8.2 一元线性回归模型及其应用(精讲)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)

1、1/13 8.2一元线性回归模型及其应用（精讲） 思维导图思维导图 常见考法常见考法 考点一样本中心解小题考点一样本中心解小题 【例【例 1】（2021江西赣州市）某产品在某零售摊位上的零售价x（元）与每天的销售量y（个）统计如下 表： x 16 17 18 19 y 50 m 34 31 据上表可得回归直线方程为y=-6.4x+151,则上表中的m的值为（） A38B39C40D41 3 求回归方求回归方程方法程方法 （1）利用公式利用公式求出回归系数求出回归系数 待定系教法：利用回归直线过样本点的中心求待定系教法：利用回归直线过样本点的中心求系数系数* * 一元线性回归模型及应用 最小二最

2、小二乘乘法公式法公式 考法样本中心解小题） 考法三非一元线性方程） 一元线性回归模型及应用 考法二一元线性方程 2/13 【答案】D 115+m严一一 所以=一6.4x17.5+151，解得m=41.故选：D. 4 【一隅三反】【一隅三反】 1. （2021江西景德镇市景德镇一中）随机变廖与y的数据如表中所列，其中缺少了一个数值，已知y 关于x的线性回归方程为y=09x+3，则缺少的数值为（） x 2 3 4 5 6 y 5 6 7 9 A.6B.6.6C.7.5D.8 【答案】A 【解析】设缺少的数值为m，由于回归方程为y= 9x+3过样本中心点（x，y） 代入y= .9x4+3=6.6，所

3、以 y= 故选：A. 2.（2021河南信阳市）根据如下样本数据: x 2 3 4 5 6 y 4 2.5 -0.5 -2 -3 得到的回归方程为 y=bx+a，则（） A.a0，b0 C.a0，b b0D.a0，b0 【答案】B 【解析】由图表中的数据可得，变量y随着x的增大而减小，则b0， -2+3+4+5+64+2.5-0.5-2-3 【解析】由题意x= 16+17+18+19 4 =17.5 50+m+34+31 4 115+m 4 =6.6 B.a0，b=、：(+02+02+02+12= 量的增加量约为多 参考数据：03Q0.55，709Q0.95. y(xx)(yy)回归方程 y=

4、bx+a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=I 入 i i=1 y xynxy ii i=1 yx2nx2 i i=1 入 【答案】(1)0.95；答案见解析；(2)y=0.3x+2.5 610 千克. 【解析】(1)由已知数据可得 X=2+4+?+&+8=5 所以(x- i i=1 =(-3)x(-1)+(-l)x0+0 x0+lx0+3x1二6 附：相关系数公式 i 9/13 =、沁0.95 （戶:刃口J2出“2“ Ei=1Vi=1 因为r0.75,所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系. 工C-x)C-y)6 ii6 (2)b=：一一1 1为为(=20= -3，a=45x0.

5、3=2.5 i i=1 所以回归方程为y=0.3x+2.5 当x=12时，y=0.3x12+2.5=6.1 即当液体肥料每亩使用量为 12 千克时，西红柿亩产量的增加量约为 610 千克 考点三非一元线性方程考点三非一元线性方程 【例【例 3】（2020全国高二课时练习）在一次抽样调查中测得5个样本点，得到下表及散点图. 必说明理由） （2）根据（1）的判断结果试建立y与x的回归方程；（计算结果保留整数） （3）在（2）的条件下，设z=y+x且x自4,+8），试求z的最小值. （1）根据散点图判断J=a+bx与y=c+k-x-1哪一个适宜作为y关于x的回归方程；（给出判断即可，不 工(x-XX

6、y-亍) ii 所以相关系数r= 10/13 (x一x)(xx一 4 4) 1212 xx 12 工(x-X)(y亍)工 i 参考公式：回归方程ybx+a中，bT 工（-） i i1 xy一nxy ii -i= y-2 x2一nx2 4 【答案】(1)yc+k-x-1；(2)y+1；(3)6 x 【解析】（1）由题中散点图可以判断，yc+k-x-1适宜作为y关于x的回归方程; t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 -16+12+5+2+1y7.2 k-4X16+2212+1X5+5X2+25X1一5“55X72空二 4 9.3 42+22+12+0.52+0.252一

