人教版高中数学《排列组合》教案

1、排列与组合一、教学目标1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力二、教材分析1.重点：加法原理，乘法原理。 解决方法：利用简单的举例得到一般的结论2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同三、活动设计1.活动：思考，讨论，对比，练习2.教具：多媒体课件四、教学过程正1新课导入随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。 排列组合这一章

2、都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键2新课我们先看下面两个问题(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？板书：图因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法 一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有

3、mn种不同的方法那么完成这件事共有Nm1十m2十十mn种不同的方法(2) 我们再看下面的问题：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？板书：图 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法因此，从A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法 一般地，有如下原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法那么完成这件事共有Nm1 m2mn种不同的方法 例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不

4、同的语文书 1）从中任取一本，有多少种不同的取法？ 2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N6X530答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法练习： 一同学

5、有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币1）从中任取一枚，有多少种不同取法？ 2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？ 例2：(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ 解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=12

6、5 答：可以组成125个三位数 练习：1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2一名儿童做加法游戏在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3题2的变形4由09这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加

7、法，分步时用乘法 其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习 练习1（口答）一件工作可以用两种方法完成有 5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？3乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？4从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通从甲地到丙地共有多少种不同的走法？5一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些

8、小球的颜色互不相同 （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 作业：排列【复习基本原理】1.加法原理 做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法，第n办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法.2.乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，.那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法.3.两个原理的区别：【练习1】1.北京、上海、广州三个民

9、航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出.【基本概念】1. 什么叫排列？从n个不同元素中，任取m()个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.4. 什么叫一个排列？【例题与练习】1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？2.已知a、b、c、d四个元素，写出每次取出3个元素的所有排列；写出每次取出4个元素的所有排列.【排列数】1. 定义：从n个不同元素中，

10、任取m()个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示.用符号表示上述各题中的排列数.2. 排列数公式：=n(n-1)(n-2)(n-m+1) ； ； ； ； 计算：= ； = ；= ；【课后检测】1. 写出： 从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列； 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数. 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.2. 计算： 排 列课题：排列的简单应用(1)目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式，会用排列数公式计算和解决简单的实际问题 过程：一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）

11、1排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；2排列数的定义，排列数的计算公式 或 （其中mn m,nZ） 3全排列、阶乘的意义；规定 0!=1 4“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用二、新授：例1： 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：7个元素的全排列5040 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：76543217！5040 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列=720 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理：第一步 甲、

12、乙站在两端有种；第二步 余下的5名同学进行全排列有种 则共有=240种排列方法 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法 所以一共有2400种排列方法解法二：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有=2400种 小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑例2 ： 7位同学站成一排 甲

13、、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法所以这样的排法一共有1440甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 解：方法同上，一共有720种甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法所以这样的排法一共有9

14、60种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有960种方法小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）例3： 7位同学站成一排甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），

15、再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有种方法甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ 解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有1440种小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑） 三、小结：1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： 某些元素不能在或必须排列在某一位置；某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）；2基本的解题方法： 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）； 某些元素要求必须相邻

16、时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”； 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基四、作业：课课练之“排列 课时13”课题：排列的简单应用(2)目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解过程：一、复习： 1排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；2常见的排队的三种题型：某些元素不能在或必须排列在某一位置优限法

17、；某些元素要求连排（即必须相邻）捆绑法；某些元素要求分离（即不能相邻）插空法3分类、分布思想的应用二、新授：示例一：从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？ 解法一：（从特殊位置考虑） 解法二：（从特殊元素考虑）若选： 若不选： 则共有 136080解法三：（间接法）136080示例二： 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？略解：甲、乙排在前排；丙排在后排；其余进行全排列所以一共有5760种方法 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须排在一

18、起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？ 略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a, b捆在一起与e进行排列有； 此时留下三个空，将c, d两种商品排进去一共有；最后将a, b“松绑”有所以一共有24种方法 6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？略解：（分类）若第一个为老师则有；若第一个为学生则有 所以一共有272种方法示例三： 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解： 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须

