常大复变初等函数(续) 第三章31

1、第三节 复变初等函数2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 乘幂与幂函数2.4 三角函数与双曲函数2.5 反三角函数与反双曲函数2.12.1指数函数1.复变量复变量z指数函数的定义指数函数的定义: )( 个条件个条件在复平面内满足以下三在复平面内满足以下三当函数当函数zf;)( (1)在在复复平平面面内内处处处处解解析析zf);()( (2)zfzf ).Re(,)( ,0)Im( (3)zxezfzx 其中其中时时当当)sin(cosexp ,yiyezzx记为的指数函数此函数称为复变量指数函数的定义等价于关系式指数函数的定义等价于关系式: )(,2)(expArg,|exp|为为任任何何整

2、整数数其其中中kkyzezx . exp 来表示来表示可以用可以用指数函数指数函数zez)sin(cosyiyeexz . exp , 的符号的符号只是代替只是代替没有幂的意义没有幂的意义注意注意zez , exp ,的的周周期期性性可可以以推推出出根根据据加加法法定定理理z,2expikz 的周期是的周期是. 22zikzikzeeee 即即)(为任何整数为任何整数其中其中k . 所所没没有有的的该该性性质质是是实实变变指指数数函函数数xe2. 加法定理加法定理)exp(expexp2121zzzz 例例7 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求设设解解)s

3、in(cos yiyeeexiyxz 因为因为 .cos)Re( , yeeeexzxz 实部实部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz .) e2; (e ) 1 (i433i2其其辐辐角角主主值值：例例8 8. .求求出出下下列列复复数数及及 yiyeeexiyxz)sin(cos )(2Arg为整数辐角为：kkyez内的一个辐角为区间辐角主值 ez,(- arg ) 3si

4、n3(cos1232ieei3arg233232iiekArge解解: : ),4sin4(cos)2(343eei24arg ,24Arg4343iie ke 2.2 2.2 对数函数. zLnw , z w )0z( ze .w记为：的对数称为则复数即若数的反函数规定对数函数是指数函1.1.定义：定义：viuviuiwieeeree z ,ivu w,rez 则令k2 v,eruZk k2 v, rlnu 即zizzwArglnLn 无穷多值函数无穷多值函数)0( zz ew取对数取对数. Ln ,arg Arg ArglnLn 的主值的主值称为称为取主值取主值中中若将若将zzzzizz

5、zizz arglnln 记为：记为：其余各支为：其余各支为：), 2, 1( k. Ln , , 的的一一个个分分支支称称为为上上式式确确定定一一个个单单值值函函数数对对于于每每一一个个固固定定的的zk.lnln Ln , 0 是是实实变变量量对对数数函函数数的的主主值值时时当当x z zxyixz zarg kiz kiz iz kziz zizzw2ln2argln2arglnArglnLn 或称主值支或称主值支例例9 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值求求 ,22ln2Ln ik 因为因为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Ar

6、g1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为整数为整数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负数无对数, 而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广.例例10解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因为因为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k例例11解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21

7、ki), 2, 1, 0( k.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln2. 性质性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且处处处处可可导导和和其其它它各各分分支支处处处处连连续续主主值值支支的的复复平平面面内内包包括括原原点点在在除除去去负负实实轴轴 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 证明：证明： , iyxz 设设,0时时当当 x,arglim0 zy

8、 zyarglim0处处处处连连续续在在复复平平面面内内其其它它点点除除原原点点与与负负实实轴轴 ln ,z ln arg是单值的是单值的内的反函数内的反函数在区域在区域zw zezw wezzwdd1dlnd z1 且且处处处处可可导导各各分分支支处处处处连连续续主主值值支支和和其其它它的的复复平平面面内内包包括括原原点点在在除除去去负负实实轴轴 , , ,)( )3(zz zz1)Ln(1)(ln 不存在不存在z yarglim0 在负实轴不连续在负实轴不连续z izz arglnln 2.32.3幂函数 .;0 Ln的幂函数的幂函数称为称为为复常数为复常数z a zezwzaa 说明说明

9、: :1.1.定义：定义： .;0 1ln中中的的推推广广在在复复数数域域为为实实数数此此定定义义是是实实数数域域中中等等式式 a xex xaa .,11 2 z z Znn na na nn根式函数根式函数及及即为已经定义的幂函数即为已经定义的幂函数时时且且或或当当 也也是是多多值值的的其其中中是是多多值值的的 z Zkkzizza , )2arg(lnLn 为复常数为复常数幂函数幂函数a zez wzaa;0 Ln aikzakzizazaaeeeezw2ln)2arg(lnLn , )1(为整数时为整数时当当a Lnzaaezw :的的如如下下三三种种特特殊殊情情形形下下面面讨讨论论

