数学建模第二章初等方法建模

1、 Mathematical Modeling 第第二二章章 初等方法建模初等方法建模2.1 2.1 比例分析模型比例分析模型2.2 2.2 代数模型代数模型2.3 2.3 简单优化模型简单优化模型2.4 2.4 节水洗衣机节水洗衣机 Mathematical Modeling 2.1 2.1 比例分析模型比例分析模型2.1.1 包装成本问题包装成本问题2.1.2 划艇比赛成绩划艇比赛成绩 Mathematical Modeling 2.1.1 包装成本问题包装成本问题 考虑像面粉、洗涤剂或果酱之类的产考虑像面粉、洗涤剂或果酱之类的产品，它们常常是包装后出售的。注意到包装品，它们常常是包装后出售

2、的。注意到包装比较大的按每克计算的价格较低。人们通常比较大的按每克计算的价格较低。人们通常认为这是由于节省了包装和经营的成本的缘认为这是由于节省了包装和经营的成本的缘故。故。 或许有人会问，这是主要原因吗或许有人会问，这是主要原因吗? ?是否是否还有其他重要因素？能否构造一个简单模型还有其他重要因素？能否构造一个简单模型来分析？来分析？问题问题研究产品成本如何随包装大小而变化的规律研究产品成本如何随包装大小而变化的规律 Mathematical Modeling 2.1.1 包装成本问题包装成本问题模型假设模型假设aW1）计入批发价格的主要成本是）计入批发价格的主要成本是: 生产该产品的成本生

3、产该产品的成本 包装该产品的成本包装该产品的成本 运输该产品的成本运输该产品的成本 包装材料的成本包装材料的成本abcd2）产品成本显然随商业竞争和经营规模不同而变）产品成本显然随商业竞争和经营规模不同而变 化，忽略这些因素集中考虑在原料和买卖过程的化，忽略这些因素集中考虑在原料和买卖过程的 费用上费用上.设该产品成本设该产品成本 与所生产的货物重量成正比与所生产的货物重量成正比, 记为记为 aW其中为产品重量其中为产品重量 Mathematical Modeling 模型分析与建立模型分析与建立 装包时间大致与体积（因而与重量）成比例装包时间大致与体积（因而与重量）成比例,而对于体而对于体

4、积在一定范围内的包装，后两部分时间相差不大。积在一定范围内的包装，后两部分时间相差不大。(0,0)bfWg fg 2.1.1 包装成本问题包装成本问题3)包装成本取决于装包、封包以及装箱备运所需要的时间包装成本取决于装包、封包以及装箱备运所需要的时间.于是有于是有 Mathematical Modeling 每件包装品的体积与包装品的表面积或体积成正比，它每件包装品的体积与包装品的表面积或体积成正比，它 取决于摊平后运输取决于摊平后运输(像纸板之类像纸板之类)还是成型后运输还是成型后运输(像玻璃像玻璃 器皿之类器皿之类), 所以打包者的成本所以打包者的成本dhWkSm其中其中S是表面积，是表面

5、积， 0,0,0hkm均为常数均为常数，因此每件包装所消耗材料量因此每件包装所消耗材料量(因而也是每件包装的重量因而也是每件包装的重量) 与所覆盖的表面积成正比与所覆盖的表面积成正比。模型假设模型假设 2.1.1 包装成本问题包装成本问题 Mathematical Modeling 6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎体积几乎 与线性尺度的立方成正比与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，方成正比，32,vlsl即2/32/3. ,SlvWSW所以由于有模型分析与建立模型分析与建立 2.1.1 包

6、装成本问题包装成本问题 Mathematical Modeling 于是每克的批发成本是于是每克的批发成本是 1/3)abcdqnpWnpqWWW成本(其中 、 、 为正数模型分析与建立模型分析与建立由此看出，当包装增大时，即每包内产重量由此看出，当包装增大时，即每包内产重量 增大时，增大时， 每克的成本下降每克的成本下降. w, (0,0), aWbfWg fgcW dhWkSm现在将现在将比例法比例法中涉及的自变量化为一个自变量中涉及的自变量化为一个自变量重量。重量。 2.1.1 包装成本问题包装成本问题 Mathematical Modeling 进一步的分析可以看到，每克产品的成本下降

7、速度进一步的分析可以看到，每克产品的成本下降速度4/32d(/)d3WpqrWWW 成本1/3113rWpWqW因此当包装比较大时，每克的节省率增加得比较因此当包装比较大时，每克的节省率增加得比较慢。总节省率为慢。总节省率为这是这是W的减函数。的减函数。这也是这也是 的减函数。的减函数。W 2.1.1 包装成本问题包装成本问题 Mathematical Modeling 直观解释直观解释 购买预先包装好看产品时，把小型包装的包装规格购买预先包装好看产品时，把小型包装的包装规格(体积体积)增大一倍，每克所节省的钱，倾向于比大型的增大一倍，每克所节省的钱，倾向于比大型的包装规格增大一倍所节省的包装

