误差传播定律.

1、第二章第二章 偶然误差的统计特性与精度指标偶然误差的统计特性与精度指标本章重点本章重点 1.正态分布与偶然误差的规律；正态分布与偶然误差的规律； 2.衡量精度的指标；衡量精度的指标； 3.精度、准确度、精确度以及测量不确定度的概念；精度、准确度、精确度以及测量不确定度的概念；2-1 正态分布正态分布 概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。为什么正态分布是一种重要分布？为什么正态分布是一种重要分布？（1）设有相互独立的随机变量）设有相互独立的随机变量X1，X2，Xn,其总和为其总和为X= Xi,无论这些随无

2、论这些随机变量原来服从什么分布，也不论它们是同分布或不同分布，只要它们具有机变量原来服从什么分布，也不论它们是同分布或不同分布，只要它们具有有限的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和有限的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和X的影响都是均匀地小，的影响都是均匀地小，即没有一个比其他变量占有绝对优势，其总和即没有一个比其他变量占有绝对优势，其总和X将是服从或近似服从正态分布将是服从或近似服从正态分布的随机变量。的随机变量。 换句话说，当对某个量进行观测时，总是不可避免地受到若干偶然因换句话说，当对某个量进行观测时，总是不可避免地受到若干偶然因素的影响，其中每一个引起的基本误差项为素的影响

3、，其中每一个引起的基本误差项为i，而总的测量误差，而总的测量误差 = i，如，如果每一个果每一个对其总和对其总和 的影响都是均匀地小，那么，总和的影响都是均匀地小，那么，总和 就是服从正态分布就是服从正态分布的随机变量。的随机变量。（2）有许多种分布，如二项分布、）有许多种分布，如二项分布、t分布等等，当分布等等，当n 时，它们多趋近于时，它们多趋近于正态分布，或者说许多种分布都是以正态分布为极限分布的。正态分布，或者说许多种分布都是以正态分布为极限分布的。一、一维正态分布一、一维正态分布1.概率密度概率密度:其中其中和和是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯分布。对一维随机是分布密度的两个

4、参数。正态分布也称为高斯分布。对一维随机变量数字特征为变量数字特征为和和的正态分布，一般记为的正态分布，一般记为 x 。)x(21exp21f(x)x(e21)x(f222)x(2 或写为或写为),(N2.一维正态随机变量一维正态随机变量X的数学期望和方差的数学期望和方差推导：推导：作变量代换，令作变量代换，令则有则有 因为因为 故故等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编概率统计原理在测量中的应用概率统计原理在测量中的应用293页。页。 xdx)x(f)x(E 222dx)x(Ex)x(f)x(ExE)x(D dxe21xdx)x(xf)X(E22)x

5、(21 dtdx,tx,xt 2dte0)t21d(-e -dte tdte2dte t2dte )t(21)X(E222222t212t21t21t21t21t21 22)X(E数学期望数学期望 有甲乙两射手他们射击技术如下表：有甲乙两射手他们射击技术如下表：击中环数x 8 9 10 随机量概率概率 P甲乙 0.3 0.1 0.6 0.2 0.5 0.3试问哪一个射手技术好呢？试问哪一个射手技术好呢？ 甲：甲：80.3+90.1+100.6=9.3 乙：乙： 80.2+90.5+100.3=9.1平均起来甲的技术好些。这种平均值就是随机变量的数学期望。平均起来甲的技术好些。这种平均值就是随机

6、变量的数学期望。定义定义1.1：设离散型的随机变量的分布律为设离散型的随机变量的分布律为 PX=xi=pi ，i =1,2, 若级数若级数 绝对收敛，则称级数绝对收敛，则称级数 为随机变量为随机变量X的数学期的数学期望或算数平均值，记为望或算数平均值，记为i1iipx i1iipx i1iipx)X(E 定义定义1.2：若连续型的随机变量若连续型的随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，若积分，若积分绝对收敛，则称积分绝对收敛，则称积分 为为X的数学期望或平均值，记为的数学期望或平均值，记为 dx)x(xf dx)x(xf dx)x(xf)X(E一维正态随机变量一维正态随机变量X的数学期望

7、的数学期望 dx)x(fe2dxe21)2)-(xd(-e2dxe2)d(x2xdxe21)(xdxe21xdx)x(xf)X(E22222222222222)x(21)x(2122)x(21)x(21)x(21)x(21)x(21推导：推导：dx2)-2(x)2)-(xd(222 概率概率=10e122)x(21 xxee 由由数学期望看出数学期望看出甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均值的离散程度，最直观的方

