高数1-2极限概念

1、 第一章 二、函数的极限二、函数的极限 第二节极限的概念极限的概念一、数列的极限一、数列的极限 一、数列的极限一、数列的极限,nf,f,f,f,f)()4()3()2()1(定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大，定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大，将其对应的函数值排成一列，将其对应的函数值排成一列，一些数列的例子一些数列的例子1. 1. 数列极限的定义数列极限的定义n,y,y,y,y,y4321习惯记作习惯记作这样的一列数这样的一列数称为一个数列，称为一个数列，数列中的每一个数称为数列的项，数列中的每一个数称为数列的项，.yn项项）称称为为数数列列的的一一般般项项（通通.ny

2、数数列列可可简简记记为为例如例如;,n 28422n;,21,81,41,21n21n;,n11111)()(11n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,n,14131,211,n1,n,1514131,211,随着随着n的增大，的增大，0ny越来越小，越来越小，且当且当n无限增大无限增大时，时，0ny可以任意小可以任意小!.0成立充分大时，有当，即任给正数nynny,nn110要使要使，任给正数任给正数对于数列对于数列检验：检验：.n即可即可只要只要1,n,n的增大的增大随着随着对于数列对于数列1有有什什么么样样的的变变化化ny趋势趋势?问：问：.xnnn0,1无无限限接接

3、近近于于的的无无限限增增大大，随随着着则则对对于于数数列列.nn趋趋于于无无穷穷时时的的极极限限当当是是数数列列称称10如果不存在这样的常数如果不存在这样的常数A, Aynnlim其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的 .: 存在存在,Aynnlim.nAyn)( 或或 定定义义N ,ny的的正正数数,NNn ,yn AynA数数nyny,A收收敛敛于于定义定义1 设数列设数列A是一常数，是一常数，(不论它多么小不论它多么小),使得对于使得对于时的一切时的一切都成立都成立,是数列是数列的极限的极限,记为记为 如果对于任意给定如果对于任意给定总存在正整数总存在正整数那么就称常那么就称常或者称数

4、列或者称数列是是发散发散的的.就说数列没有极限就说数列没有极限,称数列称数列.Ay,Nn,N,n 恒有恒有时时使使正整数正整数0的的几几何何解解释释是是axnnlimx1x2x2 Nx1 Nx3x a aa 2.a,aN,外外落在落在个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个任取任取)()(0 利用定义证明数列极限利用定义证明数列极限例例1.nn01lim利用定义证明利用定义证明证证01n1),(取取任任给给00ny要使,1 n只要只要,n1即即所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 01n就有就有.nn01lim即即习题习题. 19999. 0lim nn利用定义证明用定义证明数列极限时用定义

5、证明数列极限时, 0去证满足条件的正整数去证满足条件的正整数N的存在性的存在性.关键关键是是对于任意给定的对于任意给定的,例例2.Cy,CCynnnlim)(证明证明为常数为常数设设证证CynCC ,成成立立 ,0 任给任给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.Cynnlim说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.2. 2. 数列极限与子列极限的关系数列极限与子列极限的关系nnny,y,y,y,y121,yn1,yn2,yn3,yknkny)(knk显然显然 保保持持中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并定定义义：在在数数列列ny 中中的的先先后后次次序序，这这

6、些些项项在在原原数数列列ny 的的子子数数列列（或或子子列列）的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列ny这样得到这样得到定理定理1 1( (收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系）收敛数列的收敛数列的证证 的任一子数列的任一子数列是数列是数列设数列设数列nnyyk,Aynnlim.Ay,Nn,N,n恒有恒有时时使使00,NK 取取,时时则当则当Kk .NnnnNKk.Aykn.Ayknklim证毕证毕任一子数列也收敛且极限相同任一子数列也收敛且极限相同定理定理 ( (收敛子数列与数列间的关系）收敛子数列与数列间的关系）对于数列对于数列),(),(kAykAykk212,ny若若

