江苏省南京市教学研究室2022届高三下学期高考前辅导数学试题-

1、内装订线内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线绝密启用前江苏省南京市教学研究室2022届高三下学期高考前辅导数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四五总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值为（       ）ABCD22022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥

2、十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（       ）A10秒B13秒C15秒D19秒3当复数满足时，则的最大值是（       ）ABCD4在九章算术·商功中将正四面形棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（    

3、   ）ABCD5设，则（       ）ABCD6设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（       ）ABCD7已知对任意实数都有，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（       ）ABCD评卷人得分二、多选题8（多选题）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音

4、若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（       ）A的图象关于直线对称B在上是增函数C的最大值为D若，则9已知均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（       ）ABCD10在复数范围内，下列命题不正确的是（       ）A若是非零复数，则不一定是纯虚数B若复数满足，则是纯虚数C若，则且D若，为两个复数，则一定是实数11在棱长为1的正方体中，为正方形的中心，则下

5、列结论正确的（       ）AB与平面夹角的正弦值为C点到平面的距离为D直线与直线的夹角为12（多选题）甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（       ）ABCD13将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续2次反面向上的概率，则下列结论正确的是（    

6、;   ）ABC当时，D第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、双空题14在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，则的值为_；若，则的值为_15已知数列满足若，则_；若，则_16已知函数（1）不等式的解集为_；（2）若关于的方程有两个不等实数根，则实数的取值范围为_评卷人得分四、解答题17请在向量，且；这两个条件中任选一个填入横线上并解答在锐角三角形中，已知角，的对边分别为，c，(1)求角；(2)若的面积为，求的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18已知，(1)求的值；(2)若，求的值19已知

7、数列的前项和为，(1)证明：数列为等比数列；(2)记数列的前项和为，证明：20已知等比数列的前项和为，且，数列满足(1)求数列和的通项公式；(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围21如图，已知平面平面，点O在线段上，都是等边三角形.(1)证明：B，C，E，F四点共面；(2)求平面与平面所成角的正弦值.22已知四棱锥的底面为菱形，是等边三角形，平面平面，分别是棱，上的动点(1)若是的中点，且平面，证明：是的中点；(2)若，求三棱锥的体积23公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（BPascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了

8、这个问题，后来惠更斯（CHuygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名运动员约定谁先赢(，)局，谁便赢得全部奖金元每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金(1)规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金若，求(2)记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，时比赛继续进

9、行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件24为了比较两种复合材料制造的轴承（分别称为类型轴承和类型轴承）的使用寿命，检验了两种类型轴承各30个，它们的使用寿命（单位：百万圈）如下表：类型6.26.48.38.69.49.810.310.611.211.411.611.611.711.811.812.212.312.312.512.512.612.712.813.313.313.413.613.814.214.5类型8.48.58.79.29.29.59.79.79.89.810.110.210.3

10、10.310.410.610.810.911.211.211.311.511.511.611.812.312.412.713.113.4根据上述表中的数据回答下列问题：(1)对于类型轴承，应该用平均数还是中位数度量其寿命分布的中心？说明理由；(2)若需要使用寿命尽可能大的轴承，从中位数或平均数的角度判断：应选哪种轴承？说明理由；(3)若需要使用寿命的波动性尽可能小的轴承，应选哪种轴承？说明理由25已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5.(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存

11、在，请说明理由26已知圆：，动圆与圆外切，且与定直线相切，设动点的轨迹为(1)求的方程；(2)若直线过点，且与交于，两点，与轴交于点，满足，（，），试探究与的关系27已知函数，(1)判断是否存在实数，使得在处取得极值？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由；(2)若，当时，求证：28已知函数(1)求证：；(2)若恒成立，求实数评卷人得分五、填空题29甲、乙、丙、丁四人商量去看电影甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去最后有人去看电影，有人没去看电影，则不去的人是_30展开式中各项系数的和为64，则展开式中的常数项为_.31已知函数，则不等式的解集为_32

12、已知中，点在直线上，的外接圆圆心为，则直线的方程为_33已知椭圆：的右焦点为，右准线为，点在椭圆C的第一象限上，交于点E，直线交轴于点，且，则_34在中，为的重心，在边上，且，则_试卷第7页，共8页参考答案：1C【解析】【分析】利用给定图象求出，进而求出即得函数解析式，再代入求解作答.【详解】由，得，由，又，得，观察图象知，解得，则，因此，所以故选：C2D【解析】【分析】根据题意和等差数列的定义可知每秒钟通过的路程构成数列，结合等差数列的前项求和公式计算即可.【详解】设每秒钟通过的路程构成数列，则是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有，解得故选：D.3B【解析】【分析】设，可求得点的轨迹

