第二章平差的基准与点位误差

1、2, 平差的基准与点位误差平差的基准与点位误差2.1 基准与基准方程基准与基准方程 2.2 14维空间的基准维空间的基准 2.3 独立网的求解与平差基准的转换独立网的求解与平差基准的转换 2.4 附合网平差的求解平差基准的转换附合网平差的求解平差基准的转换 2.5 点位精度与误差椭圆（球）点位精度与误差椭圆（球） 2.6 相对点位精度与相对误差椭圆相对点位精度与相对误差椭圆 补充：秩亏自由网平差补充：秩亏自由网平差 在控制网中无起算数据或起算数据不可靠时，常采用在控制网中无起算数据或起算数据不可靠时，常采用秩亏平差法。秩亏平差法。用途：用途：1、形变监测网平差、形变监测网平差 2、大地网平差前

2、的质量分析（内精度）、大地网平差前的质量分析（内精度）特点：特点：视网中所有点均为待定点，即视网中所有点均为待定点，即 参数个数网中所有点数（水准网）参数个数网中所有点数（水准网） 或：网中所有点数或：网中所有点数2（平面网）（平面网） 0,0min0min1111BGdGRankxGlxBVxxxGxxtudNutNRankPBBRankBtntBRunlxBVTuduTudTTTuuTunnuunn其中要求：即：加入秩亏平差基准条件在秩亏网误差方程中，秩亏网附加阵法平差范数条件：无唯一解，需增加最小要起算个数）。法方程（必亏数起算数据引起，所以秩秩亏。且秩亏是由于无即有：阵秩亏，法方程系数

3、阵因必要观测数其中）参数个数（网中所有点观测值个数，误差方程：GGGTGxxTGTTTTTTTTTTTTTNQQPBQBQQPlBQPlBGGNxkGkGxGPlBGkxPBBGkPVBGkPBVxxGkPVV 1023102)3(0)2(00022) 1 (2参数精度：，得：）式，考虑并加入（）式左乘加约束无关。再将（则与附）式，可知最小二乘原，代入（，得）式左乘（法方程：法解。可用带约束的间接平差 因联系数向量因联系数向量k=0，可知不同的基准不会影响最小二乘原，可知不同的基准不会影响最小二乘原则，即不同的基准得到的改正数则，即不同的基准得到的改正数V不变，但不同基准下参数解不变，但不同基

4、准下参数解X和参数精度和参数精度QX是不同的。是不同的。列。阵共有点，网中有测角网测边、边角网水准网特征向量）阵的零特征值所对应的阵阵的形式：（mGmyxyxyxxyxyxyRmGxyxyxyRmGuGNGGTmmmmmTmmmTT211010100101011110101001010111111000202010100020201012240002020101223 miiiyxR120202式中：uiuiuiiiiuiuiiiiiimiimiiiuiiTXuxuXuxXuXuyxyxxxxG11100110111111110, 0;00对于水准网：为纵、横坐标增量）、（对平面网，有：为高程

5、增量）（的条件，对水准网，有由于要满足得：得：重心基准重心基准平差前后网中重心点高程（或坐标）保持不平差前后网中重心点高程（或坐标）保持不变。变。 秩亏平差基准秩亏平差基准=重心基准重心基准有关基准的问题有关基准的问题 在引入基准数据以前，秩亏正是测量控制网客观存在的普遍性质。而经典平差之所以不存在秩亏，是因为在平差前已经引入了基准数据消除了秩亏。基准的三种定义方法：基准的三种定义方法：1、平差前后保持不变的一种参考系。2、平差计算所需要的充分、必要的起算数据。3、将所计算的网型纳入正确坐标框架的系统。已知数据已知数据基准数据基准数据已知数据-可以有误差基准数据-不允许有误差 基准方程基准方程

