单元3点、直线、平面的投影

1、点、直线、点、直线、平面的投影平面的投影单元单元 3单元单元3 3 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影点的投影点的投影直线的投影直线的投影平面的投影平面的投影各种位置点的投影各种位置点的投影3.1 3.1 点的投影点的投影点的三面投影及展开摊平点的三面投影及展开摊平点的三面投影规律点的三面投影规律点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系两点的相对位置两点的相对位置投影时，要构成投影时，要构成“人人物体物体投影面投影面”的关系，的关系，且点在三投影面体系中的位置不能改变。且点在三投影面体系中的位置不能改变。3.1.1 3.1.1 点的三面投影及展开摊平点的三面投影及展开摊平

2、点的三面投影的形成点的三面投影的形成正投影法：投射线互相平行，且与投影面垂直正投影法：投射线互相平行，且与投影面垂直 在在V面面上得到的投影上得到的投影叫叫正面投影正面投影，用，用a表示表示 在在H面面上得到的投影上得到的投影叫叫水平投影水平投影，用，用a表示表示 在在W面面上得到的投影上得到的投影叫叫侧面投影侧面投影，用，用a”表示表示3.1.1 3.1.1 点的三面投影及展开摊平点的三面投影及展开摊平投影面的展开投影面的展开90903.1.2 3.1.2 点的三面投影规律点的三面投影规律OXZaaa”aXaZYWaYWYHaYH（1）点的正面投影与水平）点的正面投影与水平投影的连线投影的连

3、线垂直于垂直于OX 轴，轴，即：即： aaOX；（2）点的正面投影与侧面）点的正面投影与侧面投影的连线投影的连线垂直于垂直于OZ 轴，轴，即：即： aa”OZ；（3）点的水平投影到）点的水平投影到OX 轴轴的距离的距离等于等于点的侧面投影到点的侧面投影到OZ 轴的距离，即：轴的距离，即： aaX=a”aZ；3.1.2 3.1.2 点的三面投影规律点的三面投影规律【案例案例3-13-1】 已知已知A 点的正面投影点的正面投影a 和水平投影和水平投影a，求点求点A 的侧面投影的侧面投影a”。a”aaaz解法一解法一: :解法二解法二: :a xzyHywaxzywyHa ax通过通过作作45转折转

4、折线线使：使：a az=aax用圆规用圆规量取量取或或画圆弧画圆弧转角转角使：使：a az=aaxazax3.1.3 3.1.3 点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系 点的投影与投影轴点的投影与投影轴的距离，的距离，反映该点的坐反映该点的坐标，标，也就是该点与相应也就是该点与相应的投影面的距离。的投影面的距离。aaZ=aaYH=aXO=xAaaX=a”aZ=aYO= yAaaX=a”aYH=aZO= zA怎样描述怎样描述A点在三投影面体系中的位置点在三投影面体系中的位置？A点到点到W面的距离：面的距离：A点到点到V面的距离：面的距离：A点到点到H面的距离：面的距离：Aa”=

5、Aa=Aa=A（XA，YA，ZA）3.1.3 3.1.3 点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系【案例案例3-2】 求作点求作点A（14，10，20）的三面的三面投影。投影。XAYAZA作图步骤作图步骤: :1. 找出与三个坐标找出与三个坐标的对应值的对应值; ;2. 在投影图的三个投在投影图的三个投影轴上截出坐标值影轴上截出坐标值; ;3. 推平行线画出投推平行线画出投影线影线; ;4. 画点，并标出相画点，并标出相应的字母。应的字母。1.1.作点作点A的三面投影的三面投影3.1.4 3.1.4 各种位置点的投影各种位置点的投影1.1.空间的点空间的点有一个坐标值为零。有一

6、个坐标值为零。有二个坐标值为零。有二个坐标值为零。三个坐标值都为零。三个坐标值都为零。三个坐标值都不为零。三个坐标值都不为零。2.2.投影面上的点投影面上的点3. 投影轴上的点投影轴上的点4. 原点上的点原点上的点三个投影都不在投影轴上。三个投影都不在投影轴上。有二个投影落在二根投影轴上。有二个投影落在二根投影轴上。有二个投影落在同一投影轴上。有二个投影落在同一投影轴上。三个投影都在原点上。三个投影都在原点上。3.1.4 3.1.4 各种位置点的投影各种位置点的投影投影面上的点投影面上的点c“ db“ ddcbEcbbb b cZYHYWX ODdd e eB ecC O XHVW YZc d

