概率论与数理统计教程答案(徐建豪版)

1、习题1.11、写出下列随机试验的样本空间.（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.（2）在单位园中任取一点记录其坐标.（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和.解：（1）（2）（3）2、同时掷两颗骰子，、分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，表示“点数之差为零”，表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件，.解：3、设某人向靶子射击3次，用表示“第次射击击中靶子”（），试用语言描述下列事件.（1） （2） （3）解：（1）第1，2次都没有中靶（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶（3）第二次中靶4设某人向一把子射击三次，用表示“

2、第次射击击中靶子”（=1，2，3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：（1）“至少有一次击中靶子”可表示为 ；（2）“恰有一次击中靶子”可表示为 ； （3）“至少有两次击中靶子”可表示为 ；（4）“三次全部击中靶子”可表示为 ；（5）“三次均未击中靶子”可表示为 ；（6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 .解：（1）; (2) ; (3); (4) ; (5) (6) 5.证明下列各题（1） （2）证明：（1）右边=且=左边（2）右边=习题1.21.设A、B、C三事件，, ，求A、B、C至少有一个发生的概率.解：=2.已知 ， ， ，求 （1） ， (2)， (3)， (4). 解：（1）（

3、2）3.设=0.2 =0.6 .互斥，求.解：互斥，故4.设A、B是两事件且=0.4,（1）在什么条件下取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下取到最小值，最小值是多少？解：由加法公式=（1）由于当时，达到最小， 即，则此时取到最大值，最大值为0.4（2）当达到最大， 即，则此时取到最小值，最小值为0.25.设求解：=习题1.31.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.解：设事件=3张中至少有2张花色相同则=3张中花色各不相同2.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部

4、件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.解法一 随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有种取法，而发生“某一个部件强度太弱”这一事件只有这一种取法，其概率为，而10个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为解法二 样本空间的样本点的总数为，而发生“一个部件强度太弱”这一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.解法一 设表示“取出的3个数之积能被10整除”，表示“取出的3个数中含有数字5”，表示“取出的3个

5、数中含有数字偶数”，解法二设，。则由于是有放回地取数，所以各次抽取结果相互独立，并且，因此4.袋内装有两个5分，三个2分，五个1分的硬币，任意取出5个，求总数超过1角的概率. 解 共10个钱币，任取5个，基本事件的总数，有利的情况，即5个钱币总数超过一角的情形可列举6种（1）5，5，2，2，2；（2）5,5,2,2,1;(3)5,5,2,1,1;(4)5,5,1,1,1;(5)5,2,2,2,1;(6)5,2,2,1,1.故包含的基本事件数为故所求概率为5.设有N件产品，其中M件次品，今从中任取件，（1）求其中恰有件次品的概率；（2）求其中至少有2件次品的概率.解：（1） （2）1-6设n个朋

6、友随机的围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边；（2）甲、乙、丙三人坐在一起；（3）如果n个人并列坐在一张长桌的一边，再求上述事件的概率.解（1）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为而事件为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件发生的样本点个数为于是（2）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为，而事件为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件发生的样本点个数为于是（3）n个人并列坐在一张长桌的一边，样本空间样本点总数为，而事件为甲

7、乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件发生的样本点个数为于是而事件为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件发生的样本点个数为于是7.在一分钟内，一个正常信号与一个干扰信号均随机地各出现一次，设正常信号出现后持续10秒钟，干扰信号出现后持续5秒钟，若这两个信号相遇，则系统就受干扰了，求系统受干扰的概率.解 样本空间的面积系统受干扰的面积（阴影部分面积）系统受干扰的概率0.23268.两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1h和2h，

8、求有一艘轮船停靠泊位时不需要等待一段时间的概率.X解 Y=0.8793习题1.41.一盒中有新旧两种乒乓球100只，其中新球中有40只白的和30只黄的，旧球中有20只白的和10只黄的.现从中任取一只，则：（1）取到一只新球的概率是 ；（2）取到一只黄球的概率是 ；（3）已知取到的是新球，该球是黄球的概率是 ；（4）取到一只新黄球的概率是 .解（1）0.7 （2）0.4 （3）3/7 （4）0.32.已知 求解3.已知，求.解4.掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）.解法一 设事件为“两颗骰子点数之和为7”，事件“一颗骰子点数为1”，所求概率为解法二 点数

