上海高一数学(上海教育出版社)讲义45反函数

1、 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D，值域为，值域为A. 由由y=f(x) 解得解得x= (y)，若对任意若对任意y A，在在D中都中都有唯一确定的有唯一确定的x值与它对应值与它对应，则称，则称x= (y)为为函函数数y=f(x)的反函数的反函数，记作，记作x=f -1(y) . 在习惯上，自变量常用在习惯上，自变量常用x表示，而函数用表示，而函数用y表示，表示， 这样把这样把y=f(x)的反函数改写为的反函数改写为y=f -1(x) （x A） .一、反函数的概念一、反函数的概念思考：思考：y=f( (x) )，x=f -1-1( (y) )和和y=f 11( (x) ) 三者的

2、区别是什么三者的区别是什么 ？f D A A Df- -1值值 域域定义域定义域原来函数的对应法则是原来函数的对应法则是f，反函数的对应法则是反函数的对应法则是f - -1。（一般情况下，对应法则一般情况下，对应法则是不同的）是不同的）)(xfyy= f 1(x) bafabf11.1.函数的定函数的定义域，值域义域，值域分别是它的分别是它的反函数的值反函数的值域、定义域域、定义域2.函数函数 y= f(x)与与y= f 1 (x)互为反函数互为反函数2221.(1) ( ) ( 0 ) (2) ( )2 ( 0)2(3) ( )2 (3) (4) ( )1 (0)3(5) ( )24(10)

3、 (6) ( )(1)f xxxf xxxf xxxf xxxf xxxf xxx x 例例 求求下下列列函函数数的的反反函函数数：yx x(0) 2(2) (2)yxx 36(4)2xyx 1 (1)yxx 24(04)2xyx 1141( )(0)2xfxx 反函数的求法反函数的求法 反解：反解：把解析式把解析式y=f( (x) )看作看作x的方程，的方程， 解出解出x=f11( (y) )，即把，即把x用用y表示；表示； 改写：改写：将将x=f11( (y) )改写成改写成y=f11( (x) )， 即对调即对调x=f1(y)中的中的x、y ； 互换：互换：即求出所给函数的值域并把即求出

4、所给函数的值域并把 它改换为反函数的定义域。它改换为反函数的定义域。 312.( )(2)2xf xxx 例例 求求的的反反函函数数. .请同学们研究如下问题请同学们研究如下问题: (1) 如果一个函数是奇函数如果一个函数是奇函数,是否一定存是否一定存在反函数在反函数?(2) 如果一个函数是偶函数是否一定没有如果一个函数是偶函数是否一定没有反函数反函数?(3) 如果一个函数是单调函数如果一个函数是单调函数,是否一定有是否一定有反函数反函数?(4) 如果一个函数不是单调函数如果一个函数不是单调函数,是否一定是否一定没有反函数没有反函数?怎样的函数有反函数？怎样的函数有反函数？ 1.1.对于任意函

5、数值对于任意函数值y, ,在定义域中总在定义域中总有唯一确定的有唯一确定的x值与它对应。值与它对应。 2.2.从图像上看，若直线从图像上看，若直线 与与的图像相交，总有唯一的的图像相交，总有唯一的一个交点，则这个函数有反函数。一个交点，则这个函数有反函数。()y a aA yf x( ) 3 3.若函数若函数 是单调函数，则是单调函数，则这个函数有反函数。这个函数有反函数。yf x( ) 2(0)1( )(0)1xxf xxx 5. 求函数求函数的反函数的反函数.311. ( )(2)2xf xxx 练练习习：求求的的反反函函数数. .43. ( )(3)f xxxx 求求的的反反函函数数.

6、.34. ( )2()xf xxR 求求的的反反函函数数. .22. ( )1(1)f xxxx 求求的的反反函函数数. .互为反函数的函数图象间的关系互为反函数的函数图象间的关系 例例3 3：求下列函数的反函数，并在同一坐标系：求下列函数的反函数，并在同一坐标系内画出该函数和它的反函数的图象内画出该函数和它的反函数的图象 1(1)12yx 121(2)()4yxx定理：定理：函数函数y= f( (x) )的图象与它的反函的图象与它的反函数数y= f 11( (x) )的图象是以直线的图象是以直线y=x为对为对称轴的轴对称图形。称轴的轴对称图形。 注意：注意：函数函数y= f( (x) )与与

7、y= f 11( (x) )的图象的图象关于直线关于直线y=x对称，而函数对称，而函数y= f( (x) )和函和函数数x= f 11( (y) )图象是同一个图象。图象是同一个图象。 推论：推论：函数函数y= f( (x) )的图象上任意一点的图象上任意一点关于直线关于直线y=x的对称点，都在它的反函的对称点，都在它的反函数数y= f 11( (x) )的图象上。反之亦然。的图象上。反之亦然。 思考：思考：函数函数y=f( (x) )与它的反函数与它的反函数y=f11( (x) )的单调性有关系吗？的单调性有关系吗？（1）若）若 有反函数且它的反有反函数且它的反 函数就是本身，求函数就是本身

8、，求a，b应满足的条件应满足的条件.（2）当）当 满足什么条件时，满足什么条件时， 函数函数 的反函数是的反函数是 它本身？它本身？(0)yaxb a a b c d，( )(0 )ax bdf xcxcx dc ，(3) 试找出充分多的函数试找出充分多的函数y = f ( x )，使得，使得 y = f ( x )的反函数是它本身的反函数是它本身.练习练习11111.(1 2)( ) ( ).12.( )( ).233.( ) 2( )2 ( )2 ( )24.( ) 2 ( )2145.( )()455f xaxbf xxf xfxxf xxxf xfxfxxf xafaxaxf xayx

9、 例例题题：如如果果点点 ， 既既在在函函数数的的图图像像上上，又又在在其其反反函函数数图图像像上上， 求求已已知知，求求的的值值设设， 求求满满足足下下列列条条件件的的 的的值值或或范范围围. .设设， 若若， 求求的的取取值值范范围围. .若若的的图图像像关关于于 .xa对对称称， 求求求反函数值求反函数值已知原函数的函数值，求原函数的自变量已知原函数的函数值，求原函数的自变量解反函数方程解反函数方程已知原函数的自变量，求原函数的函数值已知原函数的自变量，求原函数的函数值解反函数不等式解反函数不等式已知原函数的已知原函数的“定义域定义域”，求原函数的值，求原函数的值域域求反函数值的范围求反函数值的范围已知原函数的函数值的范围，求原函数的已知原函数的函数值的范围，求原函数的自变量的范围，即解原函数不等式自变量的范围，即解原函数不等式.函数图像关于直线函数图像关于直线y=x对称对称原函数和其反函数是同一个函数原函数和其反函数是同一个函数作业作业: : 13(1)( )2(2)f xxf 已已知知，求求的的值值。2(4)( )( )1(1)( )yg xf xxx xyx g x 若若函函数数的的图图像像与与函函数数的的图图像像关关于于直直线线对对称称， 求求的的表表达达式式。1(5)(2 )2