7、5x1.552 所以，cy一kt7.2一4x1.551，贝ijy4t+1 入 所以y关于x的回归方程是y-+1 x (3)由(2)得zy+x-+x+1，xet4,+a) x z :土+x+1: f4 +x+1 -(x-x)+ :4 -4 2 1x11丿 1x2J 2 12 JU 丿 )4(x-x) 一x+2 2xx （2）令tX-1，则yc+kt，原数据变为 由表可知y与t近似具有线性相关关系，计算得t4+2+1+5+0.251.55 可得z1一 任取x1、x24，且x1x2，即x1x24 11/13 因为 x4，则 x一?0 xx 12 16 所以，z z1z z2 12/13 44 所以函

8、数z=-+x+1在区间4+8）上单调递增则zmin=4+4+1=6 【一隅三反】【一隅三反】 1（2020江苏省如皋中学高二月考）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间 x（天数）与销售单价 y（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）. 亍1 石 i-L j-1 1C i-i ID 另（叫-町-刃 E-1 1_63 37.8 0_89 0.92. -20.6 18_40 11炉 表中w=,w=乙w ix10i （1）根据散点图判断 y=a+bx，与y=c+d哪一个更适合作价格 y 关于时间 X 的回归方程类型？（不必 x 入 说明理由） （2）根据判断结

9、果和表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程. （3）若该产品的日销售量g（x）（件）与时间 x 的函数关系为g（x）=二型+120（x&N），求该产品投放 x 市场第几天的销售额最高？最高为多少元？ 附：对于一组数据（u，v），（u，v），（u，v），（u，v），其回归直线v=a+卩u的斜率和截距的最小二乘法 112233nn 13/13 为(v-v)(u-u) ii 为(uu)2 i i=1 【答案】（l）y=c+-更适合作价格 y 关于时间 X 的回归方程；（2）y=20（1+-）；（3）第 10 天，最高销xx 售额为 2420 元； 【解析】（1）根据散点图知y=c+d更适合作价格

10、y 关于时间 x 的回归方程类型;x 1 (2)令W=；，则y=c+dw x 艺(w-w)(y-y) ii i=1 c=y-dW=37.8-20 x0.89=20，即有y=20(1+丄) x 3）由题意结合（2）知： 日销售额为 f(x)=y-g(x)=20(1+-)(120-100 xx 110015 f(x)=20(1+_)(120-)=400(6+_-) xxxx2 11121 若 t=-，令h(t)=6+t5t2=-5(t-)2+ x1020 11121121 t=1时，h(t)=h()=，即x=10天,f(x)=f(10)=400 x=2420元 10max1020max20 所以该

11、产品投放市场第 10 天的销售额最高，最高销售额为 2420 元. 2.（2021江苏苏州市）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从 2021 年到 2025 年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划 发展期间近 10 年年研发资金投入额x和年盈利额y.的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型： ii 14/13 y=x+px2，y=e+t，其中x，卩，九，t均为常数，e为自然对数的底数.令ux2， ii 15/13 v=lnyC

12、=1,2,io)，经计算得如下数据: ii x 艺(x-x)2 i i=1 兰(y-y)2 i i=1 u v 26 215 65 2 680 5.36 兰(u-u i i=1 )2 兰(u-u)(y-y) ii i=1 近(v-J i i=1 b 昱(x-x)(v-v) ii i=1 11250 130 2.6 12 1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)(i)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程；(系数精确到 0.01) (ii)若希望 2021 年盈利额y为 250 亿元，请预测 2021 年的研发资金投入额x为多少亿元？(结果精确到 0.01) 乙(

13、xx)2 i i=1 a=ybx 参考数据：In2沁0.693,ln5沁1.609. 一 d八 【答案】(1)模型y=e九+t的拟合程度更好；(2)(i)y=e0-18x+o.56；(i)27.56. 【解析】(1)设u和y的相关系数为r,x和v的相关系数为r2，由题意, ii1ii2 i=1 则小lr2，因此从相关系数的角度，模型y=e儿+t的拟合程度更好. :x)(yy) ii 回归直线 y=a+bx中: r= 1 r= 2 昱(u-u)(y-y) ii 昱(x-x)(v-v) ii 昱(x-x)2昱(v-v)2 ii 130 11250 x2 12 15 =12沁0.92 65x2.613 i=1 附：相关系数r= 16/13 (2)(i)先建立v关于x的线性回归方程, 17/13 由 y=e九+t，得Iny=t+九x，即v=t+九x 昱(x-X)(v-v) 八ii12 九=-4=1=- -X)265 i t=v-XX=5.3612X26= 65 所以v关于x的线性