版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、二1 求A的LU分解,并利用分解结果求解 由紧凑格式故 从而 故2 求证:非奇异矩阵不一定有LU分解证明 设非奇异,要说明A不一定能做LU分解,只需举出一个反例即可。现考虑矩阵,显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解,则故,而,显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解,故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解,只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。3 用追赶法求解如下的三对角方程组解 设有分解由公式其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素,故有从而有故 ,故 ,4 设A是任一阶对称正定矩阵,证明是一种向量范数证明 (1)因A正定对称,故当时,而当时,(2)对任
2、何实数,有(3)因A正定,故有分解,则故对任意向量和,总有综上可知,是一种向量范数。5 设,已知方程组的精确解为(1)计算条件数;(2)若近似解,计算剩余;(3)利用事后误差估计式计算不等式右端,并与不等式左边比较,此结果说明了什么?解 (1)(2)(3)由事后误差估计式,右端为而左端 这表明当A为病态矩阵时,尽管剩余很小,误差估计仍然较大。因此,当A病态时,用大小作为检验解的准确度是不可靠的。6 矩阵第一行乘以一数成为,证明当时,有最小值证明 设,则又 故 从而当时,即时,有最小值,且7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛,比较哪一种方法收敛较快,其中 解 对雅可比方
3、法,迭代矩阵 ,故雅可比法收敛。对高斯-赛德尔法,迭代矩阵,故高斯-赛德尔法收敛。因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。8 设,求解方程组,求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。解 雅可比法的迭代矩阵 ,故雅可比法收敛的充要条件是。高斯-赛德尔法的迭代矩阵,故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。9 设求解方程组的雅可比迭代格式为,其中,求证:若,则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明 由于是雅可比法的迭代矩阵,故 又,故,即,故故系数矩阵A按行严格对角占优,从而高斯-赛德尔法收敛。10 设A为对称正定矩阵,考虑迭代格式求证:(1)对任意初始向量, 收敛; (2)收敛到的解。证明 (1)所给格
4、式可化为这里存在是因为,由A对称正定,故也对称正定。设迭代矩阵的特征值为,为相应的特征向量,则与做内积,有因正定,故,从而,格式收敛。(2) 设收敛到,则即,即收敛到的解。三1 设且求证:证明 以和为插值节点建立的不超过一次的插值多项式应用插值余项公式有 2 求一个次数不高于4次的多项式,使它满足解法一(待定参数法) 满足的Hermite插值多项式为设,令得于是解法二(带重节点的Newton插值法) 建立如下差商表这样可以写出Newton插值公式 3 设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处与的值,并估计误差解 步长,在区间上的线性插值函数 分段线性插值函数定义如下, 各区
5、间中点的函数值及插值函数值如表所示估计误差:在区间上 而令得的驻点,于是故有结论, 右端与无关,于是有, 四1 确定参数和,使得积分取得最小值,并计算该最小值解 本题实质上是求,关于权函数的二次最佳平方逼近多项式选切比雪夫多项式为基函数进行计算:于是得的二次最佳平方逼近多项式 进而有参数最小值就是平方误差: 2 对彗星1968Tentax的移动在某个极坐标系下有如表所示的观察数据 &