8、法求偏差的数学期望，即值的离散程度，最直观的方法求偏差的数学期望，即但上式带有绝对值，运算不方便，通常用但上式带有绝对值，运算不方便，通常用 来度量随机变量相来度量随机变量相对其均值的离散程度。对其均值的离散程度。方差定义：方差定义：设设X是一随机变量，若是一随机变量，若 存在，则称之为随机变量存在，则称之为随机变量的方差，记为的方差，记为 XEXE 2XEXE 2XEXE 2XEXEXD 在应用中为了与随机变量有相同的量纲，引入在应用中为了与随机变量有相同的量纲，引入标准差标准差（或（或均方差均方差），记），记为为 XDX 由定义可知，方差就是随机变量由定义可知，方差就是随机变量X的函数的函

9、数 的数学期的数学期望，对于离散型的随机变量，若望，对于离散型的随机变量，若X的分布律为的分布律为 则有则有 2XEXXg ，2 , 1i,pxXPii 212iii21iipn1pXExXD对于连续型的随机变量对于连续型的随机变量X，若，若X的概率分布密度函数为的概率分布密度函数为f(x)，则有，则有 22dx)x(Ex)x(f)X(D 推导推导 dxe2xdx)x(f)x(Ex)X(D222x22 dtdx,tx,xt 2t-dte2dtet2dte2tXD22t-22t-222t-22222 2t-22t-22ev,dtdu,2tdedvt,u 令令 dte02dtete2XD2t-22

10、t-2t-2222 2t21XD2dte2 dxuvuvdxvu 222dx)x(Ex)x(f)x(ExE)x(D 推导推导作变量代换，令作变量代换，令即即证毕。证毕。dtdx,xt dxuvuvdxvu,ev,dtdu),2t(dedv, tu)2t-de t2-dtet2dx)x(Ex)x(f)x(ExE)x(D2t22t22t22t22222222则则有有设设（ 222t2t22t2222)dtete(2dtet2)X(D222 3.一维正态随机变量出现在给定区间一维正态随机变量出现在给定区间 内的概率内的概率则有则有由正态分布概率数值表查得：由正态分布概率数值表查得：)k,k( dx2

11、)x(Ex(exp21dx)x(f)kxk(Pkk22kk xtdt2texp22dt2texp21)kxk(Pk02kk2 683. 0)(xp955. 0)22(xp997. 0)33(xp如果令如果令二、二、N维正态分布维正态分布 设随机向量设随机向量 服从正态分布，则服从正态分布，则n维正态分布的随机向维正态分布的随机向量量X的联合概率密度函数是的联合概率密度函数是n维正态随机变量维正态随机变量 的数学期望和方差（的数学期望和方差（数字特征数字特征）分别为）分别为其中：其中： 是随机变量是随机变量Xi的方差，的方差， 是随机变量是随机变量Xi对随机变量对随机变量Xj的互协方差。的互协方

12、差。 Tn21)x,x,x(X X1XXTX2n21XXXDX21exp2D1)X(f Tn21)x,x,x(X XXdX)X(f)X(E XX22DdX)X(EX)X(f)X(EXE)X(D Xn21n21)x(E)x(E)x(E)X(E TXX)X(EX)X(EXED 2xxxxxxx2xxxxxxx2xn2n1nn2212n1211 2xi jixx 2-2 偶然误差的规律性偶然误差的规律性 任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数。这一数任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数。这一数值就称为该观测量的真值。从概率和数理统计的观点看，当观测量仅含偶值就称

13、为该观测量的真值。从概率和数理统计的观点看，当观测量仅含偶然误差时，其数学期望也就是它的真值。然误差时，其数学期望也就是它的真值。一、真误差一、真误差偶然误差的定义偶然误差的定义 设进行了设进行了n n次观测，其观测值为次观测，其观测值为L L1 1、L L2 2、L Ln n, ,假定观测量的真值假定观测量的真值为为 、 、 ，由于各观测值都带有一定的误差，由于各观测值都带有一定的误差 ，因此，每一，因此，每一观测值观测值L Li i与其真值或与其真值或E E（L Li i）之间必存在一差数，设为）之间必存在一差数，设为 iiiiiiLLLL 或i1L2LnL（2-2-1）式中式中 称为真误

14、差，有时简称为误差。称为真误差，有时简称为误差。,LLLL,LLLLn111 ,nn211 ,nn211 ,n LL Tn21LE,LE,LELE .LEL,LLE （2-2-3）若记若记则有则有（2-2-2）如果以被观测量的数学期望如果以被观测量的数学期望表示其真值，则表示其真值，则 测量平差中所要处理的观测值是测量平差中所要处理的观测值是假定不包含系统误差和粗差的假定不包含系统误差和粗差的，仅仅仅仅是指是指偶然误差偶然误差。 人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布表现出一定的统计规律性，那就是它服从正

