距离最短问题(1)

1、最短路线（距离）问题最短路线（距离）问题考查知识点考查知识点-“两点之间线段最短两点之间线段最短”，“垂线段最短垂线段最短”，“点关于线对称点关于线对称”，“线段的平移线段的平移”。原型原型-“饮马问题饮马问题”，“造桥选址问题造桥选址问题”。出题背景变式有角、三角形、菱形、。出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现解题总思路：找点关于线的对称点实现“折折”转转“直直”. 数学模型数学模型 1、实际问题：要在河边修建一个水泵站，、实际问题：要在河边修建一个水泵站， 分别同侧的张村、李庄

2、送水，分别同侧的张村、李庄送水， 修在河边什么地方可使所用的水管最短？修在河边什么地方可使所用的水管最短？2、数学问题：、数学问题： 已知：直线已知：直线l和和l的同侧两点的同侧两点A、B。 求作：点求作：点C，使，使C在直线在直线l上，并且上，并且ACCB最小。最小。二、构建“对称模型”实现转化1、 （2009年孝感）在平面直角坐标系中，有年孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，2），）， B（4，2）两点，现另取一点）两点，现另取一点C（1，n），当），当n =_时，时， AC + BC的值最小的值最小3、如图，正方形、如图，正方形ABCD的边长为的边长为8，M在在DC上，且上，且DM2，N

3、是是AC上的上的一动点，一动点，DNMN的最小值为的最小值为_。4、如图，在、如图，在ABC中，中，ACBC2，ACB90，D是是BC边的中点，边的中点，E是是AB边上一动点，则边上一动点，则ECED的最小值为的最小值为_。5、已知、已知 O的直径的直径CD为为4，AOD的度数为的度数为60，点，点B是的中点，在直是的中点，在直径径CD上找一点上找一点P，使，使BP+AP的值最小，并求的值最小，并求BP+AP的最小值的最小值6、如图，点、如图，点P关于关于OA、OB的对称点分别为的对称点分别为C、D，连接，连接CD，交，交OA于于M，交，交OB于于N，若，若CD18cm，则，则PMN的周长为的

4、周长为_。7、已知，如图、已知，如图DE是是ABC的边的边AB的垂直平分线，的垂直平分线，D为垂足，为垂足，DE交交BC于于E，且，且AC5，BC8，则，则AEC的周长为的周长为_。8、已知，如图，在、已知，如图，在ABC中，中，ABAC，BC边上的垂直平分线边上的垂直平分线DE交交BC于点于点D，交，交AC于点于点E，AC8，ABE的周长为的周长为14，则，则AB的长的长 7题图8题图9、如图，在、如图，在ABC中，中，AB的垂直平分线交的垂直平分线交AC于于D，若，若AC5cm，BC4cm，则，则BDC的周长为的周长为_10、如图所示，正方形、如图所示，正方形ABCD的面积为的面积为12，

5、ABE是等边三角形，点是等边三角形，点E在正方在正方形形ABCD内，在对角线内，在对角线AC上有一点上有一点P，使，使PDPE的和最小，则这个最小值为的和最小，则这个最小值为9题图10题图11、一次函数、一次函数y=kx+b的图象与的图象与x、y轴分别交于点轴分别交于点A（2，0），），B（0，4 （1）求该函数的解析式；）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设为坐标原点，设OA、AB的中点分别为的中点分别为C、D，P为为OB上一动上一动点，求点，求PCPD的最小值，并求取得最小值时的最小值，并求取得最小值时P点坐标点坐标1212、(2009(2009年鄂州年鄂州) )已知直角梯形已知直角

6、梯形ABCD中，中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点，点P在在BC上移动，则当上移动，则当PA+PD取最小值时，取最小值时，APD中边中边AP上的高上的高为（为（ ）13、（、（2009年达州）在边长为年达州）在边长为2的正方形的正方形ABCD中，点中，点Q为为BC边的中边的中点，点点，点P为对角线为对角线AC上一动点，连接上一动点，连接PB、PQ，则，则PBQ周长的最小值为周长的最小值为_（结果不取近似值）（结果不取近似值）.例：如图，点例：如图，点P在在AOB内部，且内部，且AOB度数为度数为45,OP=2cm,在射线在射线OA、OB上上找点找点C、D，使，使PC+CD+D

7、P之和最小。之和最小。分析：首先主导思想还是分析：首先主导思想还是“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”，解决方法可以利用轴对称找到，解决方法可以利用轴对称找到两两个对称点，使得三角形的三边之和最短问题转化为个对称点，使得三角形的三边之和最短问题转化为“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”。思考思考:你能求得出你能求得出PC+CD+DP之和最小为多少吗？之和最小为多少吗？（2009陕西）如图，在锐角陕西）如图，在锐角ABC中，中，AB4，BAC45，BAC的平分线交的平分线交BC于点于点D，M、N分别是分别是AD和和AB上的动点，则上的动点，则BM+MN的最小值是的最小值是_1.1.如图，

8、等腰直角三角形如图，等腰直角三角形ABCABC的直角边长为的直角边长为2 2，E E斜边斜边ABAB的中点，的中点， P P是是ACAC的一动点，则的一动点，则PB+PEPB+PE的最小值为的最小值为 0（第24题图）图 2图 1CBAEPCBA2.2.如图如图2, 2, ABCABC中，中，AB=2AB=2，BAC=30BAC=30，若在，若在AC、AB上各取一点上各取一点M、N使使BM+MN的值最小，求这个最小值的值最小，求这个最小值0如图，MON=30，A在OM上，OA=2，D在ON上，OD=4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为 解：作D关于OM的对称点

9、D，作A作关于ON的对称点A，连接AD与OM，ON的交点就是C，B二点此时AB+BC+CD=AB+BC+CD=AD为最短距离连接DD，AA，OA，ODOA=OA，AOA=60，OAA=OAA=60，ODD是等边三角形同理OAA也是等边三角形OD=OD=4，OA=OA=2，DOA=90AD= 如图，村庄如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使，问桥址应如何选择，才能使A村到村到B村的路程最近？村的路程最近？作法:(假设PQ就是在直线L上移动的定长线段) 1)

10、过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB,使它等于定长PQ; 2)作出点A关于直线L的对称点A,连接AB,交直线L于P; 3)在直线L上截取线段PQ=PQ. 则此时AP+PQ+BQ最小. 略证:由作法可知PQ=PQ=BB,四边形PQBB与PQBB均为平行四边形. 下面只要说明AP+BQAP+BQ即可. 点A与A关于直线L对称,则AP=AP,AP=AP. 故:AP+BQ=AP+BP=AB; AP+BQ=AP+BP. 显然,ABAP+BP;(三角形三边关系) 即AP+BQAP+BQ. 在平面直角坐标系中，矩形在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点的顶点O在坐标原点，顶点在坐标原点，顶点A、B分别在分别在x轴、轴、y轴的正半轴上，轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边为边 OB的中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小 时，求点E、F的坐标。 如图，作点D关于x轴的对称点D，连接CD与x轴交于点E，连接DE 若在边OA上任取点E与点E不重合、，连接CE、DE、DE 由DE+CE=DE+CECD=DE+CE=DE+CE， 可知CDE的周长最小 在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点， BC=3