8、规格增大一倍所节省的钱多钱多。此模型可推广于零售价格，零售成本取决于批发价、此模型可推广于零售价格，零售成本取决于批发价、销售成本和仓库成本，后两种成本具有的形式销售成本和仓库成本，后两种成本具有的形式 ，因此上述，因此上述 结论也适用于零售价格。结论也适用于零售价格。HWM应用这里说这里说“倾向于倾向于”是因为模是因为模型是粗糙的。然而在定性预型是粗糙的。然而在定性预测中往往很可靠。而验证上测中往往很可靠。而验证上述解释也是很容易的述解释也是很容易的12|WWWW成本成本只须计算的只须计算的 值，其中值，其中 212WW 2.1.1 包装成本问题包装成本问题 Mathematical Mod

9、eling 赛艇赛艇 2000米成绩米成绩 t (分分)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长艇长l 艇宽艇宽b (米米) (米米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg) 浆手数浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇（对四种赛

10、艇（单人、双人、四人、八人）单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试军的成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。建立数学模型揭示这种关系。问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和重量调查赛艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不变基本不变 2.1.2 划艇比赛成绩划艇比赛成绩 Mathematical Modeling 问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 浆手的划浆功率浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度

11、由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆划浆功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力浆手浆手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型 2.1.2 划艇比赛成绩划艇比赛成绩 Mathematical Modeling 模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数), w0与与n成正比成正比2）v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 Sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速 v, 浸没面积浸没面积

12、 S, 浸没体积浸没体积 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 浆手数浆手数 n, 浆手功率浆手功率 p, 浆手体重浆手体重 w, 艇重艇重 W艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比浆手的特征浆手的特征模型模型建立建立f Sv2p wv (n/S)1/3S1/2 A1/3A W(=w0+nw) n S n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv 2.1.2 划艇比赛成绩划艇比赛成绩 Mathematical Modeling 模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 1

13、1. 021. 7ntnbatloglog最小二乘法最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验进行检验tn12487.216.886.325.84与模型巧合！与模型巧合！ 2.1.2 划艇比赛成绩划艇比赛成绩 Mathematical Modeling 2.2 代数模型代数模型森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有收获，为了使这片森林不被耗尽且每年都有收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被

14、出售苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度，开始的树木，其价值取决于树木的高度，开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值？最大的经济价值？森林管理问题森林管理问题 Mathematical Modeling 模型假设模型假设1）把树木按高度分为）把树木按高度分为n类，第类，第1类树木的高度为类树木的高度为 0, h1，它是树木的幼苗，第，它是树木的幼苗，第k类树木的高度为

15、类树木的高度为 （hk -1, hk，k=2, 3,n-1，第，第n类树木的高度为类树木的高度为 （hn-1,）；2）幼苗的经济价值为）幼苗的经济价值为p1=0=0，第第k类的经济价值为类的经济价值为 pk , k=2, 3, , ,n ；3）每年对森林中的树木砍伐一次，且只砍伐部分）每年对森林中的树木砍伐一次，且只砍伐部分 树木，每砍伐一棵树木就补种一棵幼苗树木，每砍伐一棵树木就补种一棵幼苗.森林管理问题森林管理问题 Mathematical Modeling 5）在一年的生长期内，树木最多生长一个高度类）在一年的生长期内，树木最多生长一个高度类, 即第即第k类的树木可能进入第类的树木可能进

16、入第k+1类，也可能停留类，也可能停留 在第在第k类，进入第类，进入第k+1类的比例为类的比例为 ; kg4）补种的幼苗和未被砍伐的树木经过一年的生长）补种的幼苗和未被砍伐的树木经过一年的生长 期后，与砍伐前树木的高度状态相同；期后，与砍伐前树木的高度状态相同；6）忽略两次砍伐期间树木的死亡情况）忽略两次砍伐期间树木的死亡情况.模型假设模型假设森林管理问题森林管理问题 Mathematical Modeling 设设 为第为第t年森林中第年森林中第k类树木的数量，类树木的数量，每年砍伐第每年砍伐第k类树木数为类树木数为建立模型建立模型( )kx tky12( )( )( )nx tx tx t

17、SS为森林树木总数为森林树木总数没有砍伐时，树木第没有砍伐时，树木第t+1年的数量是年的数量是1111111(1)(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )( )kkkkknnnnx tg x tx tgxtgx tx tgxtx t2,3,1kn(2)森林管理问题森林管理问题 Mathematical Modeling 有砍伐时，树木第有砍伐时，树木第t+1年的数量是年的数量是111111111(1)(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )( )nkkkkkkkknnnnnx tg x tyyx tgxtgx tyx tgxtx ty2,3,1kn(3)建立模型建立模型森林管理