15、态分布。分布表现出一定的统计规律性，那就是它服从正态分布。1 1. 统计表统计表 在某测区，在相同的条件下，独立地观测了在某测区，在相同的条件下，独立地观测了358358个三角形的全部内角，个三角形的全部内角，由于观测值带有误差，故三角观测值之和不等于其真值由于观测值带有误差，故三角观测值之和不等于其真值180180，根据（，根据（2-2-2-2-1 1）式，各个三角形内角和的真误差可由下式算出：）式，各个三角形内角和的真误差可由下式算出：式中式中( (L L1 1+L+L2 2+L+L3 3) )i i表示各三角形内角和的观测值。表示各三角形内角和的观测值。 现取误差区间的间隔现取误差区间的

16、间隔d d为为0.200.20，将一组误差按其正负号与误差值的，将一组误差按其正负号与误差值的大小排列；统计误差出现在各区间内的个数，以及大小排列；统计误差出现在各区间内的个数，以及“误差出现在某个区间误差出现在某个区间内内”这一事件的这一事件的频率频率(n(n= 358= 358），其结果列于表），其结果列于表2-12-1中。中。 358,2 ,1i180LLLi321i 二、偶然误差的统计规律二、偶然误差的统计规律 误差的误差的 区间区间 为负值为负值 为正值为正值 备备注注 个数个数 频率频率 个数个数 频率频率 0.000.200.200.400.400.600.600.800.801

17、.001.001.201.201.401.401.601.60以上以上 454033231713640 0.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.0110 0.6300.5600.4600.3200.2350.1800.0850.0550 464133211613520 0.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.0060 0.6400.5750.4600.2950.2250.1800.0700.0300 d= 0.20等于等于区间区间左端左端值的值的误差误差算入算入该区该区间内间内和和 1810.505 177 0.495 in/

18、i dni/n/i dni/i表表 2-1 从表从表2-12-1中可以看出，误差的分布情况具有以下性质：中可以看出，误差的分布情况具有以下性质： （1 1）误差的绝对值有一定的限值；）误差的绝对值有一定的限值； （2 2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差；）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差； （3 3）绝对值相等的正负误差的个数相近。）绝对值相等的正负误差的个数相近。 为了便于以后对误差分布互相比较，选取另一测区的为了便于以后对误差分布互相比较，选取另一测区的421421个三角形个三角形内角和的一组真误差，按上述方法作了统计，其结果列于表内角和的一组真误差，按上述方法作了统计，其结果列于表

19、2-22-2。 表表2-22-2中所列的中所列的421421个真误差，尽管其观测条件不同于表个真误差，尽管其观测条件不同于表1-11-1中的真中的真误差，但从表中可以看出；愈接近于零误差的区间，其频率愈大；随着误差，但从表中可以看出；愈接近于零误差的区间，其频率愈大；随着离开零误差愈来愈远，其频率亦逐渐递减；且出现在正负误差区间内的离开零误差愈来愈远，其频率亦逐渐递减；且出现在正负误差区间内的频率基本上相等。表频率基本上相等。表2-22-2的误差分布情况与表的误差分布情况与表2-12-1内误差分布的情况具有内误差分布的情况具有相同的性质。相同的性质。表表 2-2 误差的误差的 区间区间 为负值

20、为负值 为正值为正值 备备注注 个数个数 频率频率 个数个数 频率频率 0.000.200.200.400.400.600.600.800.801.001.001.201.201.401.401.601.601.801.802.002.002.202.202.402.402.602.60以上以上 403431252016149756210 0.0950.0810.0740.0590.0480.0380.0330.0210.0170.0120.0140.0050.0020 0.4750.4050.3700.2950.2400.1900.1650.1050.0850.0600.0700.0250.

21、0100 3736292718171310874320 0.0880.0850.0690.0640.0430.0400.0310.0240.0190.0170.0090.0070.0050 0.4400.4250.3450.3200.2510.2000.1550.1200.0950.0850.0450.0350.0250 d= 0.20等于等于区间区间左端左端值的值的误差误差算入算入该区该区间内间内和和 2100.499 2110.501 in/i dni/in/i dni/2.2.直方图直方图 横坐标表示误差的大小，纵坐标代表横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以区间的间

22、隔各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，即值，即 取间隔值取间隔值d d=0.20=0.20，分别根据表，分别根据表2-12-1和和表表2-22-2绘出图绘出图2-12-1和图和图2-22-2。此时图中每一。此时图中每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。例如，图在该区间内的频率。例如，图2-12-1中画出中画出斜线的长方条面积，就是代表误差出现在斜线的长方条面积，就是代表误差出现在0.000.00+0.20+0.20区间内的频率为区间内的频率为0.1280.128。 dn/i 图图2-1 图图2-2 3.3.偶然误差的经验分布与理论分布