13、方程，再利用的几何意义结合圆的几何性质可求得的最大值.【详解】设，则，所以，复数在复平面内对应的点的轨迹方程为， 圆的圆心坐标为，半径长为，表示圆上的点到定点的距离，因此，的最大值为.故选：B4B【解析】【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到的长度，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱台的体积计算公式求解即可.【详解】如图，过作，垂足为，由四个侧面的面积之和为知，侧面的面积为，（梯形的面积公式），则.由题意得：，在中，.连接，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形且，则，该方亭的体积，（棱台的体积公式）.故选：B.   5B【解析】【分析】根据中间值及函数单调性

14、进行判断大小.【详解】因为，所以，所以且，又，所以故选：B6D【解析】【分析】取特值说明判断A，B，C；作差判断D作答.【详解】对于A，取，则，A错误；对于B，取，则，B错误；对于C，取，则，C错误；对于D，因，则，即，D正确故选：D7C【解析】【分析】依题意可得（为常数），再根据，即可求出，即可得到，求出函数的单调性，画出图象，设，只需满足，求解即可.【详解】解：由，即，得，则（为常数），又，所以，所以，故，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以在取得极小值设，可知该函数恒过点，画出的图象，如下图所示，不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则这两个整数解为，所以，即，解得，所以.故

15、选：C8BCD【解析】【分析】利用对称性定义推理判断A；由与在上单调性判断B；借助导数求出在周期长的区间上的最大值判断C；由在周期长的区间上的最大最小值判断D作答.【详解】对于A，因，则的图象关于对称，不关于对称，A错误；对于B，因与在上都是增函数，则在上是增函数，B正确；对于C，因，即是奇函数，又与的最小正周期分别为与，则的正周期为，当时，令，得，即，当时，当时，则在上递增，在上递减，因此，在上的最大值为，由是奇函数得在上的最大值为，由的正周期为，则在R上的最大值为，C正确；对于D，由选项C得，又，则，所以当时，D正确故选：BCD9BD【解析】【分析】由题可知，利用包含关系即可判断.【详解】

16、，若是的真子集，则，故A错误；由可得，故B正确；由可得，故C错误，D正确.故选：BD.10BCD【解析】【分析】是非零复数,则可能是实数，故不一定是纯虚数，判断A;由复数的代数形式可推得z可能为0,故判断B;举特例，可判断C;根据复数的代数形式可推得的结果，不一定是实数，判断D.【详解】对于A，设(，)，但有可能，就不一定是纯虚数，故A正确；对于B，设(，)，由条件可知，即，所以 ，因为，可同时为0，所以z不一定是纯虚数，故B错误；对于C，若，故C错误；对于D，设，（，)，则，所以不一定是实数，故D不正确故选:BCD11ACD【解析】【分析】对于A，根据正方体的定义及线面垂直的判定定理，再结合

17、线面垂直的性质定理即可求解；对于B，根据线面角的定义，再利用锐角三角函数的正弦函数即可求解；对于C，根据等体积法及三角形的面积公式即可求解；对于D，根据异面直线所成角的定义及余弦定理即可求解.【详解】对于A，连接，则，交于点，如图所示在正方体中，平面，平面，故，而，平面，所以平面，在正方体中，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面，而平面，所以 ，故A正确；对于B，连接，则，交于点，在正方体中，平面，平面，故，而，平面，所以平面，是直线在平面内的射影；所以是直线与平面所成的角，由题意可知，,在中，所以与平面夹角的正弦值为,故B不正确；对于C，由题意可知，,在正方体中，平面，设点到平面的距

18、离为d，因为，所以，即，于是，解得，故C正确；对于D，连接，在正方体中，所以四边形是平行四边形，所以，所以为直线与所成的角(或其补角)，在中，所以，因为，所以，所以直线与直线的夹角为，故D正确故选：ACD.12ACD【解析】【分析】根据古典概型求概率公式得到，由全概率公式计算，由条件概率计算BD选项中的概率.【详解】因为甲罐中有2个红球、2个黑球，所以，故选项A正确；因为，所以选项C正确；因为，所以，故选项D正确；因为，所以选项B错误；故选：ACD13AC【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，结合独立重复事件的概率公式逐一判断即可.【详解】对于A，故A正确；对于B，故B错误；对于C，如果第次