6、 ： 当无基准数据时当无基准数据时, Rank(B) = t u， 给定给定 d = u - t 个基准数据个基准数据, 可以列出的可以列出的 d个关系式个关系式, 称为称为 基准方程。基准方程。取不同的基准数据（基准方程）参与平差，会得到不取不同的基准数据（基准方程）参与平差，会得到不同基准的平差结果，如经典平差、秩亏平差、拟稳平同基准的平差结果，如经典平差、秩亏平差、拟稳平差等差等 具有具有固定基准固定基准的经典平差（间接平差）的函数模型可写为的经典平差（间接平差）的函数模型可写为2.1, 平差的基准与基准方程平差的基准与基准方程0kTkWXGtudGRankWXGutBRankLXBVk

7、kTk)(0)(1) 一维（高程）空间一维（高程）空间 d=2n 观测值观测值 高差高差hij，待定，待定 参数参数Hi（Xi）n 高程位置基准（高程基准高程位置基准（高程基准X0）尺度基准）尺度基准0n 2) 二维（时间，高程）空间二维（时间，高程）空间d=4n 观测值观测值(tij , hij) n 待定参数待定参数(ti, Xi, Xi)n位置基准位置基准 t0, X0 , 尺度基准尺度基准0，速率基准速率基准X0 。度比为中第一点坐标已知；尺基准方程告知信息：网程为：若按经典平差，基准方误差方程：11010 xlhxxvijijijij2.2, 14维空间的基准维空间的基准3) 一般二

8、维（一般二维（X,Y）空间静态二维）空间静态二维 d=4n 观测值方向观测值方向距离距离 sn 待定参数待定参数 Xi , Yin 位置基准位置基准X0,Y0 尺度基准尺度基准0 方位基准方位基准045040504054523203022030245544554452323232311arctan0)()(0)(sin)(cos00)()(XXYYwSYYXXwwyybxxawyyxxyxlyybxxazvssijijijijijiij其中：基准方程：例：误差方程 4) 三维（时间，三维（时间，X，Y）空间动态二维）空间动态二维 d=7n观测值观测值(tij,ij),(tij,sij)n待定参

9、数待定参数(ti,Xi,Yi,Xi,Yi)n位置基准位置基准 t0,X0,Y0尺度基准尺度基准0n速率基准速率基准 X0,Y0 方位基准方位基准0 5 ) 一般三维空间（一般三维空间（X,Y,Z）静态三维）静态三维 d=7n观测值观测值 dX,dY,dZSij (空间距离空间距离)n待定参数待定参数Xi，Yi，Zin位置基准位置基准X0，Y0，Z0尺度基准尺度基准0n方位基准方位基准X, Y, Z 6 ) 四维（时间，四维（时间，X，Y，Z）动态三维）动态三维 d=11n观测值观测值 (tij,dX,dY,dZ) (tij,Sij)n待定参数待定参数(ti,Xi,Yi,Zi, Xi, Yi,

10、Zi)n位置基准位置基准t0,X0,Y0,Z0尺度基准尺度基准0n方位基准方位基准X ,Y ,Z 速率基准速率基准Xi,Yi,Zi 基准的类型和个数（基准的类型和个数（静态）静态）n维空间维空间 7223314222122,1211231303321221202321110121231201CCCddddCCCddddCCdddnnnCdnCdCdIIIIIInnn三维网基准个数：平面网基准个数：水准网基准个数：）：方位基准（旋转自由度）：位置基准（平移自由度尺度基准： 一维 二维 三维 四维尺度 1 1 1 1位置 1 2 3 4方位 0 1 3 6总基准数 2 4 7 112.3, 独立网

11、的求解与平差基准的转换独立网的求解与平差基准的转换1）具有基准数据具有基准数据(r = d) 情况下情况下(独立网独立网)的求解的求解基准方程系数阵的秩基准方程误差方程网中所有点：参数个数：必要观测数；：必要起算数据个数；：起算数据个数；时当 tudGRankWXGLXBVutdrtBRanktudrkkTkk)(0,)(, TkTTkkTkTkTkkkkkkTkkkkkTkkkkkXkTkTGGGGGGQGGGGGGGGNQGQQGGQQQGGNQNQQQXWQWNXWXNKPLBKGXNGdGRankNGBGG11111)()()()()()(:0 ,00)( )(, 00 ,的协因数阵为