9、为7的种数为3（6，1；5，2；3，4），其中一个点数为1的种数为1，则所求概率为1、5.已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率.（1）两只都是正品， （2）两只都是次品，（3）一只是正品，一只是次品， （4）第二次取出的是次品.解（1）（2）（3）（4）第一次取出的是正品而第二次取出的是次品的概率第一次取出的是次品而第二次取出的是次品的概率所以第二次取出的是次品的概率为6.由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15，刮风（用B表示）的概率为7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求、.解 7.12个乒乓球中有9个新

10、的，3个旧的，第一次比赛取出了3个，用完后放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解 设表示第一次比赛时用了个新球，表示第二次取到的3个球中有2个新球的概率.由全概率公式8.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取4只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？ 解 设表示箱中有件次品，表示顾客买下该箱玻璃杯（1）由全概率公式（2）由贝叶斯公式9.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其

11、中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解 设表示从第箱中取得的是一等品（取出的零件不放回），表示从第一箱中取零件，表示从第二箱中取零件（1）由全概率公式（2）由全概率公式因此有习题1.51.已知, , ,(1)若事件与互不相容，求；(2)若事件与相互独立，求.解（1）于是（2）即于是2.甲、乙两人射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，两人同时独立射击，求(1)两人都中

12、靶的概率； (2)甲中乙不中的概率； (3)乙中甲不中的概率.解 设表示甲击中，表示乙击中（1）（2）（3）3.甲、乙、丙三人独立的去破译一个密码，他们各自能破译该密码的概率分别为，求：（1）该密码能被他们破译的概率；（2）该密码被仅仅三人中的一人破译的概率.解 设分别表示甲、乙、丙独立的去破译出密码，（1）该密码能被他们破译的概率为（2）该密码被仅仅三人中的一人破译的概率为4.某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是0.7，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率.解 作出正确决策的概率为.5.某电子元件在每一次试验中

13、发生故障的概率为0.3，当故障发生不少于3次时，指示灯发出信号（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.解（1）进行了5次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为（2）进行了7次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为6.甲乙为交战双方，甲方一架飞机要飞过乙方的一个高炮阵地，假设该处每门炮能够击落该飞机的概率均为0.4，若要保证以不低于95%的概率击落该飞机，那么该阵地至少需要配置多少门这种高炮？解 设表示击落该飞机（即至少有一门炮击中飞机），且需要配置门这种高炮因此若要保证以不低于95%的概率击落该飞机，那么该阵地至少需要配置6门这种

14、高炮.7.某射手射靶5次，各次射中的概率都是0.6，求下列各事件的概率： （1）前3次中靶，后2次脱靶； （2）第一、三、五次中靶，第二、四次脱靶； （3）五次中恰有三次中靶； （4）五次中至少1次中靶.解 设表示第次中靶（1）（2）（3）（4）第一章复习题(A)1.填空题（1）设,则= , = , .答案; 1.(1)0.1 0.5 0.9 （2）设，是任意两个随机事件,则 答案0（3）设，相互独立，=0.6, ,则 答案：2.选择题（1）设，则下列结论正确的是 .A.事件A与事件B相互独立, B.事件A与事件B互逆,C., D.答案：A（2）设，是任意两个随机事件,且，则下列结论正确的是

15、.A., B.,C. , D. .答案：A（3）设A，B为两个互斥事件，且，则下列结论正确的是 .A. B.C. D.答案:C（4）设表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 .A.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”， B.“甲种产品滞销”，C.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”. D.“甲、乙都畅销”，答案：A3、设事件满足，试把下列事件表示为互不相容的事件的和： .答案：（1）（2） （3）4.设为两事件，且设 求.解：5.在某城市中发行三种报纸经调查，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有30%，同时订阅A及B报的有10%，同时订阅A及C报的有8%，同时订阅B及C报的