23、偶然误差的经验分布与理论分布 图图2-3 在相同观测条件下所得到的一组独立观测值的误在相同观测条件下所得到的一组独立观测值的误差，只要误差的数量差，只要误差的数量n足够大，误差出现在各区间内足够大，误差出现在各区间内的频率就总是稳定在某一常数（理论频率）附近。当的频率就总是稳定在某一常数（理论频率）附近。当n时，各频率也就趋于一个完全确定的数值，这时，各频率也就趋于一个完全确定的数值，这就是误差出现在各区间的概率。即就是误差出现在各区间的概率。即在一定的观测条件在一定的观测条件下，对应着一种确定的误差分布。下，对应着一种确定的误差分布。 在在n的情况下，由于误差出现的频率已趋于完的情况下，由于

24、误差出现的频率已趋于完全稳定，如果此时把误差区间间隔无限缩小，图全稳定，如果此时把误差区间间隔无限缩小，图 2-1及图及图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图图2-3所示的两条光滑的曲线。这种曲线也就是误差所示的两条光滑的曲线。这种曲线也就是误差的概率分布曲线，或称为误差分布曲线。由此可见，的概率分布曲线，或称为误差分布曲线。由此可见，偶然误差的频率分布，随着偶然误差的频率分布，随着n 的逐渐增大，都是以正的逐渐增大，都是以正态分布为其极限。态分布为其极限。 通常也称偶然误差的频率分布为其经验分布，而通常也称偶然误差的频率分布为其经验分布，而将正

25、态分布称为它们的理论分布。在以后的理论研究将正态分布称为它们的理论分布。在以后的理论研究中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型型. 图图2-1 图图2-24.4.偶然误差的特性偶然误差的特性 1 1）在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超）在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；出一定限值的误差，其出现的概率为零； 2 2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； 3 3）绝对值相等的正负误差出现的概率相同；）绝

26、对值相等的正负误差出现的概率相同； 4)4)根据（根据（2-2-2 2-3-3）式可知，偶然误差的数学期望为零，即）式可知，偶然误差的数学期望为零，即 换句话说，偶然误差的理论平均值为零。换句话说，偶然误差的理论平均值为零。 对于一系列的观测而言，不论其观测条件是好是差，也不论是对同对于一系列的观测而言，不论其观测条件是好是差，也不论是对同一个量还是对不同量进行观测，只要这些观测是在相同的条件下独进行一个量还是对不同量进行观测，只要这些观测是在相同的条件下独进行的，则所产生的一组偶然误差必然具有上述的四个特性。的，则所产生的一组偶然误差必然具有上述的四个特性。 0n1lim)LL(0LELEL

27、ELEEn1iin 或（2-2-4） 222e21f dn/vi（2-2-6） 图图2-1 图图2-2 图图2-3 图图2-1和图和图2-2中各长方条的纵坐标为中各长方条的纵坐标为 ，其，其面积即为误差出现在该区内的频率面积即为误差出现在该区内的频率,这种分布为经验这种分布为经验分布。其理论分布为（图分布。其理论分布为（图2-3），纵坐标就是），纵坐标就是的密的密度函数度函数 f（），而长方条的面积为），而长方条的面积为f（）d,即即代表误差出现在该区间内的概率，代表误差出现在该区间内的概率， 即即 P（）=f()d顾及顾及 为偶然误差，可写出为偶然误差，可写出的概率密度式为的概率密度式为式中

28、式中 为中误差。当为中误差。当 参数确定后，即可画出它参数确定后，即可画出它所对应误差分布曲线。由于所对应误差分布曲线。由于E（）=0，所以曲线，所以曲线是以横坐标为是以横坐标为0处的纵轴为对称轴。处的纵轴为对称轴。 当当 不同时，曲线的位置不变，但分布曲线不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的开头将发生变化。例如，图的开头将发生变化。例如，图2-3中就是表示中就是表示 不相等时的两条曲线。偶然误差是服从不相等时的两条曲线。偶然误差是服从 N（0，）分布的随机变量。）分布的随机变量。2-3 衡量精度的指标衡量精度的指标 考察上节两个实例中误差在一定区间出现的频率（考察上节两个实例中误差在一定区间

29、出现的频率（概率概率）：）： 表表2-12-1： -0.20+0.20-0.20+0.20区间的频率为区间的频率为0.2540.254（25.4%)25.4%)， -0.60 -0.60+0.60+0.60区间内的频率为区间内的频率为0.665(66.5%0.665(66.5%），）， 绝对值大于绝对值大于0.60.6误差的频率为误差的频率为0.3350.335（33.5%)33.5%) 表表1-21-2： -0.20+0.20-0.20+0.20区间的频率为区间的频率为0.1830.183（18.3%)18.3%) -0.60 -0.60+0.60+0.60区间内的频率为区间内的频率为0.4

30、92(49.2%)0.492(49.2%)， 绝对值大于绝对值大于0.60.6误差的频率为误差的频率为0.508(50.8%).0.508(50.8%). 上述数字说明表上述数字说明表2-12-1中的误差更集中于零附近，因此说这一组误差分布中的误差更集中于零附近，因此说这一组误差分布得为密集，或者说它的离散度小；相对而言，表得为密集，或者说它的离散度小；相对而言，表2-22-2中的误差分布得较为离中的误差分布得较为离散或者说它的离散度大。相应的直方图和分布曲线也能说明这一点。散或者说它的离散度大。相应的直方图和分布曲线也能说明这一点。 图图2-1 图图2-2 图图2-3 在在表表2-12-1中

