7、osx满足f（x）=f（x）对都成立，推断：f（x）=xcosx为奇函数C由圆x2+y2=r2的面积S=r2，推断：椭圆=1的面积S=abD由，推断：对一切，（n+1）22n【答案】A【解析】试题分析：选项A:为归纳推理，且，是等差数列，首项，公差，则，故A正确；选项B：为演绎推理；选项C:为类比推理；选项D：为归纳推理，当时，故结论错误；故选A考点：推理4已知（），计算得，由此推算：当时，有（ ）A（）B（）C（）D（）【答案】D【解析】试题分析：改写成：；改写成：；改写成：；改写成：，由此可归纳得出：当时，有（），故选择D考点：归纳推理5将个正整数、 、（）任意排成行列的数表对于某一个数表

8、，计算各行和各列中的任意两个数、（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”当时，数表的所有可能的“特征值”最大值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由题意可知：交换任何两行或两列，特征值不变当时，可设1在第一行第一列，的数表有：， ， ，其特征值均为:；，其特征值为:；得到数表的所有可能的不同“特征值”只有：，所以当时，数表的所有可能的“特征值”最大值为，故选考点：新定义、归纳推理6给出命题：若是正常数，且，则（当且仅当时等号成立）根据上面命题，可以得到函数（）的最小值及取最小值时的值分别为（ ）A， B，C25， D，【答案】D【解析】试题分析：本题先从给出的命题中

9、进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答依题意可得，当且仅当即时等号成立，故选D考点：创新学习题7六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。如，在平行四边形中，有，那么在图（2）的平行六面体中有等于（ ）图（1）图（2）A BC D【答案】C【解析】试题分析：平行四边形中，有，两对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍，其中的2倍代表的是两条对角线，类比平面图形，在空间图形中，对角线的平方和等于三条邻边的平方和的4倍。4倍代表是的4条对角线。考点：类比推理的应用8对于任意正整数n，定义“”如下：当n是偶数时，当n是奇数时，现在有如下四个命题：；的个位数是0；的个位数是5。其中正确的

10、命题有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】D【解析】试题分析：根据条件中的描述，可以做出如下判断，：，正确；：，正确；：，等号右边的因子中有末位是0的整数，显然乘积的个位数是0；正确：，等号右边的因子中有末位是5的整数，显然乘积的个位数是5，正确，正确的命题有4个考点：新定义类材料阅读题9将个正整数、（）任意排成行列的数表对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数、（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”当时，数表的所有可能的“特征值”最大值为A B C D 【答案】A【解析】试题分析：当时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当同行或同列时，这个数表的

11、“特征值”为；当同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；当同行或同列时，这个数表的“特征值”为或；故这些可能的“特征值”的最大值为考点：1、计数原理；2、归纳推理10若表示的各位数字之和，如，记，则的值是（ ）（A）3 （B）5 （C）8 （D）11【答案】C【解析】试题分析：由题意得：，故函数的周期为，所以。故选C。考点：函数的性质点评：做此类题目需先写出一部分，再寻找周期，进而求解。11设为正整数，且与皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）必为合数；（乙）必为两个平方数的和你的判断是（ ）A甲对乙错； B 甲错乙对； C甲乙都对； D甲乙都不一定对【答案】【解析】：设，为正整数；则，由此

12、知，为正整数，且，因为若，则，即，则，记，得不为平方数，矛盾！所以，故由得，为合数；又因为，故选（例如是上述之一）12设，是的小数部分，则当时，的值（ ）、必为无理数；、必为偶数；、必为奇数；、可为无理数或有理数【答案】【解析】：令，则，是方程的两根，则，所以当时，令，则当时，故所有为偶数，因，所以为的小数部分，即，奇数13已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_成立【答案】【解析】试题分析：由于函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点

