大学理论力学第四章

1、第四章第四章空间力系空间力系cosyFFcoszFF直接投影法1、力在直角坐标轴上的投影cosFFx41空间汇交力系空间汇交力系间接（二次）投影法sinxyFFsincosxFFsinsinyFFcoszFF2、空间汇交力系的合力与平衡条件RxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFF合矢量（力）投影定理RiFF空间汇交力系的合力 合力的大小222()()()RxyzFFFF（41）空间汇交力系平衡的充分必要条件是：称为空间汇交力系的平衡方程.0 xF 0yF 0zF (4-2)0RF 该力系的合力等于零，即 由式（41）cos(, )xRRFF iF 方向余弦cos(, )yRRFFjFc

2、os(, )zRRFF kF 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.1、 力对点的矩以矢量表示 力矩矢42 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩( )OM Fr F （43）(3)作用面：力矩作用面.(2)方向:转动方向(1）大小:力F与力臂的乘积三要素：力对点O的矩 在三个坐标轴上的投影为( )OMF( )ozyxMFyFzF ( )oxzyMFzFxF ( )oyzzMFxFyF （45）xyzFF iF jF krxiyjzk又xxxijkxyzFFF()()()xyxzy

3、xyFzF izFxF jxFyF k（44）( )()() ()OxyzMFrFxiyjzkFiF jFk则2.力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.( )()zoxyxyM FM FF h（46）( )()()()xxxxyxzMFMFMFMF=0yF zyFxzyF yF z = （4-7）( )()()()yyxyyyzMFMFMFMF 3 3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知：力 ,力 在三根轴上的分力 ， ， ，力 作用点的坐 标 x, y, zFxFyFzFFFF求：力 对 x, y, z轴的矩x

4、F z = =+0+0zF x - -= = （4-8）xzF z Fx ( )()()()zzxzyzzMFMFMFMF= -= -yF xxF y+ 0+ 0yxF x F y = = （4-9）( )( )ozyxxMFyFzFMF ( )( )oxyyMFzFxFMF ( )( )oyzzzMFxFyFMF 比较（4-5）、（4-7）、（4-8）、（4-9）式可得即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩.43 空间力偶空间力偶1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示, ,力偶矩矢力偶矩矢1212FFFF空间力偶的三要素（1） 大小：力与力偶臂的乘积；（3） 作用面：力

5、偶作用面。 （2） 方向：转动方向；BAMrF力偶矩矢 （410）( ,)()()oooABMF FMFMFrFrF ( ,)()oABMF FrrFM 2 2、力偶的性质、力偶的性质BAMrF力偶矩FF因 （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.(,)RRBARM FFrF 12()BArFF12BABArFrF111(,)BArFM F F=111),(FrFFMBA (4)只要保持力偶矩不变，力偶可

6、从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.211FFF332FFF=(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡.定位矢量力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量3 3力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件111222,.,nnnMrF MrFMrF=iMM有M为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.RiFF如同右图222()()()xixiyizMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦,xixyiyzizMMMMMM称为空间力偶系的平衡方程.000 xyzMMM简写为 （411）0M 空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于

7、零，即 MMixcosMMiycosMMizcos有0ixM0iyM0izM44 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主矢和主矩主矩1 1 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化其中，各 ，各iiFF( )ioiMM F一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.RiixiyixFFF iF jF k 称为空间力偶系的主矩()oioiMMMF( )( )( )oxyzMMF iMF jMF k称为力系的主矢空间力偶系的合力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有对 ， ， ,轴的矩。xyz( ),( ),( )xyzMFMFMF式中，各分别表示各力空间汇交力系的合力

8、有效推进力有效推进力RxF飞机向前飞行飞机向前飞行RyF有效升力有效升力飞机上升飞机上升RzF侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移OxM滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转OyM偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OzM俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头1） 合力ORMdF最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为2 2 空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）ORMdF0,0,ROROFMFM当 时，0,0ROFM 当 最后结果为一个合力.合力作用点过简化中心合力作用点过简化中心.()( )OROROMdFMFMF合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩

9、的矢量和.合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.（2）合力偶当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。0,0ROFM （3）力螺旋当 时0,0,RORFMFOM力螺旋中心轴过简化中心当 成角 且 既不平行也不垂直时0,0,ROROFMF M,ROF M力螺旋中心轴距简化中心为sinORMdF（4）平衡当 时，空间力系为平衡力系0,0ROFM 45 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零.1.空间任意力系的平衡方程000 xyzFFF000 xyzMMM（412）空间平行力系的平衡方程000zxyFMM（413）2.2.