7、证证 明：明：).(nAyn证证Ay,Aykkkk212limlim.Ay,Kk,NK,Ay,Kk,NK,kk22212110有有时时使当使当有有时时当当使使,K,KKmax21取取Ay,Ay,Kkkk212有有时时则当则当. AyNn,KNn时有时有则当则当取取2.Aynklim证毕证毕二、函数的极限二、函数的极限1.1.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限、x、x自变量趋向无穷大的三种情况自变量趋向无穷大的三种情况 : :x定义定义2.2.设函数设函数xxf当)(大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义, ,若若,0X,)(,AxfXx有时当则称则称时的极限时的极限,

8、,)()(xAxf当或记作记作,0 xxf当)(常数常数A 为函数为函数Axfx)(limxxfA当当是函数是函数就称就称)(趋于无穷大趋于无穷大如果如果 x,x时时无无限限增增大大 )(对应的函数值对应的函数值)(xf无限接近于某个确定的数无限接近于某个确定的数,A趋于无穷大时的极限趋于无穷大时的极限. . 定定义义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim自变量趋向无穷大的其余两

9、种情况自变量趋向无穷大的其余两种情况 : :.AxfxfAxf:xxx)(lim)(lim)(lim2定理定理.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXx的几何意义的几何意义Axfx)(limXXAAoxy)(xfy A例例3 3 用定义用定义证明证明. 01limxx证证: :01xx1取取,1X,时当Xx 01x因此因此01limxx就有就有故故,0欲使欲使,01x即即,1xoxyxy12.2.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限0 xx )(xf,A若函数若函数)(xf在点在点

10、0 x的某个去心邻域内有定义的某个去心邻域内有定义, , 当当自变量自变量时时, ,若对应的函数值若对应的函数值无限接近于无限接近于某个确定的常数某个确定的常数A0 xx 则称则称为函数为函数)(xf在在时的极限时的极限. .定义定义5.5.设函数设函数)(xf在点在点0 x的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 , ,0,0使得当使得当00 xx 时时, , 有有 Axf)(则称常数则称常数 A 为函数为函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限, ,Axfxx)(lim0或或)()(0 xxAxf当当若若记作记作,0,0使当使当),(0 xx时时, , 有有.Axf)(Axfxx)(li

11、m0定义定义Axfxx)(lim0的几何意义的几何意义: :0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 时的极限时的极限利用定义证明函数当利用定义证明函数当0 xx 那么就证明了那么就证明了的存在性的存在性,也就证明了极限的存在也就证明了极限的存在.用定义证函数极限存在时用定义证函数极限存在时,关键关键是对于任意给定的是对于任意给定的, 0,寻找满足条件的正数寻找满足条件的正数如果找到了这样的如果找到了这样的.xxxx00lim4用定义证明用定义证明例例xx0即即, Axf,)(要使要使0 xxAxf0)(有有时时当当取取xx, 000 xxAxf)(证：证：.xxxx00lim例例6.xxx21

12、121lim用定义证明用定义证明CCxx0lim5用定义证明例, Axf,00)(有有时时当当取任意正数取任意正数xx,00Cxf)(都有都有C.Cxx0lim0CCAxf)(证：证：单侧极限单侧极限: :AxfAxfxxxx)()(lim)(00000或或AxfAxfxxxx)()(lim)(00000或或右极限右极限左极限左极限.AxfxfAxf:xxxxxx)(lim)(lim)(lim0003定理定理.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx00limlim

13、左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6证证110)(limxxxxxxx00limlim110 xlim 作作 业业 P36 1.(2) 2.(2) 3.(1)(4) 5.思考题解答思考题解答 1nn)1ln(ln1 nn（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn实际上就是不等式实际上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值nnln从而从而 时，时，2ln)1ln( Nn仅有仅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分条件的充分条件)1ln

14、(ln nn反而缩小为反而缩小为n2ln一、一、 利用数列极限的定义证明利用数列极限的定义证明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 设数列设数列nx有界，又有界，又0lim nny， 证明：证明：0lim nnnyx. .练练 习习 题题“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合

15、体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与

16、圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣

17、体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限