7、 e ee“ 投影轴上的点投影轴上的点V面上的点面上的点BH面上的点面上的点CW面上的点面上的点DOX轴上的点轴上的点E特点：特点：一个投影与点本身重合，一个投影与点本身重合，另两个投影在投影轴上。另两个投影在投影轴上。特点：特点：两个投影与点本身重两个投影与点本身重合，另一个投影在原点。合，另一个投影在原点。3.1.5 3.1.5 两点的相对位置两点的相对位置 空间两点的相空间两点的相对位置对位置由两点的坐标由两点的坐标值大小来确定值大小来确定。 比较比较两点的各两点的各坐标值大小，坐标值大小，就可判就可判定两点的相对位置。定两点的相对位置。3.1.5 3.1.5 两点的相对位置两点的相对位

8、置X X坐标值确定两点的坐标值确定两点的左右位置：左右位置：大者为左，小者为右；大者为左，小者为右；Y Y坐标值确定两点的坐标值确定两点的前后位置前后位置: :大者为前，小者为后；大者为前，小者为后； Z Z坐标值确定两点的坐标值确定两点的上下位置：上下位置：大者为上，小者为下；大者为上，小者为下；zBzAxBxAyAyB结论结论: : B 点在点在A点的左、前、下方。点的左、前、下方。ZAZB ：A上，上，B下下YAYB ：B前，前，A后后XAXB：B左，左，A右右YB-YAZA-ZBXB-XA3.1.5 3.1.5 两点的相对位置两点的相对位置【案例案例3-3】 已知已知A点到点到V 面、

9、面、H 面面、W 面的距面的距离分别为离分别为30、10、25，B 点在点在A 点的右点的右15、后、后20、上、上25，求，求A、B 两点的三面投影。两点的三面投影。作图步骤：作图步骤：1、分析、分析A 点。点。2 2、求、求A 点的三面点的三面投影。投影。3 3、分析、分析B 点。点。XAYAZA4 4、求、求B 点的三点的三面投影。面投影。X坐标差坐标差Y坐标差坐标差Z坐标差坐标差3.1.5 3.1.5 两点的相对位置两点的相对位置当空间两点当空间两点位于位于垂直于垂直于某个投影面的某个投影面的同一投射线上同一投射线上时，这两点在该投影面上的时，这两点在该投影面上的投影重合，则称这两点是

10、该投影重合，则称这两点是该投影面的投影面的重影点重影点。H 面上的重影点面上的重影点上者可见，下者不可见。上者可见，下者不可见。V 面上的重影点面上的重影点前者可见，后者不可见。前者可见，后者不可见。W 面上的重影点面上的重影点左者可见，右者不可见。左者可见，右者不可见。YB-YAZA-ZBXB-XA（ ）B点在点在A点的正下方，点的正下方，或说或说A点在点在B点的正上点的正上方。方。（ ）结论：点的一个投影结论：点的一个投影不能不能确定其空间位置确定其空间位置结论：点的两面投影就结论：点的两面投影就可确定可确定其空间位置其空间位置3.1.5 3.1.5 两点的相对位置两点的相对位置 在三投影

11、面体系中，点的每一个投影只能反在三投影面体系中，点的每一个投影只能反映二对方向：映二对方向：XB-XAYB-YAZA-ZB V面投影反映左右面投影反映左右（X坐标坐标）、上下（）、上下（Z坐标）；坐标）； H 面投影反映左右面投影反映左右（X坐标）、前后（坐标）、前后（Y坐标）；坐标）； W 面投影反映上下面投影反映上下（Z坐标）、前后（坐标）、前后（Y坐标）。坐标）。3.1.5 3.1.5 两点的相对位置两点的相对位置【案例案例3-4】 已知点的两面投影，求第三投影，已知点的两面投影，求第三投影，并判断其空间位置及两点之间的相对位置。并判断其空间位置及两点之间的相对位置。空间空间V面上面上Y