10、空间约束类型举例空间约束类型举例3.3.空间力系平衡问题举例空间力系平衡问题举例 空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.46 重重 心心1 1 计算重心坐标的公式计算重心坐标的公式对y轴用合力矩定理1122.CnniiP xP xP xP xP x有iiCPxxP对x轴用合力矩定理1122.CnniiP yP yPyPyP z 有iiCPyyP再对x轴用合力矩定理1122.CnniiP zP zP zP zP z iiCPzzP则计算重心坐标的公式为iiCPzzPiiCPxxPiiCPyyP（41441

11、4）对均质物体，均质板状物体，有iiCVxxPiiCV yyPi iCVzzPiiCAxxAiiCAyyAi iCAzzA称为重心或形心公式2 确定重心的悬挂法与称重法（1） 悬挂法图a中左右两部分的重量是否一定相等？（2） 称重法1CP xF l1CFxlP则有2CFxlP22211CFFzrlHPH 整理后，得若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）轮的距离？例4-1已知：已知：nF、求：力 在三个坐标轴上的投影.nFsinnzFFcosnxyFFsincossinnxyxFFFcoscoscosnxyyFFF空间任意力系例题空间任意力系例题，例4-2已知：物重P=10kN，CE=EB=

12、DE；030求：杆受力及绳拉力解：画受力图如图，列平衡方程0 xF045sin45sin21FF0yF030cos45cos30cos45cos30sin21FFFA0zF030cos30sin45cos30sin45cos21PFFFA结果：kN54. 321 FFkN66. 8AF例例4-34-3已知：,alF求：,xyzMFMFMFco sxMFFla co syMFF l sinzMFFl 解：把力 分解如图F例4-4, ,x y z,xyzMMM求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影 .已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80Nm.解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到

13、点A .mN1 .19345cos45cos543MMMMMixxmN802MMMiyymN1 .19345cos45cos541MMMMMizz列力偶平衡方程求:轴承A,B处的约束力. .例4-5圆盘面O1垂直于z轴，已知：F1=3N， F2=5N， 构件自重不计.两盘面上作用有力偶，圆盘面O2垂直于x轴，AB =800mm,两圆盘半径均为200mm，解：取整体，受力图如图b所示.解得由力偶系平衡方程0 xM08004002mmmmAzFF0yM08004001mmmmAxFFN5 . 1BxAxFFN5 . 2BzAzFF例4-6已知： P=8kN,101kNP各尺寸如图求：A、B、C 处

14、约束力解：研究对象：小车受力：受力：1,ABDP P FFF 列平衡方程0zF01DBAFFFPP 0FMx022 . 12 . 01DFPP 0FMy06 . 02 . 16 . 08 . 01DBFFPP结果：kNkNkN423. 4,777. 7,8 . 5ABDFFF例4-7已知：,2000NF,212FF ,60,30各尺寸如图求：21,FF及A、B处约束力解：研究对象， 曲轴受力：12,AxAzBxBzF F F FFFF 列平衡方程 0zF060sin30sin21BxAxFFFF 0yF00 0zF060cos30cos21BzAzFFFFF 0FMx040020020060c

15、os20030cos21BxFFFF 0FMy0212FFDRF 0FMz040020060sin20030sin21BxFFF结果：,6000,300021NNFF,9397,1004NNAzAxFF,1799,3348NNBzBxFF例4-8已知：,25. 4NxF,8 . 6 NyF,17NzF,36. 0FFr,50mmRmm30r各尺寸如图求：（2）A、B处约束力（3）O 处约束力,rF F(1) 0 xF0 xAxBxFFFF 0yF0yByFF 0zF0zAzBzFFFF 0FMx03887676488zBzFFF 0FMy0rFRFz 0FMz0388307648876xyBx

16、FFFF解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图又：,36. 0FFr结果：,2 .10 kNF,67. 3kNF,64.15kNAxF,87.31kNAzF,19. 1kNBxF,8 . 6 kNByF,2 .11 kNBzF研究对象2：工件受力图如图列平衡方程 0 xF0 xOxFF 0yF0yOyFF 0zF0zOzFF 0FMx0100 xZMF 0FMy030yZMF 0FMz030100zyxMFF结果：kNkNkN17,8 . 6,25. 4OzOyOxFFFmkNmkNmkN22. 0,51. 0,7 . 1zyxMMM例4-9已知： F、P及各尺寸求： 杆内力解：研究对象，长方

17、板受力图如图列平衡方程 0ABMF 026PaaF26PF 0AEMF 05F 0ACMF 04F 0EFMF 022216baabFPaaF01F 0FGMF 022bFPbFbPF5 . 12 0BCMF 045cos232bFPbbFPF223例4-10求：三根杆所受力.已知：P=1000N ,各杆重不计.解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。0 xF 由045sin45sinOCOBFF0yF 045cos45cos45cosOAOCOBFFF0zF 045sinPFOA解得 （压）N1414OAF（拉）N707OCOBFF例4-11求：正方体平衡时，力 的关系和两根杆受

18、力.12,F F1122(,),(,),FFFFCD2A E 不计正方体和直杆自重.已知：正方体上作用两个力偶解：两杆为二力杆，取正方体，画受力图建坐标系如图b以矢量表示力偶，如图c解得12MM设正方体边长为a ,有1122MF aMFa有12FF322AMFa解得2212ABFFFF22,ABF F杆 受拉， 受压。12AA12BB0 xM 045cos31MM0yM 045sin32MM例4-12求：其重心坐标已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.则用虚线分割如图， 为三个小矩形，其面积与坐标分别为解:厚度方向重心坐标已确定， 只求重心的x,y坐标即可.mm151xmm451y21300mmAmm52xm