三角函数的图象与性质-高考理科数学压轴题分析详解

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业重点增分专题四重点增分专题四三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质全国卷全国卷 3 年考情分析年考情分析年份年份全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷2018三角函数的最值及导数三角函数的最值及导数T16三 角 函 数 单 调 性 的 应三 角 函 数 单 调 性 的 应用用T10三角函数的零点问题三角函数的零点问题T152017三角函数的图象变换三角函数的图象变换T9三角函数的最值三角函数的最值T14余 弦 函 数 的 图 象 与 性余 弦 函 数 的 图 象 与 性质质T62016三角函数的图象变换与对三角函数的图象变换与对称性称性T7三角函数的图

2、象变换三角函数的图象变换T14(1)高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第在第 612 或或 1416 题位置上题位置上考点一考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系三角函数的定义、诱导公式及基本关系

3、保分考点保分考点练后讲评练后讲评大稳定大稳定常规角度考双基常规角度考双基1.三角函数的定义及应用三角函数的定义及应用在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，以以 x 轴的非负半轴为角的始边轴的非负半轴为角的始边，角角，的终边分别与单位圆交于点的终边分别与单位圆交于点1213，513 和和35，45 ，则，则 sin()()A3665B.4865C313D.3365解析：解析：选选 D因为角因为角，的终边分别与单位圆交于点的终边分别与单位圆交于点1213，513 和和35，45 ，所以，所以 sin 513，cos 1213，sin 45，cos 35，所以所以 sin()sin cos cos

4、sin 513351213453365.2.同角三角函数的关系式及应用同角三角函数的关系式及应用若若 tan 12，则，则 sin4cos4的值为的值为()A15B35C.15D.35解析：解析：选选 Btan 12，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2cos2sin2cos2sin2cos2tan21tan2135.3.诱导公式及应用诱导公式及应用设函数设函数 f(x)(xR)满足满足 f(x)f(x)sin x当当 0 x0， 当当 26n49 时时， an0； 当当 76n99 时时， an0.2.与算法交汇与算法交汇

5、某一算法程序框图如图所示，则输出的某一算法程序框图如图所示，则输出的 S 的值为的值为()A.32B32C. 3D0解析解析： 选选A由已知程序框图可知由已知程序框图可知， 该程序的功能是计该程序的功能是计算算Ssin3sin23sin33sin2 0173的值的值因为因为 sin332，sin23sin3 sin332，sin33sin 0，sin43sin3 sin332，sin53sin23 sin332，sin63sin 20，而，而 sin73sin23 sin3，sin83sin223 sin23，sin93sin(2)sin ，所以函数值呈周期性变化，所以函数值呈周期性变化，周期

6、为周期为 6，且，且 sin3sin23sin33sin43sin53sin630.而而 2 01763361，所以输出的，所以输出的 S3360sin332.故选故选 A.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3.借助数学文化考查借助数学文化考查九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12(弦弦矢矢矢矢2)，弧田，弧田(如图如图)由圆弧和由圆弧和其所对弦所围成，公式中其所对弦所围成，公式中“弦弦”指圆弧所对弦长，指圆弧所对弦长，“矢矢”等于半径长

7、与圆心到弦的距离之等于半径长与圆心到弦的距离之差差 现有圆心角为现有圆心角为23， 半径等于半径等于 4 m 的弧田的弧田， 按照上述经验公式计算所得弧田面积约是按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A6 m2B9 m2C12 m2D15 m2解析：解析：选选 B如图，由题意可得如图，由题意可得AOB23，OA4，在在 RtAOD 中，可得中，可得AOD3，DAO6，OD12AO1242，于是矢于是矢422.由由 ADAOsin34322 3，可得弦长可得弦长 AB2AD22 34 3.所以弧田面积所以弧田面积12(弦弦矢矢矢矢2)12(4 3222)4 329(m2)故选故选 B.考点二考

8、点二三角函数的图象与解析式三角函数的图象与解析式增分考点增分考点广度拓展广度拓展题型一题型一由由“图图”定定“式式”例例 1(1)已知函数已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0,00， 0,0)的图象与的图象与 x 轴的一个交点轴的一个交点12，0到到其相邻的一条对称轴的距离为其相邻的一条对称轴的距离为4，若，若 f12 32，则函数，则函数 f(x)在在0，2 上的最小值为上的最小值为()A.12B 3C32D12精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解析解析(1)由题图可知由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点2，2，最低点最低点3

