指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)

1、一颗麦粒的故事一颗麦粒的故事 从前，有一个国王特别喜爱围棋，于从前，有一个国王特别喜爱围棋，于是他决定奖赏围棋的发明者，满足他的是他决定奖赏围棋的发明者，满足他的一个心愿一个心愿. .围棋的发明者对国王说围棋的发明者对国王说: “爱卿，爱卿，你所求的并你所求的并不多啊不多啊！”“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我赏给我一颗麦一颗麦粒，在第二个小格内给粒，在第二个小格内给两两粒，粒，第三格内给第三格内给四四粒粒这样下去，每一小格内这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满棋盘上所有棋盘上所有6 6格的格

2、的麦粒麦粒，都赏给您的仆，都赏给您的仆人吧！人吧！ ”思考：国王真的能够思考：国王真的能够满足围棋发明者的愿满足围棋发明者的愿望吗？望吗？ 一、一、 指数函数、幂函数、对指数函数、幂函数、对数函数图像回顾数函数图像回顾y=bxy=3x指数函数指数函数y=ax (a1)图像及图像及a对图像影响对图像影响一一 yxO123 a1时，时，y=ax是增函数，是增函数，底数底数a越大，其越大，其函数值函数值增长增长就越快就越快.1当当x0时，时， ？23xxy=log2xy=log3x对数函数对数函数y=logax (a1)图像及图像及a对图像对图像影响影响二二 yxO a1时，时，y=logax是增数

3、，是增数，123底数底数a越小，其越小，其函数值函数值增长就增长就越快越快.当当x1时，时， ？xxloglog32y=x2y=x3幂函数幂函数y=xn (n0)图像及图像及n对图像影响对图像影响三三 yxO n0时，时，y=xn是增函数，是增函数，且且x1时，时，n越大其越大其函数值函数值增增长就越快长就越快.xxy21X1时时，xxx21231.1.指数函数指数函数y=ay=ax x (a (a1)1)，对数函数，对数函数 y=y=logloga ax(ax(a1)1)和幂函数和幂函数y=y=x xn n (n (n0)0)在区间（在区间（0 0，+）上的单调性如何？）上的单调性如何？ 答

4、：都是单调递增答：都是单调递增二.指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 探究（一）：特殊指、幂、对探究（一）：特殊指、幂、对函数模型的差异函数模型的差异 对于函数模型对于函数模型 ：y=2y=2x x, y=x, y=x2 2, , y=logy=log2 2x x其中其中x x0.0. 下面请同学用几何画板画出图象下面请同学用几何画板画出图象 思考思考: :根据图象，不等式根据图象，不等式loglog2 2x x2 2x xx x2 2和和loglog2 2x xx x2 20 0，成立的成立的x x的取值范围的取值范围分别如何？分别如何？在在(2,4), 有有loglog2 2x x2 2

5、x xx x2 2，在在 ，有，有 loglog2 2x xx x2 22 2x x , 42 , 0比较函数比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图象增长快慢图象增长快慢xyo11 24y=2xy=x2y=log=log2x x用几何画板再画 和 的图象比较xylog2xxy21 对数函数对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数增长最慢，幂函数y=x2和指数函数和指数函数y=2x快慢则交替进行快慢则交替进行 在在(0,2)，幂函数比指数函数增长，幂函数比指数函数增长快。快。 在在(2,4),先幂函数比指数函数增长快，先幂函数比指数函数增长快，然后然后指数函数比幂函数增长快。指数函数比

6、幂函数增长快。 在在(4,+)，指数函数比幂函数增长快。，指数函数比幂函数增长快。xy=2xy=x20102030405060110241.05E+061.07E+091.10E+121.13E+151.15E+180100400900160025003600501001.10E+121.13E+15研究函数研究函数 ,填写下表并在同一平面填写下表并在同一平面直角坐标系内画出这二个函数的图象直角坐标系内画出这二个函数的图象.22 ,xyyxy=2xy=x2从上面图像发现什么？从上面图像发现什么？当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到， 的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样

7、，轴垂直一样， 的值快速的值快速增长，增长， 比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到， 的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样， 的值快速的值快速增长，增长， 比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到， 的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样， 的值快速的值快速增长，增长， 比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，

8、可以看到，看到， 的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样， 的值快速的值快速增长，增长， 比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到， 的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样， 的值快速的值快速增长，增长， 比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到， 的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样， 的值快速的值快速增长，增长， 比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道. xy2x2

9、2xx2当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到， 的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样， 的值快速的值快速增长，增长， 比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到， 的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样， 的值快速的值快速增长，增长， 比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到， 的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样， 的值快速的值快速增长，增长， 比起比起

10、来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2当自变量当自变量x越来越大时，可以越来越大时，可以看到，看到， 的图象就像与的图象就像与X轴垂直一样，轴垂直一样， 的值快速的值快速增长，增长， 比起比起 来，几乎来，几乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2探究（二）：一般指、幂、对函数模型的差异探究（二）：一般指、幂、对函数模型的差异 在区间在区间(0,)上上, 当当a1,n0时时,尽管这三个函数尽管这三个函数都是增函数都是增函数,但它们的增长速度不同但它们的增长速度不同,而且不在同一个而且不在同一个“档档次次”上。上。当当x足够大时足够大时, 随着随着x的增大的增大,

11、 y=ax的增长速度的增长速度越来越快越来越快,会超过并远远大于会超过并远远大于y=xn的增长速度的增长速度, 而而y=logax的增长速度则越来越慢的增长速度则越来越慢. 因此因此, 总会存在一总会存在一个个x0，使得当，使得当xx0时，一定有时，一定有axxnlogax.一颗麦粒的故事结局一颗麦粒的故事结局练习练习 1. P101 P113 B 1 1log2 xx3.使不等式使不等式 成立的成立的x的取值范围是的取值范围是 2.对于对于P97例例2选择模型选择模型 有更进一步的了解吗？有更进一步的了解吗？1log7xy一般幂、指、对函数模型的衰减性一般幂、指、对函数模型的衰减性探究探究提

12、示用几何画板画提示用几何画板画: 的图象的图象 xyyxyx21 21 , )21(log， 在区间在区间(0, ,+)上上,尽管函数尽管函数y=logax(0a1)，y=ax(0a1)与与y=xn(n0)都是减函数都是减函数,但它们的但它们的衰减速度不同衰减速度不同,而且不在同一个而且不在同一个“档次档次”上。随上。随着着x的增大，的增大， y=logax(0a1)的衰减速度越来越的衰减速度越来越快快,会超过并远远大于会超过并远远大于y=ax(0a1)的衰减速度的衰减速度,而而y=xn(n x0时时,就会有就会有 logaxaxxn 。 特殊指、幂、对函数模型的增长性特殊指、幂、对函数模型的增长性 认识了认识了“指数爆炸指数爆炸”这种现象这种现象 一般幂、指、对函数模型的