16、有5%，同时订阅报的有3%，试求下列事件的概率：（1）只订A报的； （2）只订A及B报的； （3）只订一种报纸的； （4）正好订两种报纸的； （5）至少订阅一种报纸的.解：（1）（2）（3）=+=(4) =+（5）=0.45+0.35+0.30-0.10-0.08-0.05+0.03=0.90（6）6.从5个数字1，2，3，4，5中等可能地，有放回地连续抽取3个数字，试求下列事件的概率：事件“三个数字完全不同”，事件“三个数字不含1和5”，事件“三个数字中5恰好出现两次”，事件“三个数字中5至少出现一次”.解：（1）（2）（3）= 0.096（4）0.512 7.将个球随机地放入（）个盒子中去

17、，设盒子的容量不限，试求（1）每个盒子至多有一只球的概率；（2）个盒子中各有一球的概率.解：（1）每个盒子至多有一只球共有种不同的方法，每一个 球都可以放入个盒子中的任意一个盒子，共有种不同的方法，故所求概率为（2）个盒子可以有种不同的选法，对于选定的个盒子，每个盒子各有一个球的放法有种。故所求概率为8.某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项同时都投资的概率为0.19，（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解：记A=把资金投入基金，B=购买股票，依题意有（1）所求概率为：（2）所求概率为：9.有甲、乙

18、两批种子，发芽率分别为0.8、0.7，在两批种子中任意选取一颗，试求：（1）这两颗种子都能发芽的概率.(2)至少有一颗发芽的概率.解：A=甲发芽，B=乙发芽（1）（2）10.某商场各柜台受到消费者投诉的事件数为0,1,2三种情形，其概率分别为0.6,0.3,0.1有关部门每月抽查商场的两个柜台，规定：如果两个柜台受到投诉的事件数之和超过1，则给商场通报批评；若一年中有三个月受到通报批评，则该商场受挂牌处分一年，求该商场受处分的概率.解：记A=商场某月受到通报批评=第一个柜台受次投诉的事件=第二个柜台受次投诉的事件则以X记一年中受到通报批评的次数，则11.第一个盒子中有5只红球，4只白球，第二个

19、盒子中有4只红球，5只白球，先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取一球，求取到白球的概率.解;设为“从第一个盒子中取到只白球”A为“从第二个盒子中取到白球”由全概率公式12.甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7，如果只有1人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击浇的概率.解：设分别表示甲、乙、丙击中飞机，表示有个人击中飞机由全概率公式13.有两批产品：第一批20件，有5件特级品；第二批12件，有两件特级品，今按下列两种方法抽样：（1

20、）将两种产品混在一起，从中任取2件；（2）从第一批中任取2件混入第二批中，再从混合后的第2批中任取2件；试分别求出两种抽样情况下所抽两件都是特级品的概率.解：设A为“取到的两件是第一批的产品”B为“取到的两件是第二的产品”AB为“取到的两件，一个是第一批的，一个是第二批的“C为“所抽两件都是特级品”（1）解法一解法二：（2）设为“从第一批中任取2件有件特级品”由全概率公式14.某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格，如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2，如果有两个部件

21、不是优质品，则仪器的不合格率为0.6，如果三个部件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9.（1）求仪器的不合格率；（2）如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大.解：设B为“仪器不合格”为“仪器上有个部件不是优质品”，（1）由全概率公式，有（2）由贝叶斯公式，有由此可知，一台不合格仪器中有一个部件不是优质品的概率最大.第一章复习题(B)1.填空题（1）设事件、相互独立,且 ，,则= .解：解方程得由题意故（2）设事件，相互独立,且和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相等，则= .解：根据题意设有注意到由有于是，由事件的独立性及得解方程得故（3）设事件、,且