31、所列的中所列的358358个观测结果是在个观测结果是在相同观测条件相同观测条件下测得的，各个下测得的，各个结果的结果的真误差并不相等真误差并不相等，有的甚至相差很大（如有的出现于，有的甚至相差很大（如有的出现于0.000.00-0.200.20区间，有的出现于区间，有的出现于0.400.40-1.60-1.60区间），但是，区间），但是，由于它们所对由于它们所对应的误差分布相同应的误差分布相同，因此，其对应的内角和的，因此，其对应的内角和的观测结果是同精度的观测结果是同精度的。 将表将表2-12-1及表及表2-22-2中数值相比较可知，表中数值相比较可知，表2-22-2中的误差分布比表中的误差

32、分布比表2-12-1中中的的误差分布较为离散误差分布较为离散，因此，表，因此，表2-22-2中所涉及的中所涉及的421421个内角和的观测值，个内角和的观测值，其其精度低于精度低于表表2-12-1中相应的内角和观测值。中相应的内角和观测值。 为了衡量观测值的精度高低，可把在一组相同条件下得到的误差，为了衡量观测值的精度高低，可把在一组相同条件下得到的误差，用误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。但在实用误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。但在实际工作中，这样做比较麻烦，有是甚至很困难，而且人们还需要对精度际工作中，这样做比较麻烦，有是甚至很困难，而且人们还需要

33、对精度有一个数字概念。这种具体的数字应该能够反映误差分布的密集或离散有一个数字概念。这种具体的数字应该能够反映误差分布的密集或离散的程度，即应能够反映其离散度的大小，因此称它为的程度，即应能够反映其离散度的大小，因此称它为衡量精度的指标衡量精度的指标。 衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。一、方差和中误差一、方差和中误差1 1、随机变量、随机变量X X的方差的方差 设有随机变量设有随机变量X X，其数学期望为，其数学期望为E(X)，其方差，其方差 定义为定义为 式中，式中，f f（x x）为）为 X X 概率分布密度函数。概率

34、分布密度函数。X X的方差也可记为的方差也可记为DxDx。2 2、观测值、观测值L L与与观测值的真误差观测值的真误差的方差的方差 L L和和均为随机变量，它们的方差是：均为随机变量，它们的方差是： 顾及顾及 则则 任一观测值的方差与任一观测值的方差与观测值误差观测值误差的方差恒等。的方差恒等。误差误差的概率密度函数为的概率密度函数为式中式中 是误差分布的方差。是误差分布的方差。 dxxfxExxExE222x ）22222L(E)(E(EDLELELD ,LLLEL,LLE,0E222 2EDLD 222e21f 22X)X(D （2-3-1）3 3、中误差、中误差 由方差的定义知由方差的定

35、义知 式中式中 就是中误差就是中误差 不同的不同的 将对应着不同形状的分布曲线，将对应着不同形状的分布曲线， 愈小，曲线愈为陡峭，愈小，曲线愈为陡峭， 愈愈大，则曲线愈为平缓。正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标大，则曲线愈为平缓。正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为为变量为为变量X X的数学期望。对于偶然误差而言，由于其数学期望的数学期望。对于偶然误差而言，由于其数学期望E E（）=0=0，所以拐点在横轴上的坐标应为所以拐点在横轴上的坐标应为 由此可见，由此可见， 的大小可以反映精度的高低。故常用中误差作为衡量精度的的大小可以反映精度的高低。故常用中误差作为衡量精度的指标。

36、指标。 如果在相同的条件下得到了一组独立的观测误差，可由（如果在相同的条件下得到了一组独立的观测误差，可由（2-2-3-23-2）式，）式，可以写出可以写出 或或 拐拐 dfED222 n1i2in2nlim 2E dfED222 (2-3-2）(2-3-3) （2-3-4）图2-44、方差和中误差的计算、方差和中误差的计算 方差，是真误差平方（方差，是真误差平方（ ）的数学期望，也就是）的数学期望，也就是 的理论平均值。的理论平均值。在分布律为已知的情况下，它是一个确定的常数。在分布律为已知的情况下，它是一个确定的常数。 或者说，方差或者说，方差 和中误差和中误差 ，分别是，分别是 和和 的

37、极限值，它们的极限值，它们都是理论上的数值。都是理论上的数值。 实际上观测个数实际上观测个数n n总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估值。方差和中误差的估值。方差 和中误差和中误差 的估值将用符号的估值将用符号 表表示，即示，即 2nn 2 22 2和和 nn2 nlimnlimnlimnlimEDn1i2innn1i2inn22 (2-3-5) (2-3-6)举例说明举例说明二、平均误差二、平均误差 1.定义定义：在一定测量条件下，一组独立的偶然真误差绝对值的数学期望称：在一定测量条件下，一组独立的偶然真误差绝对值的数学期望