6、#160; 假设忽略来自行星的干扰,坐标应满足其中为参数,为离心率,试用最小二乘法拟合和,并给出平方误差解 由于关于参数和是非线性的,变形为,这样有下表的数据记,得拟合模型求解法方程组得 进而有,拟合方程为平方误差为3 求函数在指定区间上关于的最佳平方逼近多项式解 对做线性变换,即利用勒让德正交多项式为基建立的一次最佳平方逼近多项式的最佳平方逼近为五1 确定中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度。解 令,代入公式两端并令其相等,得解得 令,得令,得故求积公式具有3次代数精确度。2 计算积分,若复化梯形公式,问区间应分多
7、少等份才能使截断误差不超过 ?若改用复化辛普森公式,要达到同样精确度,区间应分多少等份?解 由于,故对复化梯形公式,要求即 。取,即将区间分为213等份时,用复化梯形公式计算,截断误差不超过。用复化辛普森公式,要求即。取,即将区间等分为8等份时,复化辛普森公式可达精度。3 确定求积公式中的系数,使代数精确度尽量高,并给出的表达式。公式中。解 这是一个带权的且带导数值的求积公式。为了积分方便,设该求积公式对准确成立,得化简得解得又因为故求积公式具有3次代数精确度。下面估计求积公式的余项。设在上三次插值多项式为,即满足。因前述求积公式具有3次代数精确度,故它对于是准确成立的,且因此有注意到在上不变
8、号,故余项4 已知。(1)推导以这3个点作为求积节点在上的插值型求积公式;(2)指明求积公式所具有的代数精确度;(3)用所求公式计算。解 (1)过这3个点的插值多项式故其中故所求的插值型求积公式为(2)上述求积公式是由二次插值函数积分而来,故至少具有2次代数精确度。再将代入上述求积公式,有故上述求积公式具有3次代数精确度。(3)由于该求积公式具有3次代数精确度,从而为的精确度。5设。求证:(1)(2)(提示:直接使用泰勒展开即可得证)七1 对于迭代函数,试讨论:(1) 当为何值时,产生的序列收敛于;(2) 取何值时收敛最快?(3) 分别取计算的不动点,要求解 (1),根据定理7.3,当,亦即时
9、迭代收敛。(2)由定理7.4知,当,即时迭代至少是二阶收敛的,收敛最快。(3)分别取,并取,迭代计算结果如表7-4所示。01612131.21.481.4133695861.4142093031.414215327012341.21.3979898991.4141205051.4142135591.414213562此时都达到。事实上,2(牛顿迭代法收敛性定理)设在上具有二阶连续导数,且满足条件(1);(2)在上;(3)满足。则由牛顿迭代法产生的序列单调收敛于在内的唯一实根,并且是平方收敛的。证明 因在上连续,由条件(1)知,方程在内有根。又由条件(2)知在上恒正或恒负,所以在上严格单调,因而是在内的唯一实根。条件(1)(2)共有四种情形:(1)(2)(3)(4)仅就(1)进行定理证明,其余三种情况证明方法类似。由,可知,再由知单增且。又由牛顿迭代法知由台劳展开的其中介于,之间。利用得由以及前面证明的有一般地,设,则必有且再由台劳及,得根据归纳法原理数列单调下降有下界,因此有极限。设,对迭代式两端取的极限,并利用,的连续性知即。由上述证明知,有关系式,即对于单根,牛顿迭代法是平方收敛的。3 给定函数
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 年产聚乙烯板、聚丙烯板3500吨项目环评报告表
- 2024年金属粉末:铜粉系列项目合作计划书
- 2024年医疗健康电子产品合作协议书
- 2024年汽油发动机电控装置项目建议书
- 关键区位写字楼租赁合同
- 小学跨学科教学评价的目标与功能
- 广告宣传片拍摄协议(2024年版)
- 地产开发融资顾问协议
- 签约流程考试
- 房地产开发合作合同(2024版)
- GB/T 18916.64-2022取水定额第64部分:建筑卫生陶瓷
- 教师成绩进步发言稿3篇
- ISO27001:2022信息安全管理手册+全套程序文件+表单
- 八年级历史上册材料题集锦(含答案)
- 国开电大2022年《小学数学教学研究》形考任务1-4答
- GB/T 30790.5-2014色漆和清漆防护涂料体系对钢结构的防腐蚀保护第5部分:防护涂料体系
- 白蛋白临床不合理应用及其使用指征
- 中小学教师资格考试成绩复核申请表
- 五年级上册英语课件M6U1 You can play football well
- 心肌疾病-第九版内科学课件
- 工作人员应对火灾现场应急处置卡
评论
0/150
提交评论