19、出现正面，则前次没有出现连续2次反面向上的概率与前次没有出现连续2次反面向上的概率相同，此时；如果第次出现反面，则第出现正面，故前次没有出现连续2次反面向上的概率与前次没有出现连续2次反面向上的概率相同，则；从而，故C正确；对于D，由，得，消去得，从而，故D错误故选：AC14     #     #【解析】【分析】由向量数量积的定义求的值，由三角函数的定义结合题意得，代入中化简计算可求出，然后计算即可【详解】由三角函数的定义可知，则，所以，解得或（舍去）则故答案为：，15   

20、0; 2604     #0.5【解析】【分析】对给定等式变形，利用累加法求出的表达式，再分组求和可得；令，计算得作答.【详解】由取倒数得，即，则当时，当时，上式也成立，于是得，当时，有，于是得；当时，即，所以.故答案为：2604；16          【解析】【分析】由图像可知函数为“不增”函数，利用函数的单调性即可解出不等式；根据函数图像可得，由换元法可得一元二次方程在上有两个不等实数根，结合二次函数的性质即可得出结果.【详解】作出函数图像，该函数为“不增”函数，所以，

21、解得，所以解集为；由函数图像可得，令，在区间上有两个不等实数根，则有解得故答案为：；.17(1)(2)【解析】【分析】(1)选：根据平面共线向量的坐标表示和正弦定理可得，结合余弦定理即可求出C；选：根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算可得，结合特殊角的正切值即可求出C；(2)由三角形的面积公式可得，法一：利用余弦定理解得；法二：由正弦定理可得，进而利用导数求出函数的值域即可.(1)选择：因为，所以，由正弦定理得，即，即，即，即因为，又为锐角，所以选择：因为，由正弦定理得，即又，所以因为，所以，又为锐角，所以，(2)因为，所以，则(法一)由余弦定理得，因为为锐角三角形，所以即将代入上式可得即解

22、得令，则，所以在上单调递增，所以，即，即的取值范围为(法二)由正弦定理得，又，所以因为为锐角三角形，所以解得因为，所以，即，解得令，则，所以在上单调递增，所以，即，即的取值范围为18(1)(2)【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值；（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果.(1)解：因为，又，所以，所以.(2)解：因为，又因为，所以，由（1）知，所以因为，则，所以19(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解析】【分析】（1）根据与的关系，结合已知等式，利用等比数列的定义进行

23、证明即可；（2）结合（1）的结论，利用放缩法、等比数列前项和公式进行运算证明即可.(1)）因为，所以，所以，因为，所以，故数列为等比数列，首项为，公比为2；(2)由（1）可知，所以，所以20(1)， ；，(2) 【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，由求得公比，再由求解；进而由求解. （2）由对于任意的恒成立，令，求得其最小值即可.(1)解：设等比数列的公比为，由，显然，所以，解得，由于，所以的通项公式为，；所以，所以的通项公式为，(2)因为恒成立，即对于任意的恒成立令，则，当时，所以，即的最小值为，所以实数的取值范围为.21(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）证法1：延长，利用比

24、例关系证明两直线的延长线交于上同一个点即可，证法2：分别取的中点N，M，连接，证明两两垂直，则以M为坐标原点，所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，（2）求出平面与平面的法向量，利用空间向量求解即可(1)证明：证法1，如图，延长交直线于点，延长交直线于点，因为，所以，又因为，所以，即，同理可得，所以重合，所以相交，所以B，C，E，F四点共面.证法2，分别取的中点N，M，连接.因为都是等边三角形，所以.又因为平面平面，平面平面，所以平面平面.又因为平面平面，所以，所以两两垂直，两两垂直，以M为坐标原点，所在直线建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，即B，C，E，F四点共

25、面.(2)因为，设平面的法向量为，则，即令，则，所以平面的法向量.因为.设平面的法向量为，则，即令，则，所以平面的法向量.设平面与平面所成夹角为，则，所以，所以平面与平面所成角的正弦值为.22(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）作的中点，连接、，由中位线可得，即，由线面平行的性质可得，得到四边形为平行四边形，即可证明；（2）作的中点，连接，由面面垂直的性质可得平面，由计算即可(1)取的中点，连接、，因为是的中点，所以，且，又，所以因为平面，平面平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，即，又有，底面是菱形，所以，则是的中点(2)取的中点，连接因为为等边三角形，所以，又平面平面，

