考研高等数学

1、1.(032)(0)aea例对应于 从0到2 的一段弧与极轴围成面积为_22012aSed41(1)4aea22222.(931)(x例2双纽线+y ) =x -y 围成面积为440024400.2cos2.4cos21.2cos2.(cos2 )2AdBdCdDd 410144cos22SSd A1.例 y=lnx与两直线y=(e+1)-x及x轴围成的平面图形面积为_103(1)2ySeyedy 2(20113).1xx例2y=,x=2及x轴围成的平面图形绕 轴旋转一周的体积为_221Vy dx22214(1)3xdx13(201323).=xyyxDx练习为由y=x ,x=a及x轴围成的平

2、面图形,V ,V 分别为D绕 轴及y轴旋转一周的体积V10V ,求a的值132153307232303:56()7axayVxdxaVaydya解=7yxV10V , a=7(031).(1)(2)DDxe例3过原点作y=lnx的切线,该切线与y=lnx及x轴围成的平面图形为D,求的面积绕直线旋转一周的体积00000:(1)(,ln)1ln()xxyxxxx解切点为切线为0e代入(0,0)有x1yxe切线为1yxe切线为10()112ySeey dye面积为1220(2)()() yVeeyeedy元素法2(5123)6ee(20122).(1)(2)LDD例4过(0,1)作L:y=lnx的切

3、线切点为A,与x轴交点为B,L与AB及x轴围成的平面图形为D,求的面积绕x轴旋转一周的体积00000:(1)(,ln)1ln()xxyxxxx解切点为切线为20e代入(0,1)有x2211,(,0)yxBee切线为211yxe切线为2202(1)1ySeeydye面积为222221(2)12 ()ln3eVeexdx 元素法22(3)3e22.2Axyxyx练习设平面图形 由及确定,求图形A绕直线x=2旋转一周得旋转体的体积.12201202(11)(2)Vydyydy2()23(092).例5设非负函数y=y(x) (x0)满足xy -y +2=0,当y=y(x)过原点时其与x=1,y=0围

4、成的面积为2,求该图形绕y轴旋转一周得旋转体的体积.212:122c xxc解 高阶可降阶y =p,变量分离y=212122c xxcy=2(0,0)0c 过原点得121101(2 )2,62c xx dxc又223yxx12VVV522015x dy 12VVV522015x dy 5220115 ( 1 31) 3176ydy ( )(20121).cos22xf tytLX例6设L:, (0t0(0t0)220(1 cos )cos:(1 cos )sin2( )( )xayalxyd解022 cos82ada (20102)0_re练习当时，的弧长为2(1)e (032)( )2 1(

5、, ),22Q(1)( )(2)sin0, ,( )yf xyf xyxllyf x例4设位于第一象限内的曲线过点其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为 ，且PQ被x轴平分。求的方程已知在上弧长为 试用 表示的弧长 (1)( , )1()x yXxy在处法线为Y-y=-(0,)xQyy0 xPQxyyy被 轴平分，有22112 1,(, )222yxc 变量分离有过2221xy22212()2yx 222001 cos21 coslxdxxdx22212()2yx cos, 022sin2xy22201sincos2Ld 220121 cos42dl 1, / ,/99 230m400N

6、50N2000N3m s20N s例1（）为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深抓斗自重缆绳每米重，抓斗抓起的污泥重，提升速度为在提升过程中，污泥以的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力须作多少焦尔的功？123123:WWWWWWW解其中为克服抓斗自重做的功，为克服缆绳重力做的功，为提出污泥做的功。1400 3012000W 250(30)dWx dx302050(30)22500Wx dx302050(30)22500Wx dx ,t tdt在时间间隔内33 200020t dtdW 30/310提升时间为秒10303(200020 )

7、57000Wt dt91500321 WWWW 2例例时时锤锤将将桩桩进进层层锤锤击击将将层层对对桩桩设设层层对对桩桩桩桩进进数数为为锤锤击击将将桩桩进进设设计计锤锤击击桩桩时时击击时时为为数数问问锤锤击击桩桩将将桩桩进进击击数数锤锤将将桩桩进进长长单单031 某031 某建建筑筑工工程程打打地地基基，需需用用汽汽打打土土.汽.汽每每次次打打，都都克克服服土土的的阻阻力力而而作作功功. 土. 土的的阻阻力力的的大大小小与与被被打打地地下下的的深深度度成成正正比比（比比例例系系k,k 0）k,k 0）.汽.汽第第一一次次打打打打地地下下a m.a m.根根据据方方案案，要要求求汽汽每每次次打打所

8、所作作的的功功与与前前一一次次打打所所作作的的功功之之比比常常r r0 r1 .1 汽0 r1 .1 汽打打3次3次后后，可可打打地地下下多多深深？2 若2 若打打次次不不限限，汽汽至至多多能能打打地地下下多多深深？（注注：m表m表示示度度位位米米.）.）nn.nn设第 次击打后，桩被打进地下x ，第 次击打时，汽锤所作的功为Wx由题设，当桩被打进地下的深度为 时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以12211022xkkWkxdxxa2122222212()()22xxkkWkxdxxxxa21WrW由于2222raax 21WrW由于2222raax .)1(222arx .)1 (2)(22

9、232223332arxkxxkkxdxWxx 1223WrrWW 22223)1(ararx arrx231 arrx231 即汽锤击打即汽锤击打3 3次后，可将桩打进地下次后，可将桩打进地下amrr21 （2 2） 由归纳法，由归纳法，arrrxnn121 于是于是 arxnn 11lim1 022ABCD,AB5:4,hm()例例3 3某某闸闸门门的的形形状状如如图图，其其中中直直线线为为对对称称轴轴，闸闸门门的的上上部部为为矩矩形形下下部部由由二二次次抛抛物物线线与与线线段段围围成成，当当水水面面与与闸闸门门上上端端相相平平时时，欲欲使使闸闸门门的的矩矩形形部部分分承承受受的的水水压压力力与与闸闸门门下下部部承承受受的的压压力力之之比比为为闸闸门门矩矩形形部部分分的的高高 应应为为多