10、a zakaizaeeeln2ln 是是单单值值函函数数az ,0) ,( )2(时时为为互互质质的的整整数数与与是是有有理理数数当当 pqppqa Lnzaaezw kizpqpqee 2ln 个个值值有有 p za . 1, 2 , 1 , 0212个不同值个不同值有有时，时，当当 p eepk p qkipq ki , )3(是是无无理理数数或或虚虚数数时时当当a 有有无无穷穷多多个个值值az,2的的所所有有的的值值各各不不相相同同iake 例例1212 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中i

11、iieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中答案答案课堂练习课堂练习.3)( 5 计算计算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik例例 . )(1 的辐角的主值的辐角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的辐角的主值为的辐角的主值为故故ii 2.2.幂函数的解析性幂函数的解析性 ; zw ) 1 (n内处处解析是单值函数，在复平面1)( a

12、azaz;n , zw )2(n1个分支具有是多值函数.) n1 na ( zw (3)a也是一个多值函数两种情况外与除去幂函数它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析.解析的复平面内包括原点在除去负实轴的各分支 zLn,e zwzLnn1n1它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析.2.4 2.4 三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义三角函数的定义,sincos yiyeiy 因为因为,sincos yiyeiy 将两式相加与相减将两式相加与相减, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 现在把上面余弦函数和正弦函数的自变量取实现在把上面余弦函数和正弦函数的自变量

13、取实值推广到自变数取复值的情况值推广到自变数取复值的情况. .2cos,2sin 的的正正弦弦函函数数和和余余弦弦函函数数并并分分别别称称为为规规定定z eez ieez iziziziz ;cos , sin 1是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数zzzzzzcos)cos(,sin)sin( zzzzcos)2cos(,sin)2sin( 2.2.正弦与余弦函数的性质：正弦与余弦函数的性质： ;2cos sin 2为周期的为周期的都是以都是以和和 zz 且且在复平面上解析在复平面上解析和和 zz,cos sin 3zzzzsin)(cos,cos)(sin 1cossinsincoscossi

14、n)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz yixyixyixyixyixyixsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos( 即即三角公式仍然成立三角公式仍然成立积化和差、和差化积等积化和差、和差化积等, 5 .,cossin 6与实三角函数不同与实三角函数不同是无界的是无界的和和在复数域内在复数域内 z z .cos ,sin , yiyiy时时当当( (注意：与实变函数不同注意：与实变函数不同) ) Zn nz z Zn nz z z 21 cos0sin sin 4的零点为的零点为为为的根的根即即的零点的

15、零点,cossintan zzz 正切函数正切函数,sincoscot zzz 余切函数余切函数,cos1sec zz 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割函数余割函数3.3.其他复三角函数的其他复三角函数的定义定义： ; 1解析解析上使分母不为零的点处上使分母不为零的点处这四个函数都在复平面这四个函数都在复平面4.4.正切、余切、正割与余割函数的性质：正切、余切、正割与余割函数的性质： .2, 2 正割及余割的周期为正割及余割的周期为正切和余切的周期为正切和余切的周期为5. 双曲函数的定义双曲函数的定义 .2cosh,2sinh 余余弦弦函函数数的的双双曲曲正正弦弦函函数数和和双双曲

16、曲并并分分别别称称为为规规定定z eez eez zzzz 6.6.双曲正弦双曲正弦( (余弦余弦) )函数的性质：函数的性质： .实实双双曲曲函函数数的的定定义义一一致致为为实实数数，定定义义与与通通常常的的若若 z ;cosh , sinh 1是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数zz ;2cosh sinh 2为周期的为周期的都是以都是以和和izz 且且在复平面上解析在复平面上解析和和 zz,cosh sinh 3zzzzsinh)(cosh,cosh)(sinh sinh2sincosh2cos , 4yiieeyi yeeyi yiz yyyy 时时为纯虚数为纯虚数当当 .sinhcosc

17、oshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos(yxiyxyixyxiyxyix 再结合再结合1sinhcosh 22 yy得得zzzzzzzzeeeezzzeeeezzz sinhcoshcoth coshsinhtanh 双双曲曲余余切切函函数数双双曲曲正正切切函函数数1.1.反三角函数的定义反三角函数的定义.cosArc , ,cos zwzwwz 记记作作的的反反余余弦弦函函数数为为则则称称设设2cos iwiweewz 由由012 2 iwiwzee即即1 2 zzeiw方程的根为方程的根为 1LncosArc,2 zziz i 得得再再同同乘乘两两边边取取对对数数无穷

18、多值函数无穷多值函数为二值函数为二值函数 z12 02 iwiweze 得得2.5 2.5 反三角函数和反双曲函数 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数, ,表达式为表达式为: : 21LnArcsinziziz iziziz 11Ln2Arctan2.2.反双曲函数的定义反双曲函数的定义)1Ln( Arsinh2 zzz反双曲正弦反双曲正弦)1Ln( Arcosh2 zzz反双曲余弦反双曲余弦).32tan(Arc .13i求函数值例 )32tan( Arci)32(1)32(1Ln2iiiii 53Ln2ii kii231arctan52ln231arcta