12、轴轴上上A 点在点在B 点的点的 、 、 方方 B 点在点在 C 点的点的 、 、 方方 A 点点在在 B 点点在在 C 点在点在 右右 前前 上上左左 后后 上上3.2 3.2 直线的投影直线的投影求一般位置直线的实长和对求一般位置直线的实长和对投影面的倾角投影面的倾角直线的三面投影直线的三面投影直线上的点直线上的点各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性两直线的相对位置两直线的相对位置3.2.1 3.2.1 直线的三面投影直线的三面投影 求直线求直线ABAB的三面投影图时，可分别作出的三面投影图时，可分别作出两端点两端点A A、B B的三面投影，然后将其同面投影的三面投影，然后将其同面

13、投影连接起来即得直线连接起来即得直线ABAB的三面投影图。的三面投影图。3.2.2 3.2.2 直线上的点直线上的点 直线上的点的投影，必在直线的同面投影。直线上的点的投影，必在直线的同面投影。 若点在直线上，则点分直线段长度之比等于若点在直线上，则点分直线段长度之比等于其投影分直线段投影长度之比，反之也然。其投影分直线段投影长度之比，反之也然。AKKBakkb=AKKBakkb=AKKBa”k”k”b”=AKKBakkbakkba”k”k”b”=同理可得：同理可得：结论结论定比性定比性3.2.2 3.2.2 直线上的点直线上的点【案例案例3-5】如图所示，试在直线如图所示，试在直线AB上取一

14、点上取一点C，使使AC : CB =2 : 3。作图步骤作图步骤: : 取直线任一投影取直线任一投影ab，过过a 作任一直线作任一直线ak； 将将ak五等分，得五等分，得1、2、3、4、5等分点；等分点； 连接连接b 和和5，自，自2 作作2cb5，则，则c 即为所求；即为所求； 由由c 求出求出c。3.2.2 3.2.2 直线上的点直线上的点【案例案例3-6】已知已知M 点在点在AB 直线上直线上, ,求求M 点的点的另两面投影另两面投影；并判断；并判断N 点点是否在直线是否在直线AB 上。上。作图步骤：作图步骤：、求、求M点：点：2 2、判断、判断N点在不在直线点在不在直线上，只要看上，只

15、要看N点的第三点的第三投影在不在直线的第三投影在不在直线的第三投影上就行了。投影上就行了。 已知已知M点在直线上，点在直线上，所以所以M点的各投影应落在点的各投影应落在直线的各个同名投影上。直线的各个同名投影上。方法一：方法一：作直线作直线ABAB的第三面投影的第三面投影3.2.2 3.2.2 直线上的点直线上的点【案例案例3-6】已知已知M 点在点在AB 直线上直线上, ,求求M 点的点的水平投影水平投影；并判断；并判断N 点是否在直线点是否在直线AB 上。上。作图步骤：作图步骤：2 2、求、求M M点：点：3 3、判断、判断N点在不在直线点在不在直线上，只要看上，只要看N点的两面点的两面投

16、影是否符合定比性。投影是否符合定比性。用定比性求解。用定比性求解。 已知已知M点在直线点在直线上，则：上，则：ammbammb=方法二：方法二：3.2.3 3.2.3 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性直线按与投影面的相对位置不同分为三类：直线按与投影面的相对位置不同分为三类：一般位置直线一般位置直线投影面平行线投影面平行线投影面垂直线投影面垂直线不平行于任一投影面的直线。不平行于任一投影面的直线。与一个投影面平行，与另二个投影面倾斜与一个投影面平行，与另二个投影面倾斜的直线。的直线。与一个投影面垂直，与另二个投影面平行与一个投影面垂直，与另二个投影面平行的直线。的直线。特殊位置直线

17、特殊位置直线特殊位置直线 直线与直线与H面、面、V面、面、W面的倾角，面的倾角，分别用分别用、表示表示3.2.3 3.2.3 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性投影特性投影特性: : 三个投影都倾斜于投影轴，长度缩短，三个投影都倾斜于投影轴，长度缩短，不能直接反映直线与投影面的真实倾角。不能直接反映直线与投影面的真实倾角。一般位置直线的三面投影一般位置直线的三面投影3.2.3 3.2.3 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性投影面平行线投影面平行线正平线正平线水平线水平线侧平线侧平线与与V面平行的直线面平行的直线与与H面平行的直线面平行的直线与与W面平行的直线面平行的直线投影