26、平面平面，所以平面因为，所以又，因为，所以23(1)；(2)，事件是小概率事件；理由见解析.【解析】【分析】（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，进而可得甲赢的概率，即得；（2）由题可得甲赢得全部奖金的概率，进而利用导函数可得，即得.(1)设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则，2，故，从而(2)设比赛继续进行局甲赢得全部奖金，则，3，故，即，则，当时，因此在上单调递增，从而，所以，故事件是小概率事件24(1)应该用中位数度量其寿命分布的中心；理由见解析(2)应选类型轴承；理由见解析(3)应选类型轴承；理由见解析【解析】【分析】（1）要根据使用平均数或中位数代表分布中心的依据来确定，如果数据的

27、分布比较均匀，则使用平均数来代表分布中心，如果数据中有严重偏离多数数据的，则使用中位数来代表分布中心；（2）可以根据中位数来确定；（3）可以根据数据的分布情况以及极差来判断标准差，标准差小的稳定性好.(1)从表中可以看出大多数的数据集中在区间 内，在这个区间的数据有20个，中位数为12，6.2，6.4有严重的偏离，所以使用中位数度量寿命分布的中心；(2)由上表可知，类型轴承的使用寿命按由小到大排序，排在15，16位是11.8，12.2，故中位数为12；类型轴承的使用寿命按由小到大排序，排在15，16位是10.4，10.6，故中位数为10.5；因为，所以应选类型轴承；(3)从类型的表格中，极差=

28、14.5-6.2=8.3，多数的数据集中在 区间内，6.2,6.4，8.3,8.6严重偏离分布中心，即波动较大，标准差必定较大，从类型的表格中，极差=13.4-8.4=5，较小，数据的分布集中 均匀，标准差必定较小，故应选类型轴承；25(1)；(2)不存在；理由见解析.【解析】【分析】（1）利用点差法，结合代入法进行求解即可；（2）利用假设法、点差法，根据点关于直线对称的性质、点与椭圆的位置关系进行求解即可.(1)设，则，即因为，在椭圆上，所以，两式相减得，即，又，所以，即又因为椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为；(2)由题意可知，直线的方程为假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，

29、设，的中点为，所以，因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即又因为，在椭圆上，所以，两式相减得，即，所以，即联立，解得，即又因为，即点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在点，两点，使得，关于直线对称【点睛】关键点睛：利用点差法是解题的关键.26(1)(2)【解析】【分析】(1)根据直线与圆的位置关系可得，根据圆与圆的位置关系可得，列出方程，解之即可；(2)设直线的方程为、，法一：由平面共线向量的坐标表示和定点分比公式可得、，列出方程，解之即可；法二：联立抛物线方程，利用韦达定理和平面共线向量的坐标表示，化简计算可得、，证明即可.(1)设，圆的半径为，由题可知，点在直线右侧，因为圆与定

30、直线相切，所以又圆与圆外切，所以，所以，化简得，即的方程为(2)解法一：由（1）得，设直线的方程为，则，因为，由定点分比公式可知，因为点A在上，所以，即，所以同理，由，可得，所以，即，因为点在上，所以，即，所以由，得，因为，所以，即解法二：设直线的方程为，则由，整理得，由韦达定理可知，因为，即，所以由，可得，所以所以，即27(1)不存在这样的实数；理由见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）假设存在这样的实数，利用求解的值，代入函数中，利用导数求解函数的单调性，根据函数在某点存在极值点的充要条件判断是否存在；（2）因为，取代入不等式中，化简不等式，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性及最

31、值，即可证明不等式.(1)假设存在这样的实数，则有，即当，令，因为，所以在上为单调增函数，在上为单调减函数，所以，即在上为单调减函数，所以不存在这样的实数(2)因为，所以，要证，即证令，则，令，则，当，故函数在区间上单调递增，故，从而得在区间为单调增函数，所以，得证【点睛】本题主要考查学生对函数极值点的理解，对可导函数而言，导数为0是极值点的必要非充分条件；考查了一个重要的函数模型和一个典型的构造函数的类型；转化主元证明不等式是不等式证明常考的类型之一28(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）方法1：证，即证，利用导数求得单调性，分别得到，即证；方法2：令，易得在上单调递增，由零点的存在性定理可得存在唯一的，使得，则结合基本不等式即可证明；（2）构造，；则，时，在上为单调增函数，分别讨论，即可.(1)的定义域为方法1：要证，即证记，由于，当时，则在上为单调减函数，当时，则在上为单调增函数，所以又，令，得，当时，则在上为增函数，当时，则在上为减函数，所以，得证方法2：，令，因为，所以在区间上为单调增函数，又，所以存在唯一的，使得因为在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，且满足，所以，得证(2)令，则，；则，时，在上为单调增函数当时，且，所以函数在区间上为单调减函数，在区间上为单调增函数，即，符合题意当时，所以，当时，所以，