22、,则= .解：2.选择题（1）设当事件与同时发生时也发生，则 .A., B.,C., D. .解：已知故选(D)解法二：已知，于是，选(D)（2）设，则下列结论正确的是 .A.,B.,C., D. .解：依题意设从而故选B（3）设事件、两两相互独立,则、相互独立的充要条件为 ,A.与独立. B.与独立. C.与独立. D.与独立.解：应该选择A，证明如下：必要性：设、相互独立的事件则有故事件A与BC独立，从而必要性成立。充分性：设、两两相互独立,且与独立.于是有由定义知、相互独立，从而充分性成立。3.设、独立，证明：.证明：因为， 而于是 4.从5双不同的鞋子中任取4只，求取得的4只鞋子中至少

23、有2只配成一双的概率.解法一 设A表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”表示“4只鞋子均不成双”样本点的总数为，的样本点为（因为第一只鞋子是从5双中选一只有10种选法，第二只鞋子是从4双中选一只有8种选法，第三只鞋子是从3双中选一只有6种选法，第四只鞋子是从2双中选一只有4种选法）解法二 样本点的总数为，的样本点为（因为从5双中任选4双，再从每双中任意取一只）5.4张卡片标着1到4，面朝下放在桌子上，一个自称有透视能力的人将用他超感觉的能力说出卡上的号码，如果他是冒充者而只是随机地猜一下，他至少猜中一个的概率是多少？解：A表示“至少猜中一个表示“4个全部猜错”6.一袋中装有只黑球1只白球，每次从

24、袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第次摸球时，摸到黑球的概率是多少？解：设A表示“第次摸球时，摸到黑球”表示第次摸球时，摸到白球”因为袋中只有一只白球，而每次摸到白球时换入一只黑球放入，故为了第k次摸到白球，则前次一定摸到的是黑球故于是所求概率为7.设分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求方程有实根的概率和有重根的概率.解：一枚骰子接连掷两次，样本点总数为36，方程组有实数根的充分必要条件为注意到B1 2 3 4 5 6使的样本点个数0 1 2 4 6 6使的样本点个数0 1 0 1 0 0由此可见，方程有实根的概率方程有重根的概率为8.随机地向半圆（为正常数）内扔一个

25、点，点落在半圆内任何区域内的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率.解：以D表示半圆，由题设，点应该落在如图的阴影部分G，G的面积为（在极坐标系中计算）（或G的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上个圆的面积）DGyx故9.设，证明：独立.证明：独立10.设第一只盒子中装有3只兰球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只兰球，3只绿球，4只白球，独立地分别在两只盒子中各取一只球.(1)求至少有一只兰球的概率；(2)球有一只兰球一只白球的概率；(3)已知至少有一只兰球，求有一只半求一只白球的概率.解：设=从第只盒子中取得一只白球=从第只盒子中取得一只蓝球由题设在不同盒子则

26、取球是相互独立的（1）所求的概率为（2）因为，则所求的概率为（3）所求的概率为11. 要验收一批100件的乐器,验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收，设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？解：设=随机地取3件乐器，其中有件是音色不纯的（）A=这批乐器被接收，故由全概率公式有12.设一枚深水炸弹击沉一艘水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不

27、中的概率为1/6，并设击伤两次会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.解：设A为“施放4枚深水炸弹，击沉潜水艇”B为“施放4枚深水炸弹，均未击中潜水艇”C为“施放4枚深水炸弹，恰有一枚击则潜水艇”，习题1.11、写出下列随机试验的样本空间.（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.（2）在单位园中任取一点记录其坐标.（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和.解：（1）（2）（3）2、同时掷两颗骰子，、分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，表示“点数之差为零”，表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件，.解：3、设某人

28、向靶子射击3次，用表示“第次射击击中靶子”（），试用语言描述下列事件.（1） （2） （3）解：（1）第1，2次都没有中靶（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶（3）第二次中靶4设某人向一把子射击三次，用表示“第次射击击中靶子”（=1，2，3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：（1）“至少有一次击中靶子”可表示为 ；（2）“恰有一次击中靶子”可表示为 ； （3）“至少有两次击中靶子”可表示为 ；（4）“三次全部击中靶子”可表示为 ；（5）“三次均未击中靶子”可表示为 ；（6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 .解：（1）; (2) ; (3); (4) ; (5) (6) 5.证明下列