12、得所以由满足阵设存在2）独立网平差基准的转换）独立网平差基准的转换设独立网平差基准为设独立网平差基准为Gk时时n又设基准为又设基准为Gj时时tudGRankWXGtBRankLXBVkkTkk)(0)(TkTTkkXkkkkkkkkTkTkkTkkkGGGGGGQQXWQWNXWGPLBWGGPBBNWXNk111)()(:),(0的协因数阵为得tudGRankWXGtBRankLXBVjjTjj)(0)(TjTTjjjXjjjjjjjjTjTjjTjjjGGGGGGQQXWQWNXWGPLBWGGPBBNWXN111)()(:),(0的协因数阵为得 基准基准Gk与基准与基准Gj的转换的转换

13、d ) 的求解的求解n设附合网平差基准为设附合网平差基准为G时时, 有起算数据有起算数据 r (=d+ r d )个个,n则有则有d个基准方程和个基准方程和r个非基准条件方程个非基准条件方程: rGRankWXGdGRankWXGtBRankDQPLXBVTT)(,0)(,0)(,2221111212.4, 附合网平差的求解平差基准的转换附合网平差的求解平差基准的转换TTXTXXTXTXXXTXTXTXTXTTTTTTTXTTTTTTTGGQGGQIQGGQGGQIQWGQGGQXGGQGGQIXXKKWXGGQGKWGGGGWGQGKKGKGQXXGGGGGGQQWGPLBGGNWNWQXW

14、WWKKXGGGGNWWPLBKKXGGGGN)()()()()()()()( (2)()()()(21)2(00000) 1 (0000021212211212122121212211212122121212121222211221112211111111111111111111121121211121212121附合网参数解：，得代入、将得将法方程分块求逆，解的第一式，可得：由法方程式，得、单独求解误差方程法方程为2） 附合网平差基准的转换附合网平差基准的转换设有在已知基准设有在已知基准Gk下的解为下的解为TkTTkkXkkkkkGGGGGGQQWQWNX111)()(:,的步骤是转换为则

15、由XXkQXQXXXTTTkXTTXTkTTXkXkQXQXGGGGIQGGGGIQWGGGXGGGGIXQXQX111111111111111111 , ,) 2)()()()( , ,) 1由由TTXTXXTXTXXXTXTXTXGGQGGQIQGGQGGQIQWGQGGQXGGQGGQIX)()()()(212122112121221212122112121221在在基准下附合网的参数解及参数精度：基准下附合网的参数解及参数精度：2.5, 点位精度与误差椭圆（球）点位精度与误差椭圆（球）1） 点位精度的定义点位精度的定义n 设有平面控制网设有平面控制网, 在给定基准在给定基准 G Gk

16、k下下, 任意点任意点 i 的坐标的坐标(xi, yi)协方差为协方差为 n则任意点则任意点 i在给定基准在给定基准 Gk下的点位方差为下的点位方差为 而称而称i为点位中误差为点位中误差.n对于三维控制网对于三维控制网, 若在给定基准若在给定基准 Gk下下, 已知任意点已知任意点 i 的坐标的坐标(xi, yi, zi)协方差阵协方差阵,则任意点则任意点 i 在给定基准在给定基准 Gk下下的点位方差为的点位方差为 iiiiiiiiiiiiiiyyyxyxxxiiiiiiyyxyxxIQQQQyDyxDyxDxDD,2022)(),(),()(),()()(20222iiiiiiyyxxiiyx

17、iQQyDxDiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiizzyzxzzyyyxyzxyxxxiiiiiiiiiiiiiiizzyzxzyyyxzxyxxIQQQQQQQQQzDyzDxzDzyDyDxyDzxDyxDxDD,20222)(),(),(),()(),(),(),()(),()()()(202222iiiiiiiiizzyyxxiiizyxiQQQzDyDxD2） 任意点任意点 i 在某一方向在某一方向 u(投影投影)的方差与极值方向的方差与极值方向 求求Qui的极值方向（的极值方向（CI简写为简写为C）:ICCCQCCDCDuizyxXCuyxXCuITI