19、大于等于3有种方法；另一类是首位不为1，有种方法所以一共有个数比13 000大解法二：（排除法）比13 000小的正整数有个，所以比13 000大的正整数有114个示例四： 用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列 第114个数是多少？ 3 796是第几个数？解： 因为千位数是1的四位数一共有个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第6个位置上，所以“3 968” 是第114个数 由上可知“37”开头的数的前

20、面有60121284个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796是第95个数示例五： 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中 能被25整除的数有多少个？ 十位数字比个位数字大的有多少个？ 解： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有个，末尾为25的有个，所以一共有21个 注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有个因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的有个三、小结：能够根据题意

21、选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性四、作业：“3X”之 排列 练习组 合 课题：组合、组合数的概念目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式过程：一、复习、引入： 1复习排列的有关内容：定 义特 点相同排列公 式排 列 以上由学生口答2提出问题： 示例1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名

22、同学，是与顺序无关的引出课题：组合问题二、新授：1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 注：1不同元素 2“只取不排”无序性 3相同组合：元素相同 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题： 从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；（组合） 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记（排列）2组合数的概念：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号表示 例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙即有种组合 又如：从A、B、C、

23、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合，即： 在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关那么又如何计算呢？3组合数公式的推导提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数是多少呢？启发： 由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数 可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下： 组 合 排列 由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步： 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个； 对每一个组合的3个不同元素进行全排

24、列，各有种方法由分步计数原理得：，所以： 推广： 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步： 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数； 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分布计数原理得： 组合数的公式： 或 巩固练习：1计算： 2求证：3设 求的值 解：由题意可得： 即：2x4 x=2或3或4 当x=2时原式值为7；当x=3时原式值为7；当x=2时原式值为11 所求值为4或7或11 4例题讲评例1 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？ 略解：例24名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？ 解法一：

25、（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有，所以一共有+100种方法解法二：（间接法） 5学生练习：（课本99练习）三、小结： 定 义特 点相同组合公 式排 列组 合 此外，解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理四、作业：课堂作业：教学与测试75课课外作业：课课练 课时7和8 组 合 课题：组合的简单应用及组合数的两个性质目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题过程：一、复习回顾： 1复习排列和组合的有关内容： 强调：排列次序性；组

26、合无序性 2练习一： 练习1：求证： （本式也可变形为：）练习2：计算： 和； 与； 答案： 120，120 20，20 792 （此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础）3练习二： 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？ 答案： （组合问题） （排列问题）二、新授：1组合数的 性质1：理解： 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n - m个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出

27、n - m个元素的组合数，即：在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明： 又 注：1 我们规定 2 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标3 此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化例如：=2002 4 或2示例一：（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解： 引导学生发现：为什么呢？ 我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球因此根据分类

28、计数原理，上述等式成立 一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有含有的组合是从这n个元素中取出m -1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想3组合数的 性质2：+ 证明： + 注：1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用4示例二： 计算：

29、 求证：+ 解方程： 解方程： 计算：和 推广： 5组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立： （讲解） （练习） 6处理教学与测试76课例题三、小结：1组合数的两个性质； 2从特殊到一般的归纳思想四、作业： 课堂作业：教学与测试76课 课外作业：课本习题10.3；课课练课时9组 合 课题：组合、组合数的综合应用目的：进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力过程：一、知识复习： 1复习排列和组合的有关内容： 依然强调：排列次序性；组合无序性2排列数、组合数的公式及有关性质 性质1： 性质2：+ 常用的等式： 3练习：处理教学与测试76课例

30、题二、例题评讲：例1100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查 都不是次品的取法有多少种？ 至少有1件次品的取法有多少种？ 不都是次品的取法有多少种？ 解： ； ； 例2从编号为1，2，3，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？ 解：分为三类：1奇4偶有 ；3奇2偶有；5奇1偶有 所以一共有+例3现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分

31、为三类： 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有； 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有； 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有 所以一共有+42种方法例4甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？ 解法一：（排除法） 解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有；另一类为甲不值周一，但值周六，有所以一共有+42种方法例56本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？ 解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5个人有种方法根据分步计数原理，一共有1800种方法 变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？变题2： 5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？变题3： 5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？ 答案：1； 2； 3三、小结：1组合的定义，组合数的公式及其两个性质； 2组合的应用：分清是否要排序四、作业：3+X 组合基础训练课课