数量积性质应用

1、平面向量数量积性质平面向量数量积性质的应用举例的应用举例 向量是近代数学中重要和基本的概念向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具题的有力工具. .向量概念引入后，全等和平向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算（运算律），从而把图形的基本量积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系性质转化为向量的运算体系. .向量是沟通代数、几何与三角函数的一种向量是沟通代数、几何与

2、三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用和物理学科中具有广泛的应用. . 哪句话大家看后有特别深哪句话大家看后有特别深的体会呢？的体会呢？一、向量有深刻的几何背景，一、向量有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具是解决几何问题的有力工具.二、向量是沟通代数、几何与二、向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具。有着极三角函数的一种工具。有着极其丰富的实际背景其丰富的实际背景(1)复习平面向量数量积的定义及复习平面向量数量积的定义及其坐标表示其坐标表示;(2)进一步探究平面数量积的性质进一步探究平面数量积的性质及应用及应用;

3、(3)利用平面向量解决几何和代数利用平面向量解决几何和代数问题；问题；1、_叫做单位向量)(_)_()()(),()(22211坐坐标标形形式式的的夹夹角角为为、则则的的夹夹角角为为、，已已知知非非零零向向量量的的定定义义内内积积、平平面面向向量量数数量量积积 bababayxbyxa长度等于长度等于1个单位的向量个单位的向量cosba2121yyxx(1)非零向量非零向量 ，则，则 (坐标形式）坐标形式）则则 (坐标形式）坐标形式）（求向量模的依据）（求向量模的依据）),(yxa _ aa_ a 坐标形式）坐标形式）或或，非零向量非零向量(_,)2(2211 bayxbyxa2a22yx a

4、a22yx 0 ba02121yyxx 坐坐标标形形式式）时时，非非零零向向量量_(_/,)3(2211 babayxbyxa _,)4(2211则坐标形式表示为则坐标形式表示为则则非零向量非零向量babayxbyxa baba01221 yxyx222221212121yxyxyyxx 垂直的单位向量的坐标求与aa)2 , 4(. 1_),(为垂直的单位向量的坐标与非零向量为共线的单位向量的坐标与非零向量为同向的单位向量的坐标则与非零向量非零向量aaayxa),(2222yxyyxx 2222,yxyyxx2222,yxxyxy2.引申1：（05湖南）湖南）P是是ABC所在平所在平面上一点，

5、若面上一点，若 ，则则P是是ABC的（的（ ）A、外心、外心 B、内心、内心 C、重心、重心 D、垂心、垂心PAPCPCPBPBPA引申2：(09宁夏）已知点O、N、P在ABC所在平面内，且所在平面内，且 则点则点O、N、P依次是ABC _ 心心,OCOBOA, 0NCNBNAPAPCPCPBPBPAD外心、重心、垂心外心、重心、垂心3. 证明：对于任何证明：对于任何a,b,c,d R. 恒有不等恒有不等式式 22222)(dcbabdac 认真观察不等式的两端，它们的结认真观察不等式的两端，它们的结构和向量有什么联系？构和向量有什么联系？ 构造两个非零向量，构造两个非零向量，证明不等式证明不

6、等式abba222 baba cos求向量夹角的依求向量夹角的依据据00180,0 向量是如何和三角函数紧密向量是如何和三角函数紧密在一起的？课本上哪一题能够体在一起的？课本上哪一题能够体现？现？1. .学到了什么知识学到了什么知识？2.怎么获得这些怎么获得这些知识知识？ 3.你有什么感悟与体会你有什么感悟与体会？【总一总总一总成竹在胸成竹在胸】三角问题三角问题未解决构构造造变形变形几几何何问问题题?高斯：高斯：“一个人在无结果地一个人在无结果地深思一真理后能够用迂回的深思一真理后能够用迂回的方法证明它，并最好找到了方法证明它，并最好找到了它最简明而又最自然的证法，它最简明而又最自然的证法，那是极其令人高兴的。那是极其令人高兴的。”“假如别人和我一样深刻和假如别人和我一样深刻和持续地思考数学真理，他会持续地思考数学真理，他会作出同样的发现。作出同样的发