9、2，2，所以函数的最大值为所以函数的最大值为 2，即，即 A2.由图象可得，由图象可得，x2，x32为相邻的两条对称轴，为相邻的两条对称轴，所以函数的周期所以函数的周期 T23224，故故24，解得，解得12.所以所以 f(x)2sin12x.把点把点2，2代入可得代入可得 2sin122 2，即即 sin4 1，所以所以42k2(kZ Z)，解得解得2k34(kZ Z)又又 0，所以，所以34.所以所以 f(x)2sin12x34 ，故选，故选 B.(2)由题意得，函数由题意得，函数 f(x)的最小正周期的最小正周期 T442，解得，解得2.因为点因为点12，0在函数在函数 f(x)的图象上

10、，的图象上，所以所以 Asin 212 0，解得解得k6，kZ Z，由，由 00， 0)中参数的值中参数的值， 关键是把握函关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法五点法”作图作图(1)最值定最值定 A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为根据给定的函数图象确定最值，设最大值为 M，最小值为，最小值为 m，则，则 MAB，mAB，解得，解得 BMm2，AMm2.(2)T 定定：由周期的求解公式由周期的求解公式 T2，可得，可得2T.(3)点坐标定点坐标定：一般运用代入法求解一般运用代入法求解值，注意在确定值，注意

11、在确定值时，往往以寻找值时，往往以寻找“五点法五点法”中的某一个点为突破口，即中的某一个点为突破口，即“峰点峰点”“”“谷点谷点”与三个与三个“中心点中心点”题型二题型二三角函数的图象变换三角函数的图象变换例例2(1)(2019届高三届高三湘东五校联考湘东五校联考)将函将函数数f(x)sinx6 的图象上各点的横坐标伸的图象上各点的横坐标伸长到原来的长到原来的 2 倍，纵坐标不变，所得图象的一条对称轴的方程可能是倍，纵坐标不变，所得图象的一条对称轴的方程可能是()Ax12Bx12Cx3Dx23(2)(2018郑州第一次质量测试郑州第一次质量测试)若将函数若将函数 f(x)3sin(2x)(0)

12、图象上的每一个点都图象上的每一个点都向左平移向左平移3个单位长度，得到个单位长度，得到 g(x)的图象，若函数的图象，若函数 g(x)是奇函数，则函数是奇函数，则函数 g(x)的单调递增区的单调递增区间为间为()A.k4，k34 (kZ Z)B.k4，k4 (kZ Z)C.k23，k6 (kZ Z)D.k12，k512 (kZ Z)精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解析解析(1)依题意知，将函数依题意知，将函数 f(x)sinx6 的图象上各点的横坐标伸长到原来的的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2倍倍，纵坐标不变纵坐标不变，得函数得函数 g(x)sin12x6 的图象的图象令令12x

13、62k，kZ Z，得得 x2k23，kZ Z，当，当 k0 时，所得函数图象的一条对称轴的方程为时，所得函数图象的一条对称轴的方程为 x23，故选，故选 D.(2) )由题意知由题意知 g(x)3sin 2x3 3sin2x23，因为因为 g(x)是奇函数是奇函数，所以所以23k(kZ Z)， 即即23k(kZ Z)， 又又 00，左移；，左移；0，上移；，上移；k0，下移，下移伸缩变换伸缩变换由由 yf(x)变为变为 yf(x)时时，点的纵坐标点的纵坐标不变，横坐标变为原来的不变，横坐标变为原来的1|倍倍由由 yf(x)变为变为 yAf(x)时时，点的横坐点的横坐标不变，纵坐标变为原来的标不

14、变，纵坐标变为原来的|A|倍倍考点三考点三三角函数的性质三角函数的性质增分考点增分考点讲练冲关讲练冲关典例典例(1)(2018全国卷全国卷)已知函数已知函数 f(x)2cos2xsin2x2，则，则()Af(x)的最小正周期为的最小正周期为，最大值为，最大值为 3Bf(x)的最小正周期为的最小正周期为，最大值为，最大值为 4Cf(x)的最小正周期为的最小正周期为 2，最大值为，最大值为 3Df(x)的最小正周期为的最小正周期为 2，最大值为，最大值为 4(2)设函数设函数 f(x)cos( 3x)(0，所以，所以 00)的单调区间时，令的单调区间时，令xz，得，得 yAsin z(或或 yAc