18、特性投影特性:（1）在平行的投影面上的投影，反映真长，且）在平行的投影面上的投影，反映真长，且反映该直线与其他两个投影面的真实倾角。反映该直线与其他两个投影面的真实倾角。（2）在另外两个投影面上的投影，必分别平行）在另外两个投影面上的投影，必分别平行于相应的投影轴，且长度缩短于相应的投影轴，且长度缩短。3.2.3 3.2.3 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性正平线正平线投影特性投影特性: :1. 1. ab反映真实长度反映真实长度2. 2. ab/OX，a”b”/OZ，且长度缩短。且长度缩短。和和、角角。3.2.3 3.2.3 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性水平线水平

19、线投影特性投影特性: :1. 1. ab反映真实长度反映真实长度2. 2. ab/OX，a”b”/OY，且长度缩短。且长度缩短。和和、角角。3.2.3 3.2.3 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性侧平线侧平线投影特性投影特性: :1. 1. a”b”反映真实长度反映真实长度2. 2. ab/OZ，ab/OY，且长度缩短。且长度缩短。和和、角角。3.2.3 3.2.3 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性投影面垂直线投影面垂直线正垂线正垂线铅垂线铅垂线侧垂线侧垂线与与V面垂直的直线面垂直的直线与与H面垂直的直线面垂直的直线与与W面垂直的直线面垂直的直线投影特性投影特性:（1）

20、在垂直的投影面上的投影，积聚成一点。）在垂直的投影面上的投影，积聚成一点。（2）在另外两个投影面上的投影，平行于投影）在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴（与直线相平行的投影轴），且反映真长轴（与直线相平行的投影轴），且反映真长。3.2.3 3.2.3 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性正垂线正垂线投影特性投影特性: :1. 1. ab积聚成一点。积聚成一点。2. 2. ab/OY，a”b”/OY，且反映真长。且反映真长。3.2.3 3.2.3 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性铅垂线铅垂线投影特性投影特性: :1. 1. ab积聚成一点。积聚成一点。2. 2. ab/O

21、Z，a”b”/OZ，且反映真长。且反映真长。3.2.3 3.2.3 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性侧垂线侧垂线投影特性投影特性: :1. 1. a”b”积聚成一点。积聚成一点。2. 2. ab/OX，ab/OX，且反映真长。且反映真长。3.2.4 3.2.4 求一般位置直线的实长和对投影面的倾角求一般位置直线的实长和对投影面的倾角一般位置直线的真长及与一般位置直线的真长及与H面面的倾角的倾角直角三角形法：直角三角形法： 过过A点作点作ab平行线，与平行线，与Bb交得交得B0点，则点，则AB0B为一直角三角形。为一直角三角形。 在直角三角形中：在直角三角形中：ZB-ZA 一条直角边

22、等于水平一条直角边等于水平投影投影AB0 = ab；另一条直角边为两点的坐标差；另一条直角边为两点的坐标差BB0 = ZB-ZA；斜边斜边 AB是真长是真长； 斜边与水平投影的夹角斜边与水平投影的夹角BAB0 = 真真长长ZB-ZA3.2.4 3.2.4 求一般位置直线的实长和对投影面的倾角求一般位置直线的实长和对投影面的倾角一般位置直线的真长及与一般位置直线的真长及与V面面的倾角的倾角直角三角形法：直角三角形法： 过过A点作点作ab平行线，与平行线，与Bb交得交得B0点，点，则则AB0B为一直角三角形。为一直角三角形。 在直角三角形中：在直角三角形中： 一条直角边等于正面一条直角边等于正面投