38、称为平均误差，并用为平均误差，并用 表示，即表示，即 7979.05421022e22)e(d22d2exp22d2exp21d)(f)(E0202022222222 2.在有限观测值个数的条件下，观测值和真误差的平均误差估值的计算在有限观测值个数的条件下，观测值和真误差的平均误差估值的计算n542n1i 或者或者 1.253452 或或 (2-3-7) (2-3-11)三、或然误差三、或然误差( (中位数）中位数）1.1.随机变量随机变量 X X 落入区间（落入区间（a a，b b）内的概率为）内的概率为2.2.偶然误差偶然误差落入区间（落入区间（a a, ,b b）的概率为）的概率为 3.

39、3.或然误差或然误差的定义：的定义：误差出现在误差出现在（- -，+ +）之间的概率等于）之间的概率等于1/21/2，即即 如图如图2-52-5所示，图中的误差分布曲线与横轴所示，图中的误差分布曲线与横轴所包围的面积为所包围的面积为1 1，则在曲线下（，则在曲线下（- -，+ +）区间的面积为区间的面积为1/21/2。 badxxfbXaP badfbaP 21df (2-3-12) (2-3-13)图图2-5f( ) 中位数：中位数：将将在相同观测条件下在相同观测条件下得到的一组误差得到的一组误差,按绝对值的大按绝对值的大小排列，个数为奇数时，取中小排列，个数为奇数时，取中间的一个为间的一个

40、为 ；当个数为偶；当个数为偶数时，取中间两个的平均值数时，取中间两个的平均值为为 。 将将的概率密度代入（的概率密度代入（2-2-3-3-1 13 3）式，并作变量代换，）式，并作变量代换，令令则得则得由概率积分表可查得，当概率为由概率积分表可查得，当概率为1/21/2时，积分限为时，积分限为0.6745,0.6745,即得即得 上式是或然误差上式是或然误差与中误差与中误差的理论关系。由此式也可以看到不同的理论关系。由此式也可以看到不同的的也对应着不同的误差分布曲线，因此，或然误差也对应着不同的误差分布曲线，因此，或然误差也可以作为衡量精也可以作为衡量精度的指标。度的指标。 ,dtd, t,

41、t )k/)k(221dte212df/02t2 （， 234826. 1326745. 0（2-3-14） )k/()k(221dte212df/02t2 可知可知（k)=0.25,查概率积分表得查概率积分表得/=0.6745=k 在实用上，通常都是先求出中误差的估值在实用上，通常都是先求出中误差的估值 ，然后按（，然后按（2-3-14）式求出）式求出 。也可按也可按中位数中位数的方式求出的方式求出 。 4.中误差、平均误差、或然误差的比较中误差、平均误差、或然误差的比较1)只有当观测次数较多时，只有当观测次数较多时，、和和 才能够比较准确地反映测量的精度。才能够比较准确地反映测量的精度。2

42、）当观测次数较少时，）当观测次数较少时， 比比和和更能灵敏反映大的真误差的影响，在计算或然误差更能灵敏反映大的真误差的影响，在计算或然误差时，往往是先计算出中误差，故国际上通常采用中误差作为衡量精度指标。时，往往是先计算出中误差，故国际上通常采用中误差作为衡量精度指标。3）一定的测量条件对应于确定的）一定的测量条件对应于确定的 、 和和数值，反之亦然。数值，反之亦然。4）等精度观测是指每次观测的）等精度观测是指每次观测的（或者（或者和和 ）相同，并非指每次观测的真误差相同。）相同，并非指每次观测的真误差相同。5）由一系列等精度观测结果求得的）由一系列等精度观测结果求得的 、 和和 ，反映了这一

43、系列观测结果的精度，它，反映了这一系列观测结果的精度，它又是其中每个单一观测值的精度，也可以是相同测量条件下另外一系列观测结果的又是其中每个单一观测值的精度，也可以是相同测量条件下另外一系列观测结果的精度。精度。 四、四、极限误差极限误差 中误差不是代表个别误差的大小，而是代表误差分布的离散度的大小，它中误差不是代表个别误差的大小，而是代表误差分布的离散度的大小，它是代表一组同精度观测误差平方的平均值的平方根极限值，中误差愈小，即表是代表一组同精度观测误差平方的平均值的平方根极限值，中误差愈小，即表示在该组观测中，绝对值较小的误差愈多。按正态分布表查得，在大量同精度示在该组观测中，绝对值较小的