19、n212152ln4 ki , 2 , 1 , 0 k解解: :iziziz 11Ln2Arctan 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的推广的推广, ,它既保持了后者的某些基本性质它既保持了后者的某些基本性质, ,又有一些与又有一些与后者不同的特性后者不同的特性. .如如: :1. 指数函数具有周期性指数函数具有周期性 2 i周期为周期为2. 负数无对数的结论不再成立负数无对数的结论不再成立3. 三角正弦与余弦不再具有有界性三角正弦与余弦不再具有有界性4. 双曲正弦与余弦都是周期函数双曲正弦与余弦都是周期函数返回复变初等函数总结复变初等函数总

20、结 实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同? ? 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, , 而且导数的形式、而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式. . 最大的区别是最大的区别是, , 实变三角函数中实变三角函数中, , 正余弦函数都是有界函数正余弦函数都是有界函数, , 但在复变但在复变三角函数中三角函数中, , . 1cos 1sin不再成立不再成立与与 zz第3 3章 复变函数的积分3.1 复变函数积分的概念和性

21、质3.2 柯西积分定理及其应用3.3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数 3.4 解析函数与调和函数的关系复习、引入baniiinx)(flimdx)x(f11( ,)lim(,)niiiniDf x y df 1( , , )lim(,)niiiinif x y z dVfV 11( ,)( ,)lim(,)(,)nniiiiiiLniiP x y dxQ x y dyPxQy 1( , )lim( ,)niiiLnif x y dsfs 1. 回忆定积分回忆定积分. 设一元函数设一元函数 y = f (x) 在在a, b可积可积. niiibaxfxxf10)(limd)(则则.d)(,0)

22、(面积在几何上表示曲边梯形时当baxxfxf如图如图0 xyabxixi+1 iy = f (x)f ( i)其中其中 i xi, xi+1, xi = xi+1 xi , 表小区表小区间间xi, xi+1的长的长, f ( i) xi表示小矩形的面积表示小矩形的面积.2.2. 二重积分的概念如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时， 这和式的极限存在， 则称此极限为函数),(yxf在闭区域 D 上的二重积分，记为 Ddyxf ),(，即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10.xzyoD),(yxfz i ),(ii 求曲顶柱体体积的方法：求曲顶柱体体积的方法：分割、取近似、分

23、割、取近似、求和、取极限。求和、取极限。求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、求和、取极分割、求和、取极限限”的方法的方法第一型曲线积分 设有光滑曲线 , , f(x,y)是定义在 L上的连续函数 . 则:Ldtttttfdsyxf)()()(),(),(22)(),(:tytxL ,t第二型曲线积分设L为光滑或按段光滑曲线 : 函数P(x,y)和Q(x,y)在L上连续, 则沿L的自自然方向然方向有:dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( )(),(:tytxL,t3.1 3.1 复变函数积分的概念和性质 一、 定义 设在复平面C上有

24、一条连接 Z0 及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。0z 把曲线C用分点 分成n个更小的弧，在这里分点 在曲线C上,按从 到Z的次序排列的。0121,.,nzz zz),.,2 , 1 , 0(nkzknzz0z1z1kzkkzZzn1nzCCknkkndzzfzf)()(lim11如果 是 到 的弧上任意一点，那么下列和式的极限(对任意分法和 的取法都存在且相同),记 kkz1kzk1kkkzzz与实函数中第二型线积分类比与实函数中第二型线积分类比 xx ttyy tC C的参数方程的参数方程

25、线积分线积分,ccF x yMx y iNx yjdrdxidyjF drMdxNdy ,Fx ty trt dt ,A xy,B xydxdycdrdz复积分复积分 ,ccfzux yivx yzxiy dzdxidyfzdzuivdxidyccu d xvd yivd xu d y ,fx ty tzt dt一个复积分的实质是一个复积分的实质是两个实二型线积分两个实二型线积分二、积分存在的条件及其计算方法 1) f(z)为连续函数,且C是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。 tctfz dzfztztdt3)化为参变量的定积分来计算。 udyvdxivdyudxdzzfccc2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。例1 计算 其中 为以 为圆心， 为半径的正向圆周, 为整数.C,10cnzzdz0zrn2020201110derideriderirezzdzinninncninin0,02 ,iCzzre解： 的参数方程为102,0,0,0,nci ndznzz因 此三、积分的性质 cck fz dzkfz dz（2） ;ccf z dzf z dz（1） ;cccfzg zdzfz dzg z dz（3） ccfz dzfz dsML（5）1212( )( )( )CCCCf z dzf z dzf z dz（4）