23、影投影AB0 = ab；另一条直角边为两点的坐标差；另一条直角边为两点的坐标差BB0 = YB-YA；斜边斜边 AB是真长是真长； 斜边与正面投影的夹角斜边与正面投影的夹角BAB0 = 真长真长YB-YAYB-YA3.2.4 3.2.4 求一般位置直线的实长和对投影面的倾角求一般位置直线的实长和对投影面的倾角用直角三角形求真长和倾角的方法：用直角三角形求真长和倾角的方法：真真长长YB-YAYB-YAZB-ZA真真长长ZB-ZA求求水平投影水平投影坐标差坐标差斜边是真长斜边是真长求求正面投影正面投影坐标差坐标差斜边是真长斜边是真长求求侧面投影侧面投影坐标差坐标差斜边是真长斜边是真长3.2.4 3

24、.2.4 求一般位置直线的实长和对投影面的倾角求一般位置直线的实长和对投影面的倾角用直角三角形求真长和倾角的方法：用直角三角形求真长和倾角的方法：在这四个参数中，知道任二个参数都在这四个参数中，知道任二个参数都可以通过直角三角形得到另外二个参数。可以通过直角三角形得到另外二个参数。. 已知投影已知投影和真长，求倾和真长，求倾角和坐标差。角和坐标差。投影投影真长真长坐标差坐标差夹角夹角. 已知投影已知投影和夹角，求真和夹角，求真长和坐标差。长和坐标差。投影投影夹角夹角真长真长坐标差坐标差3.2.3 3.2.3 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性【案例案例3-73-7】 如图过如图过A

25、A点作下列直线的三面投影。点作下列直线的三面投影。（1 1）直线）直线ABAB平行于平行于V V面，长度为面，长度为20mm20mm，3030，点，点B B在点在点A A的右上方。的右上方。（2 2）正垂线）正垂线ACAC长度为长度为1212毫米，点毫米，点C C在点在点A A的前方。的前方。 （1 1）作点）作点A 的侧的侧面投影面投影 （2 2）作直线）作直线ABAB的三的三面投影面投影 （3 3）作直线）作直线ACAC的的三面投影：三面投影：作图步骤：作图步骤：3.2.4 3.2.4 求一般位置直线的实长和对投影面的倾角求一般位置直线的实长和对投影面的倾角【案例案例3-83-8】已知已知

26、AB 直线的正面投影及直线的正面投影及A点水平投影，点水平投影，并知道并知道AB直线对直线对V 面的夹角为面的夹角为3030，求直线的水平投影。，求直线的水平投影。作图步骤：作图步骤：、分析：、分析：2 2、作直角三角形，求坐、作直角三角形，求坐标差。标差。3 3、根据坐标差求投影。、根据坐标差求投影。 水平投影在水平投影在b 的投的投影线上，但具体位置由影线上，但具体位置由Y方向的坐标差决定。方向的坐标差决定。Y坐标差坐标差3.2.4 3.2.4 求一般位置直线的实长和对投影面的倾角求一般位置直线的实长和对投影面的倾角【案例案例3-83-8】已知已知AB 直线的正面投影及直线的正面投影及A点

27、水平投影，点水平投影，并知道并知道AB直线对直线对H面的夹角为面的夹角为3030，求直线的水平投影。，求直线的水平投影。作图步骤：作图步骤：、分析：、分析：2 2、作直角三角形，求坐、作直角三角形，求坐标差。标差。3 3、根据坐标差求投影。、根据坐标差求投影。 水平投影在水平投影在b 的投的投影线上，但具体位置由影线上，但具体位置由Y方向的坐标差决定。方向的坐标差决定。Z坐标差坐标差3.2.4 3.2.4 求一般位置直线的实长和对投影面的倾角求一般位置直线的实长和对投影面的倾角【案例案例3-93-9】 已知直线已知直线ABAB的实长的实长L=30mm，及直，及直线线AB 的水平投影的水平投影a

28、b 和点和点B 的正面投影的正面投影b，试用，试用直角三角形法求出直线直角三角形法求出直线AB 的正面投影的正面投影ab。 作图步骤：作图步骤：、分析：、分析：2 2、作直角三角形，、作直角三角形，求坐标差。求坐标差。3 3、根据坐标差求投影。、根据坐标差求投影。 点点A的正面投影在的正面投影在a的的投影线上，但具体位置由投影线上，但具体位置由Z方向的坐标差决定。方向的坐标差决定。Z坐标差坐标差3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置两直线的相对位置两直线的相对位置平行平行相交相交交叉交叉 在在V、H两投影面体系中判断两两投影面体系中判断两直线的相对位置时，如有侧平线，则直线的

