mathematica矩阵

1、第六节第六节 用用MathematicaMathematica作向量、作向量、矩阵运算矩阵运算 在在MathematicMathematic中，有序数组被称为中，有序数组被称为“表表”（listlist）“表表”既可以表示集合，又可以表示向量和矩阵。许既可以表示集合，又可以表示向量和矩阵。许多函数都可以作用在表上。多函数都可以作用在表上。 6.1 6.1 向量和矩阵的输入向量和矩阵的输入 6.2 6.2 获得表的元素获得表的元素 6.3 6.3 表的维数和加、减法表的维数和加、减法 6.4 6.4 向量和矩阵的乘法向量和矩阵的乘法 6.5 6.5 关于矩阵的几个常用函数关于矩阵的几个常用函数

2、6.1 6.1 向量和矩阵的输入向量和矩阵的输入 从键盘输入一个表，用从键盘输入一个表，用 将表的元素将表的元素括起，元素之间用逗号分隔。括起，元素之间用逗号分隔。例例1 1 输入数据列0，16，64，144，256。定义为变量data data=0,16,64,144,256例例2 2 输入矩阵M= 221310152 M=2,5,-1，0,-1,3，1,2,-2矩阵的每一行用 括起。对于某些有规律的表对于某些有规律的表MathematicaMathematica提供了提供了函数函数Table ,NestlistTable ,Nestlist 。 例例3 3 已知数列通项 ，给出前10项。例

3、例4 4 给出30以内的奇数。 2nxnTable n2,8 8n, 1, 10 D D81, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100Table n,8 8n, 1, 30, 2 D D81, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29例例5 5 给出 特殊矩阵的输入命令有特殊矩阵的输入命令有 Tablefi,j,i,m.j,nTablefi,j,i,m.j,n 生成以f的计算值为元素的 m行列矩阵 Arraya,m,nArraya,m,n 生成以ai,j为元素的m行n列矩阵。 IdentityMatrixn

4、IdentityMatrixn 生成n阶单位阵。 DiagonaMatrixListDiagonaMatrixList 生成以表中元素为对角元的对角矩阵。 ,5,5,5,5, 5284n81, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29NestList Sqrt, 5, 20N5., 2.23607, 1.49535, 1.22284, 1.10582, 1.05158,1.02547, 1.01265, 1.00631, 1.00315, 1.00157, 1.00079, 1.00039,1.0002, 1.0001, 1.0000

5、5, 1.00002, 1.00001, 1.00001, 1., 1.例例6 6 生成三阶Hilbert矩阵 得到例例7 7 生成四阶单位阵 Table 1H Hi+ +j- -1L L,8 8i, 3 ,8 8j, 3 D DMatrixForm %D Dik11213121314131415yIdentityMatrix 4D D8 81, 0, 0, 0,80, 1, 0, 0,80, 0, 1, 0,80, 0, 0, 1 例例8 8 生成一个以1，2，3，4，5为对角元的对角矩阵，并用矩阵形式表示 得到 DiagonalMatrix 8 81, 2, 3, 4, 5 D D;Mat

6、rixForm %D Dik1000002000003000004000005y 6.2 6.2 获得表的元素获得表的元素 A是一个向量，则AiAi表示向量的第i个元素。M是一个m行n列矩阵，则用MiMi表示矩阵的第i行；Mi,jMi,j 表示第i行,第j列交 叉点处的元素。TransposemjTransposemj 表示M的第j列.Mi1,i2,j1,j2Mi1,i2,j1,j2 取M的第i1、i2行, j1、j2列构成子矩阵。例例9 9 构造一个3*3矩阵,再取出它的元素 。 M= =Array a,8 83, 3 D D;MatrixForm %D DM 2D D D DM 3, 2D