44、误差愈多。按正态分布表查得，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在（观测的一组误差中，误差落在（- -，+ +），（），（-2-2，+ +2 2）和（）和（-3-3，+3+3）的概率分别为的概率分别为 （2-2-3-3-1 15 5） 即，绝对值大于中误差，其出现的概率为即，绝对值大于中误差，其出现的概率为31.7%31.7%；绝对值大于二倍中误差的偶然；绝对值大于二倍中误差的偶然误差出现的概率为误差出现的概率为4.5%4.5%；绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率为；绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率为0.3%0.3%，是概率接近于零的小概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。是概

45、率接近于零的小概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。 通常取三倍中误差作为偶然误差的极限值通常取三倍中误差作为偶然误差的极限值限限，并称为，并称为极限误差极限误差。即。即 限限=3=3 测量实践中为了保证精度，测量实践中为了保证精度，取两倍中误差作为极限误差取两倍中误差作为极限误差， 限限=2=2 =2=2 ，超过超过极限误差的测量误差就是错误。极限误差的测量误差就是错误。 %.7 .9933P%,5 .9522P%,3 . 86P 概率区间概率区间、置信概率置信概率与与中误差中误差概率区间概率区间:对应于某一置信概率真误差落入的区间，当置信概率确定之后可利用中误对应于某一置信概率真误差落入

46、的区间，当置信概率确定之后可利用中误 差对应误差出现的区间进行估计。差对应误差出现的区间进行估计。置信概率：真误差落入的某区间的概率，可表达在一定的置信概率下真误差与中误置信概率：真误差落入的某区间的概率，可表达在一定的置信概率下真误差与中误 差的关系。差的关系。五、相对误差五、相对误差 对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。例如，对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。例如，分别测量了分别测量了1000m及及80m的两段距离观测值的中误差均为的两段距离观测值的中误差均为2cm，虽然两者的中误，虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相

47、同。显然前者的相对精度比后者要高。差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同。显然前者的相对精度比后者要高。此时，须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差，它是中误差与观测值此时，须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差，它是中误差与观测值之比。如上述两段距离，前者的相对误差为之比。如上述两段距离，前者的相对误差为 ，而后者则为，而后者则为 。相对中误差相对中误差= ，相对真误差，相对真误差= ，相对极限误差，相对极限误差=绝对误差：绝对误差：真误差、中误差、极限误差。真误差、中误差、极限误差。50000140001 D1D D1D 限限限限 D1D 2-4 精度、准确度和精确度精

48、度、准确度和精确度一、精度一、精度精度精度：是指误差分布的密集或离散的程度，也就是观测值与数学期望的接近：是指误差分布的密集或离散的程度，也就是观测值与数学期望的接近程度，是衡量偶然误差大小程度的指标。程度，是衡量偶然误差大小程度的指标。n维随机向量的精度指标是随机向维随机向量的精度指标是随机向量的量的方差方差-协方差阵协方差阵。1、协方差的基本概念、协方差的基本概念方差：方差：设两个随机变量设两个随机变量X和和Y，其真值分别为，其真值分别为 、 ，真误差，真误差分别为分别为 、 ，并且，并且 、 ；那么它们的；那么它们的方方差差分别定义为：分别定义为： ,1）协方差的定义）协方差的定义：设随

49、机变量：设随机变量X和和Y，则，则X关于关于Y的协方差定义为的协方差定义为)X(EX )Y(EY )X(EXX )Y(EYY 0)(EX 0)(EY ),(E)X(EXE2X22X )(E)Y(EYE2Y22Y YXXYYXXYEE)Y(EY)(X(EX(E nlimnlimiinn2211yxnyxyxyxnXY 即即（2-4-1）（2-4-3）nlimnlimiinn2211yxnyxyxyxnXY 或或 假设假设Z=X+Y, Z= X+ Y,分别对分别对X、Y观测观测n次，则有次，则有 X1， X2， Xn ； Y1, Y2， Yn，则有，则有 Z1= X1+ Y1， Z2= X2+ Y

50、2 ， ， Zn= Xn+ Yn。 根据根据方差的定义方差的定义，有，有XY2Y2XYXn2Yn2XnYX2Y2Xn2YXn2Zn2Z2nlim2nlimnlimn)2(limn)(limnlim YnXnY2X2Y1X1YX YXXYYXXYEE)Y(EY)(X(EX(E )(2)()(222)()()(ynxn2y2x1y1x2yn22y21y2xn22x21xynxn2yn2xn2y2x22y22x1y1x21y21x2ynxn22y2x21y1x2Z xy2y2xynxn2y2x1y1x2yn22y21y2xn22x21x2Z2Z2n)(2n)(n)(n 求中误差求中误差2)当观测次数