29、相对位置时，如有侧平线，则还需加还需加W面投影或用其他的投影特性面投影或用其他的投影特性协助检查。协助检查。共面直线共面直线异面直线异面直线3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置1.1.平行两直线平行两直线投影特性：投影特性：1）若空间两直线平行，则它们的各个同面投影也平行。）若空间两直线平行，则它们的各个同面投影也平行。（1）平行两直线的投影特性）平行两直线的投影特性2 2）空间平行两线段的长度之比等于其同面投影长度之比。）空间平行两线段的长度之比等于其同面投影长度之比。即若即若ABCDABCD，则，则AB : CD = ab : cd = ab : cd = a“b” :

30、 c“d” 。 3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置1.1.平行两直线平行两直线（2）平行两直线的判断）平行两直线的判断 1）两条一般位置直线，）两条一般位置直线，如如有两组同面投影互相平行有两组同面投影互相平行，即可即可判定此两直线在空间互判定此两直线在空间互相平行相平行。 AB、CD 是一般位置是一般位置直线，且直线，且abcd、 abcd ， 则则AB、CD 两直线在两直线在空间互相平行空间互相平行。3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置1.1.平行两直线平行两直线（2）平行两直线的判断）平行两直线的判断 2）对两条对两条同一投影面同一投影面的平行线

31、，如果的平行线，如果反映实长的反映实长的投影互相平行投影互相平行，即可判定此，即可判定此两直线在空间互相平行。两直线在空间互相平行。 AB、MN是正平线是正平线，且且 abmn， 则则AB、MN 两直线在两直线在空间互相平行空间互相平行。反映实长反映实长反映实长反映实长 3）对两条对两条同一投影面同一投影面的平行线，如果所给的投的平行线，如果所给的投影均不反映实长时，影均不反映实长时，只有只有两面投影中两面投影中各端点的投影符各端点的投影符号顺序相同号顺序相同，且，且对应的投影长度之对应的投影长度之比符合定比性比符合定比性时，时，才可判定才可判定此两直此两直线在空间平行。线在空间平行。 作作e

32、F1gH1，且使且使eF1=ef， gH1=gh； 如如F1fH1h，则，则eF1fgH1h，EF、GH 的投影符合定比性，的投影符合定比性， 则则EF、GH 两直线在空间互相两直线在空间互相平行平行。3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置1.1.平行两直线平行两直线（2）平行两直线的判断）平行两直线的判断 3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置2.2.两直线相交两直线相交投影特性：投影特性： 若空间两直线相交，则它们的各个同面若空间两直线相交，则它们的各个同面投影也相交，且交点符合点的投影特性。投影也相交，且交点符合点的投影特性。（1）相交两直线的投影特性

33、）相交两直线的投影特性3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置2.2.两直线相交两直线相交（2）相交两直线的判断）相交两直线的判断 1 1）对两条一般位置直线，如对两条一般位置直线，如果有果有两组同面投影相交两组同面投影相交，且，且交点交点符合点的投影规律符合点的投影规律，即可判定，即可判定此此两直线在空间相交两直线在空间相交。 AB、CD 是一般位置直线，是一般位置直线，ab与与cd、ab与与cd 都相交都相交，且且kkOX，则，则交点交点k、k 符合点符合点的投影规律的投影规律， 故故直线直线AB、CD 在空间相交在空间相交。3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的

34、相对位置2.2.两直线相交两直线相交（2）相交两直线的判断）相交两直线的判断 2 2）当两直线中当两直线中有一条直线为投影面平行线有一条直线为投影面平行线，所给的，所给的两两面投影相交，但均不反映面投影相交，但均不反映实长实长时时，如果两直线的如果两直线的第第三面投影相交，且交点符三面投影相交，且交点符合点的投影规律合点的投影规律，才可才可判判定此两直线在空间相交。定此两直线在空间相交。 CD 是侧平线是侧平线，a“b”与与c“d” 相交相交，但，但交点交点不符合点的投影规律不符合点的投影规律， 故故直线直线AB、CD 在空间在空间不相交不相交。3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的