29、各题（1） （2）证明：（1）右边=且=左边（2）右边=习题1.21.设A、B、C三事件，, ，求A、B、C至少有一个发生的概率.解：=2.已知 ， ， ，求 （1） ， (2)， (3)， (4). 解：（1）（2）3.设=0.2 =0.6 .互斥，求.解：互斥，故4.设A、B是两事件且=0.4,（1）在什么条件下取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下取到最小值，最小值是多少？解：由加法公式=（1）由于当时，达到最小， 即，则此时取到最大值，最大值为0.4（2）当达到最大， 即，则此时取到最小值，最小值为0.25.设求解：=习题1.31.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出

30、的3张牌中至少有2张花色相同的概率.解：设事件=3张中至少有2张花色相同则=3张中花色各不相同2.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.解法一 随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有种取法，而发生“某一个部件强度太弱”这一事件只有这一种取法，其概率为，而10个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为解法二 样本空间的样本点的总数为，而发生“一个部件强度太弱”这一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有种情况，故发生“一个部

31、件强度太弱”的概率为3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.解法一 设表示“取出的3个数之积能被10整除”，表示“取出的3个数中含有数字5”，表示“取出的3个数中含有数字偶数”，解法二设，。则由于是有放回地取数，所以各次抽取结果相互独立，并且，因此4.袋内装有两个5分，三个2分，五个1分的硬币，任意取出5个，求总数超过1角的概率. 解 共10个钱币，任取5个，基本事件的总数，有利的情况，即5个钱币总数超过一角的情形可列举6种（1）5，5，2，2，2；（2）5,5,2,2,1;(3)5,5,2,1,1;(4)5,5,1,1,1;(5)5,2

32、,2,2,1;(6)5,2,2,1,1.故包含的基本事件数为故所求概率为5.设有N件产品，其中M件次品，今从中任取件，（1）求其中恰有件次品的概率；（2）求其中至少有2件次品的概率.解：（1） （2）1-6设n个朋友随机的围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边；（2）甲、乙、丙三人坐在一起；（3）如果n个人并列坐在一张长桌的一边，再求上述事件的概率.解（1）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为而事件为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件发生的样本点个数为于是（2）n个朋友随机的围绕圆桌而

33、坐，样本空间样本点总数为，而事件为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件发生的样本点个数为于是（3）n个人并列坐在一张长桌的一边，样本空间样本点总数为，而事件为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件发生的样本点个数为于是而事件为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件发生的样本点个数为于是7.在一分钟内，一个正常信号与一个干扰信号均随机地各出现一次，设正常信号出现后持续10秒钟，干扰信号出现后持续5秒钟，若这两个信号相遇，则系统就受

34、干扰了，求系统受干扰的概率.解 样本空间的面积系统受干扰的面积（阴影部分面积）系统受干扰的概率0.23268.两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1h和2h，求有一艘轮船停靠泊位时不需要等待一段时间的概率.X解 Y=0.8793习题1.41.一盒中有新旧两种乒乓球100只，其中新球中有40只白的和30只黄的，旧球中有20只白的和10只黄的.现从中任取一只，则：（1）取到一只新球的概率是 ；（2）取到一只黄球的概率是 ；（3）已知取到的是新球，该球是黄球的概率是 ；（4）取到一只新黄球的概率是 .解（1）0.7 （2）0.4 （3）3/7

35、（4）0.32.已知 求解3.已知，求.解4.掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）.解法一 设事件为“两颗骰子点数之和为7”，事件“一颗骰子点数为1”，所求概率为解法二 点数为7的种数为3（6，1；5，2；3，4），其中一个点数为1的种数为1，则所求概率为1、5.已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率.（1）两只都是正品， （2）两只都是次品，（3）一只是正品，一只是次品， （4）第二次取出的是次品.解（1）（2）（3）（4）第一次取出的是正品而第二次取出的是次品的概率第一次取出的是次品而第二次取出的是次