7、 D D DTranspose MD D 3D D D DM 8 81, 3 ,8 82, 3 D D D D 取出第2行 取出第3行、第2 列的元素 取出第3列 取出由1、3 行，2、3列构成子矩阵 ika1, 1Da1, 2Da1, 3Da2, 1Da2, 2Da2, 3Da3, 1Da3, 2Da3, 3Dy8a2, 1D, a2, 2D, a2, 3D a3, 2D8a1, 3D, a2, 3D, a3, 3D8 8a1, 2D, a1, 3D ,8a3, 2D, a3, 3D 6.3 6.3 表的维数和加、减法表的维数和加、减法 6.3.16.3.1 Dimensionslist D

8、imensionslist 给出向量或矩阵给出向量或矩阵的维数。的维数。例例1010 求下列向量和矩阵的维数 T T= =8 81 1, , 2 2, , 3 3, , 4 4 m m= =8 8 8 81 1, , 2 2, , 3 3 , ,8 84 4, , 5 5, , 6 6 DimensionsDimensions T TD DDimensionsDimensions m mD D8482, 3运行得出 向量的维数为4 矩阵是2行3列的6.3.26.3.2矩阵的加、减法矩阵的加、减法 相同维数的表可以相加，它的和是对应元素的相加所得的同维的表 a1, a2, a3b1, b2, b

9、3a1b1, a2b2, a3b3m1= =Array a,8 83, 2 D D;m2= =Array b,8 83, 2 D D;MatrixForm m1+ +m2D Dika1, 1D+b1, 1Da1, 2D+b1, 2Da2, 1D+b2, 1Da2, 2D+b2, 2Da3, 1D+b3, 1Da3, 2D+b3, 2Dy6.4 向量和矩阵的乘法 6.4.1 6.4.1 向量的内积向量的内积6.4.2 6.4.2 矩阵乘矩阵矩阵乘矩阵 计算下列矩阵的乘积 8 8a1, a2, a3 .8 8b1, b2, b3 a1b1+a2b2+a3b3Ja1a2a3b1b2b3N.ikc1c

10、2d1d2e1e2y 注意注意: : 这里乘法使用”是Mathematica 特有的,这种乘法不满足交换律.当向量与矩阵相乘用“”能自动把向量看作行向量或列向量。 例如矩阵m左乘向量v时，v被看作列向量，而矩阵右乘向量v时，v被看作行向量。m1a1, a2, a3,b1, b2, b3m2c1, c2, d1, d2, e1, e2m1.m2Ja1c1+a2d1+a3e1a1c2+a2d2+a3e2b1c1+b2d1+b3e1b1c2+b2d2+b3e2N6.5 6.5 关于矩阵的几个常用函数关于矩阵的几个常用函数 InverseM 求M的逆矩阵TransposeM 求M的转置矩阵DetM 方

11、阵M的行列式EigenvaluesM 求矩阵M的特征值例例1212 求转置矩阵 0 该矩阵行列式为0 Inverse 8 8 8 8a, b ,8 8c, d ,:-c-b c+a d,a-b c+a d m= =8 8 8 81, 2, 3 ,8 84, 5, 6 ,8 87, 8, 9 ;m1= =Transpose mD D8 81, 4, 7,82, 5, 8,83, 6, 9 Det mD D 系统给出提示，所计算矩阵是奇异的。 Inverse mD DInverse:sing : Matrix8 81, 2, 3,84, 5, 6,87, 8, 9 is singular.Inve

12、rse 8 81, 2, 3,84, 5, 6,87, 8, 9 D例例1313 计算非奇异矩阵m2的逆例例1414 求上例中矩阵的特征值 运行得到矩阵m2的三个特征值为-2、1、4。 m2= =8 8 8 82,- -2, 0 ,8 8- -2, 1,- -2 ,8 80,- -2, 0 ,:0, 0,-12,:-12,-12,14 Eigenvalues m2D D8-2, 1, 4例例1515 求方程组 的解 067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx A= =8 8 8 82, 1,- -5, 1 ,8 81,- -3, 0,- -6 ,8 80, 2,- -1, 2 ,8 81, 4,- -7, 6 b= =8 88, 9,- -5, 0 Inverse AD D.bN83.,-4.,