35、相对位置2.2.两直线相交两直线相交（2）相交两直线的判断）相交两直线的判断 3 3）当两直线中当两直线中有一条直线为投有一条直线为投影面平行线影面平行线，所给的，所给的两面投影相交两面投影相交但均不反映实长但均不反映实长时，如果两直线投时，如果两直线投影的交点分割该投影面平行线的投影的交点分割该投影面平行线的投影长度之比符合定比性，即可判定影长度之比符合定比性，即可判定此两直线在空间相交此两直线在空间相交。 CD 是侧平线，是侧平线，c1 :1d c1 :1d，即，即空间点空间点不在直线不在直线CD 上上，直线，直线AB 与与CD 在空间没有共有点，在空间没有共有点， 故故直线直线AB、CD

36、 在空间不相交在空间不相交。c1 1dc11d3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置两直线交叉两直线交叉投影特性：投影特性： 若空间两直线交叉，则它们的投影既不符合相交两若空间两直线交叉，则它们的投影既不符合相交两直线的投影特性，也不符合平行两直线的投影特性。直线的投影特性，也不符合平行两直线的投影特性。重影重影点点3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置两直线交叉两直线交叉确定重影点投影可见性的方法：确定重影点投影可见性的方法： 从两交叉线的重影点向相邻投影作投射线，与这从两交叉线的重影点向相邻投影作投射线，与这两交叉线的相邻投影各交得一点。按两交叉线的相邻

37、投影各交得一点。按（W面上）面上）左遮左遮右、右、（V面上）面上）前遮后、前遮后、（H面上）面上）上遮下的规定，确上遮下的规定，确定在重影点的投影重合处，哪点可见，哪点不可见。定在重影点的投影重合处，哪点可见，哪点不可见。3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置【案例案例3-10】 efgh、 efgh，试判断两直线，试判断两直线EF、GH 的相对位置。的相对位置。 efgh、 efgh，所以所以EF、GH 肯定不相交。肯定不相交。 直线直线EF、GH是是侧平线侧平线，所，所给的两面投影给的两面投影均不反映实长均不反映实长，虽然虽然efgh、 efgh，但，但不不能直言能直言两

38、直线平行。两直线平行。 分析：分析： 3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置【案例案例3-10】 efgh、 efgh，试判断两直线，试判断两直线EF、GH 的相对位置。的相对位置。 判断方法一判断方法一 通过通过观察观察两组同面投两组同面投影中影中各端点的投影符号顺各端点的投影符号顺序是否相同序是否相同来判断。来判断。 两直线两直线各各端点正面投影端点正面投影的符号顺序的符号顺序与与水平投影的水平投影的符号顺序符号顺序不一致不一致。3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置【案例案例3-10】 efgh、 efgh，试判断两直线，试判断两直线EF、GH 的相对

39、位置。的相对位置。 判断方法二判断方法二 加画加画W面，面，作出两直作出两直线的侧面投影线的侧面投影e“f”、g“h”来判断。来判断。 e“f”与与g“h”不平行。不平行。3.2.5 3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置【案例案例3-10】 efgh、 efgh，试判断两直线，试判断两直线EF、GH 的相对位置。的相对位置。 判断方法三判断方法三 利用两直线相交的特性来判断。利用两直线相交的特性来判断。 (1) 分别连分别连eh和和fg ；再；再分别连分别连eh 和和fg ；并延长。；并延长。(2) 从投影的交点向相邻投从投影的交点向相邻投影作投影连线，影作投影连线，(3)连线不重合，

40、故连线不重合，故EF与与GH 不共面不共面。3.3 3.3 平面的投影平面的投影平面的表示法平面的表示法各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性平面上的直线和点平面上的直线和点3.3.1 3.3.1 平面的表示法平面的表示法几何元素表示法几何元素表示法1.用几何元素表示（五种表示形式可以互相转换）不在同一直线上的三点一直线和线外一点。相交两直线平行两直线平面图形3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性一般位置平面一般位置平面投影面平行面投影面平行面投影面垂直面投影面垂直面不平行于任一投影面的平面。不平行于任一投影面的平面。与一个投影面平行，与另二个投影面垂直与一