13、之间函数图象的上方，因此有结论成立;而函数的图象上任意不同两点的线段总是位于A、B两点之间函数图象的下方，类比可知应有：成立考点：类比推理14设的三边长分别为，的面积为，内切圆半径为，则；类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为，四面体的体积为，则 【答案】 【解析】试题分析：三角形中，内切圆的圆心，与其三个顶点的连线，构成了三个小的三角形，并且有相同的高，底边分别是，利用等面积法，我们得到，所以；利用类比推理可知，在四面体内切球半径为，四个面的面积分别为，内切球的球心与各顶点的连线，将一个四面体分割为四个小的四面体，以四面体的四个面为底面，高都为的四面体，由等体积法，可得

14、到，所以考点：合情推理中的类比推理15如图小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点旋转了角，其中为小正六边形的中心，则 【答案】-1【解析】试题分析：从图中得出，第一个到第二个OA转过了60度，第二个到第三个转过了120度，依次类推每一次边上是60度转角是120度，共有6个转角一共就是1080度，所以考点：观察图形特点的能力16给定有限单调递增数列，数列至少有两项）且，定义集合若对任意点，存在点使得为坐标原点），则称数列具有性质（1）给出下列四个命题，其中正确的是

15、 （填上所有正确命题的序号）数列-2，2具有性质;数列:-2，-1，1，3具有性质;若数列具有性质，则中一定存在两项，使得;若数列具有性质，且，则（2）若数列只有2014项且具有性质，则的所有项和 【答案】（1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）对于数列，若，则；若，则；均满足，所以具有性质P，故正确；对于数列，当时，若存在满足，即，数列中不存在这样的数x，y，因此不具有性质P，故不正确；取，又数列具有性质P，所以存在点使得，即，又 ，所以，故正确；数列中一定存在两项使得；又数列xn是单调递增数列且x20，所以，故正确；（2） 由（1）知，若数列只有2014项且具有性质P，可得，猜想数列从第

16、二项起是公比为2的等比数列则考点：1、归纳推理；2、等比数列前n项和17在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L例如图中ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4（1）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是;（2）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=（用数值作答）【答案】（1）3，1，6（2）79【解析】（1）四边形DEFG可看作由3个边长为1的正方形构成，

17、故S=3，内部有一个格点，N=1，边界上有6个格点，即L=6（2）取题图中的三角形ABC，四边形DEFG，再取一个边长为2的格点正方形，可得解得当N=71，L=18时，S=71+18-1=7918给出下列等式：2cos，2cos，2cos，请从中归纳出第n个等式：_【答案】2cos【解析】对比2cos，2cos，2cos可得第n个等式为2cos19如下图所示，它们都是由小正方形组成的图案现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f（n），则（1）f（5） ；（2）f（n） 【答案】（1）41；（2）2n22n1【解析】试题分析：（1）（2）考点：1、归纳推理；2、等差数列20

18、将2n按如表的规律填在5列的数表中，设排在数表的第n行，第m列，则mn_。【答案】507 【解析】试题分析：由于201445032，故22014在第504行第3列，mn507考点：归纳推理21由恒等式：可得 ；进而还可以算出、的值，并可归纳猜想得到 （）【答案】；【解析】试题分析：等式两边平方得，解得，在上述等式两边平方得，所以，同理可得，于是归纳猜想得到考点：归纳推理22如图5，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点则第11行的实心圆点的个数是 第1行第2行第3行第4行第5行第6行图5【答案】55【解析】

19、略23（1）用数学归纳法证明等式1+2+3+（n+3）= （2）用数学归纳法证明不等式【答案】见解析【解析】试题分析：本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立试题解析：证明：（1）当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边=左边=右边假设n=k时等式成立，即1+2+3+（k+3）=那么n=k+1时，等式左边=1+2+3+（k+3）+（k+4）=+（k+4）=等式成立综上1+2+3+（n+3）= 成立（2）证明：当n=1时，左边=1，右边=2，n=1不等式成立假设当n=k（k2）时成立，即那么当n=k+1时，左边=4k2+4k4k2+4k+1，可得，即：这就是说n=k+1时不等式也成立综上可知不等式对所有的nN*考点：数学归纳法证明不等式24已知数列的前n项和为，且，令（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，用数学归纳法证明是18的倍数【答案】（1）证明过程详见试题解析，数列的通项公式为；（2）证明过程详见