36、品的概率所以第二次取出的是次品的概率为6.由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15，刮风（用B表示）的概率为7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求、.解 7.12个乒乓球中有9个新的，3个旧的，第一次比赛取出了3个，用完后放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解 设表示第一次比赛时用了个新球，表示第二次取到的3个球中有2个新球的概率.由全概率公式8.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取4只进行检查，若无次品，则购买，否则

37、退回，求（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？ 解 设表示箱中有件次品，表示顾客买下该箱玻璃杯（1）由全概率公式（2）由贝叶斯公式9.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解 设表示从第箱中取得的是一等品（取出的零件不放回），表示从第一箱中取零件，表示从第二箱中取零件（1）由全概率公式（2）由全概率公

38、式因此有习题1.51.已知, , ,(1)若事件与互不相容，求；(2)若事件与相互独立，求.解（1）于是（2）即于是2.甲、乙两人射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，两人同时独立射击，求(1)两人都中靶的概率； (2)甲中乙不中的概率； (3)乙中甲不中的概率.解 设表示甲击中，表示乙击中（1）（2）（3）3.甲、乙、丙三人独立的去破译一个密码，他们各自能破译该密码的概率分别为，求：（1）该密码能被他们破译的概率；（2）该密码被仅仅三人中的一人破译的概率.解 设分别表示甲、乙、丙独立的去破译出密码，（1）该密码能被他们破译的概率为（2）该密码被仅仅三人中的一人破译的概率为4.某机

39、构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是0.7，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率.解 作出正确决策的概率为.5.某电子元件在每一次试验中发生故障的概率为0.3，当故障发生不少于3次时，指示灯发出信号（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.解（1）进行了5次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为（2）进行了7次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为6.甲乙为交战双方，甲方一架飞机要飞过乙方的一个高炮阵地，假设该处每门炮能够击落该飞机的概率均为0.4，若要保

40、证以不低于95%的概率击落该飞机，那么该阵地至少需要配置多少门这种高炮？解 设表示击落该飞机（即至少有一门炮击中飞机），且需要配置门这种高炮因此若要保证以不低于95%的概率击落该飞机，那么该阵地至少需要配置6门这种高炮.7.某射手射靶5次，各次射中的概率都是0.6，求下列各事件的概率： （1）前3次中靶，后2次脱靶； （2）第一、三、五次中靶，第二、四次脱靶； （3）五次中恰有三次中靶； （4）五次中至少1次中靶.解 设表示第次中靶（1）（2）（3）（4）第一章复习题(A)1.填空题（1）设,则= , = , .答案; 1.(1)0.1 0.5 0.9 （2）设，是任意两个随机事件,则 答案0

41、（3）设，相互独立，=0.6, ,则 答案：2.选择题（1）设，则下列结论正确的是 .A.事件A与事件B相互独立, B.事件A与事件B互逆,C., D.答案：A（2）设，是任意两个随机事件,且，则下列结论正确的是 .A., B.,C. , D. .答案：A（3）设A，B为两个互斥事件，且，则下列结论正确的是 .A. B.C. D.答案:C（4）设表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 .A.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”， B.“甲种产品滞销”，C.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”. D.“甲、乙都畅销”，答案：A3、设事件满足，试把下列事件表示为互不相容的事件的和： .答案：（

42、1）（2） （3）4.设为两事件，且设 求.解：5.在某城市中发行三种报纸经调查，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有30%，同时订阅A及B报的有10%，同时订阅A及C报的有8%，同时订阅B及C报的有5%，同时订阅报的有3%，试求下列事件的概率：（1）只订A报的； （2）只订A及B报的； （3）只订一种报纸的； （4）正好订两种报纸的； （5）至少订阅一种报纸的.解：（1）（2）（3）=+=(4) =+（5）=0.45+0.35+0.30-0.10-0.08-0.05+0.03=0.90（6）6.从5个数字1，2，3，4，5中等可能地，有放回地连续抽取3个数字，试求下列事件的概