18、IXXTIIXXTIuiiiiITIiiiITIi, )(,coscoscos)(,coscos2方向上的方差为：点在则三维二维0:, ,0)(022)( IQQCIQCCQCICCCQCXXXXXXXXITIIXXTI特征方程是特征值的是所以令由此可知，i是带有极值性质的权倒数、C是与i对应的极值方向。3） 平面控制点的极值方向与误差椭圆平面控制点的极值方向与误差椭圆可解得可解得误差椭圆的长、短半轴为误差椭圆的长、短半轴为0)()(0)(0:222iiiiiiiiiiiiiiiiiyxyxyxyxyxyyxyxxxQQQQQQQQQQQQ特征方程为CCCQCQQQQQQTXXTUyxyxyx

19、iiiiii22214)()( iiiiiiiiiiiiiiiiyxyxyxyxyxFFyxyxyxEEQQQtgQQQQQQFQQQQQQE224)()(4)()(22212222114）三维三维控制点的极值方向与误差椭球控制点的极值方向与误差椭球 特征方程为特征方程为capcbapaapcbaQQQQQQQQQoozzyzxzzyyyxyzxyxxxiiiiiiiiiiiiiiiiii3213321232112331)240cos(31211131)120cos(31231cos312 :00而由卡尔丹公式解得其中其中三维控制点三维控制点 i 的误差椭球三个极值方向的方差及其方向余弦为的误

20、差椭球三个极值方向的方差及其方向余弦为332222222)3/(23cos,27231,312, )(pqaabcqabpQQQQQQQQQQQQcQQQQQQQQQbQQQaiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiizxzyyxzzyyxxzyzzzxyyzyxxzxzyyxxxzzzzyyyyxxzzyyxx。、向的方向余弦代入，可求得该极值方方向的将第jjjjyxjyyjxxjjjjjzxyxjxxzyjzyyxjyyzxjjjjjjjjjjjQQQTTNMWQQQQNQQQQMjWTWNWMDDDiiiiiiiiiiiiiiiiii

21、iiii2222323222121)()()()3 , 2 , 1(,cos,cos,cos,1） 基于两点坐标差的相对点位精度与相对误差椭圆基于两点坐标差的相对点位精度与相对误差椭圆 两点的坐标差及其协因数为1001100110100101)(iiiiiiiikikikikiikikikikkkkkkkkkyyxyyxxxyyxyyxxxyyxyyxxxyyxyyxxxyyxyyxxxikikikikQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQYYYXXX二维2.6 相对点位精度与相对误差椭圆相对点位精度与相对误差椭圆iiiiiiiiiiiiiiiiiiyxyxyxyxyxyxyxyxyxQQ

22、QtgQQQQQFQQQQQEFEQQ224)()(,4)()()(22212222112222主轴方向：，相对误差椭的短半轴：相对误差椭的长半轴：相对点位精度为：相对点位精度仍然是以控制网中已知点为基准的。2） 广义相对点位误差广义相对点位误差 在一组平差后的控制网数据中，再指定另一组新的基准，在一组平差后的控制网数据中，再指定另一组新的基准，该基准可能改变了原基准的位置、方位或长度等基准元素，该基准可能改变了原基准的位置、方位或长度等基准元素，在新基准下产生的误差椭圆称为广义误差椭圆。在新基准下产生的误差椭圆称为广义误差椭圆。TTjTjkXTjTjjXjkGGGGIQGGGGIQXXJ)()(:11的协因数阵为转换得到的，由相对于基准tudGRankWXGKtBRankLXBVkkTkk)(0:)(基准TkTTkkXkGGGGGGQQX11)()(:的协因数阵为tudGRankWXGJjjTj)(0:基准在原基准平差后得到控制网最佳网形，若新基准取网中其它点作为基准点，在原基准平差后得到控制网最佳网形，若新基准取网中其它点作为基准点，基准值取原基准平差后得到的坐标值，则新基准