18、问题森林管理问题 Mathematical Modeling 引入树木状态向量引入树木状态向量x(t)、收获向量、收获向量y、生长矩阵、生长矩阵G和种植矩阵和种植矩阵R如下如下T12( )( ), ( ), , ( )nx tx tx tx tT12(, , , )nyyyy1122311 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ngggggGg1 0 0 1ng111000000R建立模型建立模型森林管理问题森林管理问题 Mathematical Modeling （2）式和（）式和（3）式分别写为）式分别写为(1)( )x tGx t(1)( )x tGx

19、tyRy考虑到假设考虑到假设4），又有），又有( )( )x tGx tyRy（5）本问题即是求满足（本问题即是求满足（1）式条件下的（）式条件下的（5）式的解。）式的解。建立模型建立模型树木状态向量树木状态向量x(t)、收获向量、收获向量y、生长矩阵、生长矩阵G、种植矩阵种植矩阵R森林管理问题森林管理问题 Mathematical Modeling 模型求解模型求解由于幼苗无经济价值，故不对其砍伐，即由于幼苗无经济价值，故不对其砍伐，即10y 由（由（5）式可得）式可得231 121 122322331221111nnnnnnnnnyyyg xyg xg xyg xg xygxgxygx(6

20、)( )( )x tGx ty Ry 森林管理问题森林管理问题 Mathematical Modeling 利用收获向量和价值向量，得所收获树木的价值为利用收获向量和价值向量，得所收获树木的价值为23221 13222111(,) ()()nnkkknnnnf yyyp yp g xppg xppgx(8)为了获得最大的收益为了获得最大的收益,要在条件要在条件(1)和和(7)式限制下式限制下,求（求（8）式的最大值。）式的最大值。0ky 1 12233110nng xg xg xgx(7) 模型求解模型求解森林管理问题森林管理问题 Mathematical Modeling 在实际中，往往只砍

21、伐一种类别的所有树木，在实际中，往往只砍伐一种类别的所有树木，设为设为k类，类，0, 0, , 2,3,kjyyjk jn0,ixik且此时且此时及（及（6）式得）式得1 1223311kkkyg xg xg xgx解得解得111213111231,kkgggxx xxxxggg 模型求解模型求解即即森林管理问题森林管理问题 Mathematical Modeling 代入（代入（1）式得）式得11112311kSxgggggg此时，收获树木的价值为此时，收获树木的价值为1 1121111kkkkkkp Sfp yp gxggg2,3,1kn 比较各即可获得最佳砍伐方案。比较各即可获得最佳砍伐

22、方案。 模型求解模型求解森林管理问题森林管理问题 Mathematical Modeling 求出对其进行最优采伐的策略。求出对其进行最优采伐的策略。 例题例题 已知森林具有已知森林具有6年的生长期，年的生长期，g1=0.28, g2=0.32, g3=0.25, g4=0.23, g5=0.37, p2=50元，元， p3=100元，元，p4=150元，元，p5=200元，元，p6=250元。元。问题问题森林管理问题森林管理问题 Mathematical Modeling f2=14.0S, f3=14.7S, f4=13.9S, f5=13.2S, f6=14.0S，比较得比较得f3最大，

23、收益是最大，收益是14.7S。因此应砍伐第三年中的全部树木。因此应砍伐第三年中的全部树木。求解求解 例题例题 按上述方法计算得按上述方法计算得此时，此时，x2=0.475S，森林群体，森林群体x=(0.525, 0.475, 0, 0, 0)T，即第一年树木占树木总数的即第一年树木占树木总数的52.5%，第二年树木占树，第二年树木占树木总数的木总数的47.5%。森林管理问题森林管理问题 Mathematical Modeling 2.3 简单的优化法简单的优化法2.3.1 存贮问题存贮问题2.3.2 森林救火森林救火 Mathematical Modeling 现实世界中普遍存在着优化问题现实

24、世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数根据建模目的确定恰当的目标函数 求解静态优化模型一般用微分法求解静态优化模型一般用微分法静静 态态 优优 化化 模模 型型 Mathematical Modeling 问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。生

25、产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要要 求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。需求量、准备费、贮存费之间的关系。 2.3.1 存贮问题存贮问题 Mathematical Modeling 问题分析与思考问题分析与思考

26、每天生产一次每天生产一次，每次，每次100件，无贮存费，准备费件，无贮存费，准备费5000元。元。日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元。元。 10天生产一次天生产一次，每次，每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元。元。 50天生产一次天生产一次，每次，每次5000件，贮存费件，贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元。元。平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010

27、天生产一次平均每天费用最小吗天生产一次平均每天费用最小吗? ?每天费用每天费用5000元元 Mathematical Modeling 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小 Mat

28、hematical Modeling 模模 型型 假假 设设1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2. 每次生产准备费为每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）天生产一次（周期）, 每次生产每次生产Q件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设设 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。使每天总费用的平均值最小。4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。

29、Mathematical Modeling 模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用TQccC221每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）2)(21rTcTcTCTC离散问题连续化离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/22221rTcc rTQ Mathematical Modeling 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型应用模型应用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答问题回答问题 Mathematical Modeling 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,每天每件贮存费每天每件贮存费 c2 ，用