51、当观测次数n为有限次时，协方差的估值为有限次时，协方差的估值记为记为3)3)协方差的含义协方差的含义 当当X和和Y的协方差的协方差 时，表示这两个观测值的误差之间互不影响，时，表示这两个观测值的误差之间互不影响，它们的误差是不相关的，并称这些观测值为不相关的观测值；如果它们的误差是不相关的，并称这些观测值为不相关的观测值；如果 则表示它们的误差是相关的，称这些观测值为相关观测值，则表示它们的误差是相关的，称这些观测值为相关观测值，相关程度为相关程度为xy。 由于测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量，由于测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量，对于正态随机变

52、量而言，对于正态随机变量而言，“不相关不相关”与与“独立独立”是等价的，所以把不相关是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。 由于由于 x与与 y相互独立，其乘积也是偶然误差，顾及偶然误差的特性，相互独立，其乘积也是偶然误差，顾及偶然误差的特性，则有则有 在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、方向等，都是独立观测在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、方向等，都是独立观测值，而经过数据处理才得到的观测量，如根据直接观测值求得的各点的坐值，而经过数据处理才得到的观测量，如根据直接观测值求得的各

53、点的坐标就是不独立观测值，或称为相关观测值。标就是不独立观测值，或称为相关观测值。n)(n1iyxxyii （2-4-3）0 xy 0 xy 0EEEyxyxxy 2、观测向量的精度指标、观测向量的精度指标协方差阵（协方差阵（自协方差阵自协方差阵） 在实际测量和数据处理中，经常遇到由在实际测量和数据处理中，经常遇到由n个不同精度的相关的物理量组成个不同精度的相关的物理量组成的向量（矩阵）的问题。的向量（矩阵）的问题。 设有随机向量设有随机向量X，其矩阵表达式是：，其矩阵表达式是： n211nxxxX，其真误差向量是，其真误差向量是 n21xxx1nX)X(EX 这里这里 是是n个不同精度的相关

54、的随机变量（物理量），则随机向个不同精度的相关的随机变量（物理量），则随机向量量X的的自协方差阵自协方差阵是是n21x,x,x TXXTnnXXE)X(EX)X(EXED nn2n1nn22212n12111n21n21xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxEE )(E)(E)(E)(E)(E)(E)(E)(E)(E2xxxxxxx2xxxxxxx2xn2n1nn2212n1211 2xxxxxxx2xxxxxxx2xn2n1nn2212n1211 n21xxx)X(E ，。（2-4-5)当当X向量中各分量两两相互独立时，其协方差等于零，协方差阵为对角阵。向量中各分量两两相互独立时，

55、其协方差等于零，协方差阵为对角阵。3、互协方差阵、互协方差阵若有随机向量若有随机向量 和和 ，组成新的随机向量，组成新的随机向量 ，即，即 ，则有，则有 协方差阵是协方差阵是1)rn(Z YXZ1)rn(Z YYYXXYXXTYYTXYTYXTXXTZZ)rn()rn(ZZDDDD)()()()(E)(ED r21yyy1ry)Y(EY 1nX 1rY YXZ n21xxx1nX)X(EX r11r1n1YYXnXYYXXTZZZZEED YYYXXYXXTYYTXYTYXTXXTZZ)rn()rn(ZZDDDD)()()()(E)(ED 其中，其中，DXX和和DYY分别为分别为X和和Y的自协

56、方差阵，的自协方差阵，DXY和和DYX是互协方差阵：是互协方差阵： TYXTrnXYE)Y(EY)X(EXED rn2n1nr22212r12111r21n21yxyxyxyxyxyxyxyxyxyyyxxxEE )(E)(E)(E)(E)(E)(E)(E)(E)(Ern2n1nr22212r12111yxyxyxyxyxyxyxyxyx rn2n1nr22212r12111yxyxyxyxyxyxyxyxyx r21yyy1ry)Y(EY （2-4-6) n21xxx1nX)X(EX Z的方差阵的方差阵Dzz为为,YYYXXYXXDDDDDzz其中其中DXX和和DYY分别为分别为X和和Y的自

57、协方差阵，的自协方差阵，称称DXY为观测值向量为观测值向量X关于关于Y的的互互协方差阵协方差阵：,Drndn11n122212r12111yxyxyxyxyxyxyxyxyxXY 且有且有 ,DXYEDTXYTXYYX 当当X和和Y的维数均为的维数均为1时（即时（即X、Y都是一个观测都是一个观测n次的均值），互协方差次的均值），互协方差阵就是阵就是X关于关于Y的协方差的协方差 若若DXY =0，则称，则称X与与Y是相互独立的观测向量。是相互独立的观测向量。 互协方差阵互协方差阵DXY DYX是表征是表征两观测向量间两两观测值相关程度两观测向量间两两观测值相关程度的指标。的指标。(2-4-7)nlimnlimiinn2211yxnyxyxyxnXY 为了说明观测值的可靠性，引入为了说明观测值的可靠性，引入精度精度(精密度精密度)、准确度准确度和和不确定度不确定度的概念。的概念。二、准确度二、准确度 准确度（偏差）：是指观测值