41、个投影面平行，与另二个投影面垂直的平面。的平面。与一个投影面垂直，与另二个投影面倾斜与一个投影面垂直，与另二个投影面倾斜的平面。的平面。特殊位置直线特殊位置平面特殊位置平面 平面与平面与H面、面、V面、面、W面的倾角，面的倾角，分别用分别用、表示表示平面按与投影面的相对位置不同分为三类：平面按与投影面的相对位置不同分为三类：3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性一般位置平面一般位置平面投影特性：投影特性：三个投影都是面积缩小的类似形。三个投影都是面积缩小的类似形。3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性投影面平行面投影面平行面投影特性：

42、投影特性：1. 在它所平行的投影面上的投影反映真形。在它所平行的投影面上的投影反映真形。正平面正平面与与V面平行，与面平行，与H、W面垂直面垂直水平面水平面与与H面平行，与面平行，与V、W面垂直面垂直侧平面侧平面与与W面平行，与面平行，与V、H面垂直面垂直2. 在其他两个投影面上的投影，积聚成直在其他两个投影面上的投影，积聚成直线，平行于相应的投影轴。线，平行于相应的投影轴。3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性正平面正平面投影特性：投影特性：1. V面投影反映真形。面投影反映真形。2. 另两面投影积聚成直线，分别平行于另两面投影积聚成直线，分别平行于OX、OZ轴

43、。轴。3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性水平面水平面投影特性：投影特性：1. H面投影反映真形。面投影反映真形。2. 另两面投影积聚成直线，分别平行于另两面投影积聚成直线，分别平行于OX、OY轴。轴。3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性侧平面侧平面投影特性：投影特性：1. W面投影反映真形。面投影反映真形。2. 另两面投影积聚成直线，分别平行于另两面投影积聚成直线，分别平行于OZ、OY轴。轴。3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性投影面垂直面投影面垂直面投影特性：投影特性：1. 在所垂直的投影面上的

44、投影积聚成一直在所垂直的投影面上的投影积聚成一直线，且反映与其他两个投影面的倾角。线，且反映与其他两个投影面的倾角。正垂面正垂面与与V面垂直，与面垂直，与H、W面倾斜面倾斜铅垂面铅垂面与与H面垂直，与面垂直，与V、W面倾斜面倾斜侧垂面侧垂面与与W面垂直，与面垂直，与V、H面倾斜面倾斜2. 在其他两个投影面上的投影，为面积缩在其他两个投影面上的投影，为面积缩小的类似形。小的类似形。3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性正垂面正垂面投影特性：投影特性：1. V面投影积聚为一直线，并反映面投影积聚为一直线，并反映和和角角。2. 另两面投影为面积缩小的类似形。另两面投影为

45、面积缩小的类似形。 3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：1. 面投影积聚为一直线，且反映面投影积聚为一直线，且反映和和角角。2. 另两面投影为面积缩小的类似形。另两面投影为面积缩小的类似形。 3.3.2 3.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性侧垂面侧垂面投影特性：投影特性：1. 面投影积聚为一直线，且反映面投影积聚为一直线，且反映和和角角。2. 另两面投影为面积缩小的类似形。另两面投影为面积缩小的类似形。3.3.3 3.3.3 平面上的直线和点平面上的直线和点ABCMNP直线在平面上的几何条件：直线在平面上的几何

46、条件：R 如果一直线通过平面上的两个点，则此直线必在该平如果一直线通过平面上的两个点，则此直线必在该平面内。面内。 如果一直线通过平面上的已知点且平行于平面内的如果一直线通过平面上的已知点且平行于平面内的 另一另一 直线，则此直线必在该平面内。直线，则此直线必在该平面内。 相交两直线相交两直线AB、AC决定一平面决定一平面P，在，在AB、AC上分上分别取点别取点M、N，则过，则过M、N两点的直线一定在平面两点的直线一定在平面P上。上。过点过点M作直线作直线MR平行直平行直 线线AC,则则MR一定在平一定在平 面面P上。上。1.平面上的直线平面上的直线3.3.3 3.3.3 平面上的直线和点平面上的直线和点【案例