43、率：事件“三个数字完全不同”，事件“三个数字不含1和5”，事件“三个数字中5恰好出现两次”，事件“三个数字中5至少出现一次”.解：（1）（2）（3）= 0.096（4）0.512 7.将个球随机地放入（）个盒子中去，设盒子的容量不限，试求（1）每个盒子至多有一只球的概率；（2）个盒子中各有一球的概率.解：（1）每个盒子至多有一只球共有种不同的方法，每一个 球都可以放入个盒子中的任意一个盒子，共有种不同的方法，故所求概率为（2）个盒子可以有种不同的选法，对于选定的个盒子，每个盒子各有一个球的放法有种。故所求概率为8.某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项同时都

44、投资的概率为0.19，（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解：记A=把资金投入基金，B=购买股票，依题意有（1）所求概率为：（2）所求概率为：9.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8、0.7，在两批种子中任意选取一颗，试求：（1）这两颗种子都能发芽的概率.(2)至少有一颗发芽的概率.解：A=甲发芽，B=乙发芽（1）（2）10.某商场各柜台受到消费者投诉的事件数为0,1,2三种情形，其概率分别为0.6,0.3,0.1有关部门每月抽查商场的两个柜台，规定：如果两个柜台受到投诉的事件数之和超过1，则给商场通报批评；若一年中有三个月受到通报批

45、评，则该商场受挂牌处分一年，求该商场受处分的概率.解：记A=商场某月受到通报批评=第一个柜台受次投诉的事件=第二个柜台受次投诉的事件则以X记一年中受到通报批评的次数，则11.第一个盒子中有5只红球，4只白球，第二个盒子中有4只红球，5只白球，先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取一球，求取到白球的概率.解;设为“从第一个盒子中取到只白球”A为“从第二个盒子中取到白球”由全概率公式12.甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7，如果只有1人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人

46、都击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击浇的概率.解：设分别表示甲、乙、丙击中飞机，表示有个人击中飞机由全概率公式13.有两批产品：第一批20件，有5件特级品；第二批12件，有两件特级品，今按下列两种方法抽样：（1）将两种产品混在一起，从中任取2件；（2）从第一批中任取2件混入第二批中，再从混合后的第2批中任取2件；试分别求出两种抽样情况下所抽两件都是特级品的概率.解：设A为“取到的两件是第一批的产品”B为“取到的两件是第二的产品”AB为“取到的两件，一个是第一批的，一个是第二批的“C为“所抽两件都是特级品”（1）解法一解法二：（2）设为“从第一批中任取2件有件特级品”由全概率公式14.某种仪

47、器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格，如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2，如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6，如果三个部件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9.（1）求仪器的不合格率；（2）如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大.解：设B为“仪器不合格”为“仪器上有个部件不是优质品”，（1）由全概率公式，有（2）由贝叶斯公式，有由此可知，一台不合格仪器中有一个部件不是优质品的概率最大.第一章复习题(B)1.填空题（1）设事件、相互

48、独立,且 ，,则= .解：解方程得由题意故（2）设事件，相互独立,且和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相等，则= .解：根据题意设有注意到由有于是，由事件的独立性及得解方程得故（3）设事件、,且,则= .解：2.选择题（1）设当事件与同时发生时也发生，则 .A., B.,C., D. .解：已知故选(D)解法二：已知，于是，选(D)（2）设，则下列结论正确的是 .A.,B.,C., D. .解：依题意设从而故选B（3）设事件、两两相互独立,则、相互独立的充要条件为 ,A.与独立. B.与独立. C.与独立. D.与独立.解：应该选择A，证明如下：必要性：设、相互独立的事件则有故事件A与BC独立，从而必要性成立。充分性：设、两两相互独立,且与独立.于是有由定义知、相互独立，从而充分性成立。3.设、独立，证明：.证明：因为， 而于是 4.从5双不同的鞋子中任取4只，求取得的4只鞋子中至少有2只配成一双的概率.解法一 设A表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”表示“4只鞋子均不成双”样本点的总数为，的样本点为（因为第一只鞋子是从5双中选一只有10种选法，第二