15、os z)，然后由复合函数的单调性求得，然后由复合函数的单调性求得(2)图象法：图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间2判断对称中心与对称轴的方法判断对称中心与对称轴的方法利用函数利用函数 yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验函数的零点这一性质，通过检验 f(x0)的值进行判断的值进行判断3求三角函数周期的常用结论求三角函数周期的常用结论(1)yAsin(x)和和 yAcos(x)的最小正周期为的最小正周期为2|，ytan(x)的最小

16、的最小正周期为正周期为|.(2)正弦曲线正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是相邻两对称轴之间的距离是12个周期个周期，相邻的相邻的对称中心与对称轴之间的距离是对称中心与对称轴之间的距离是14个周期个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期个周期多练强化多练强化1若函数若函数 f(x) 3sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于的图象关于2，0中心对称中心对称，则函则函数数f(x)在在4，6 上的最小值是上的最小值是()A1B 3C12D32精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解析：解析：选选 Bf

17、(x)2sin2x6 ，又图象关于，又图象关于2，0中心对称，中心对称，所以所以 226k(kZ Z)，所以所以k76(kZ Z)，又，又 00，|2 的最小正周的最小正周期为期为，且，且 f3xf(x)，则，则()Af(x)在在0，2 上单调递减上单调递减Bf(x)在在6，23 上单调递增上单调递增Cf(x)在在0，2 上单调递增上单调递增Df(x)在在6，23 上单调递减上单调递减解析解析：选选 D因为因为 f(x)sin(x) 3cos(x)2sinx3 的最小正周期为的最小正周期为，所以所以2，所以所以2.因为因为 f3xf(x)，所以直线所以直线 x6是是 f(x)图象的一条对称轴图

18、象的一条对称轴，所所以以 2632k，kZ Z，所以所以6k，kZ Z，因为因为|0)的最小正周期为的最小正周期为.(1)求函数求函数 f(x)的单调递增区间；的单调递增区间；(2)将函数将函数 f(x)的图象向左平移的图象向左平移6个单位长度，再向上平移个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，若的图象，若 yg(x)在在0，b(b0)上至少含有上至少含有 10 个零点，求个零点，求 b 的最小值的最小值解解(1)f(x)2sin xcos x 3(2sin2x1)sin 2x 3cos 2x2sin2x3 .由最小正周期为由最小正周期为，得，得

19、1，所以所以 f(x)2sin2x3 ，由由 2k22x32k2，kZ Z，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业得得 k12xk512，kZ Z，所以函数所以函数 f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是k12，k512 ，kZ Z.(2)将函数将函数f(x)的图象向左平移的图象向左平移6个单位，再向上平移个单位，再向上平移1 个单位，得到个单位，得到y2sin2x1 的图象的图象，所以所以 g(x)2sin 2x1.令令 g(x)0，得得 xk712或或 xk1112(kZ Z)，所以在所以在0，上恰好有两个零点上恰好有两个零点，若若 yg(x)在在0，b上有上有 10 个零点个零点，

20、则则 b 不小于第不小于第 10个零点的横坐标即可个零点的横坐标即可所以所以 b 的最小值为的最小值为 411125912. 解题方略解题方略 解决三角函数图象与性质综合问题的思路解决三角函数图象与性质综合问题的思路(1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 yAsin(x)B(一角一角一函数一函数)的形式；的形式；(2)把把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求视为一个整体，借助复合函数性质求 yAsin(x)B 的单调性、的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题奇偶性、最值、对称性等问题多练强化多练强化(2017山东高考山东高考)

21、设函数设函数 f(x)sinx6 sinx2 ，其中，其中 03.已知已知 f6 0.(1)求求；(2)将函数将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍倍(纵坐标不变纵坐标不变)，再将得到的，再将得到的图象向左平移图象向左平移4个单位，得到函数个单位，得到函数 yg(x)的图象，求的图象，求 g(x)在在4，34 上的最小值上的最小值解：解：(1)因为因为 f(x)sinx6 sinx2 ，所以所以 f(x)32sin x12cos xcos x32sin x32cos x精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 312sin x32cos x

22、 3sinx3 .因为因为 f6 0，所以所以63k，kZ Z.故故6k2，kZ Z.又又 00，|2的图象如图所示的图象如图所示，为了为了得到得到 g(x)cosx3 的图象，则只需将的图象，则只需将 f(x)的图象的图象()A向左平移向左平移4个单位长度个单位长度B向右平移向右平移4个单位长度个单位长度C向左平移向左平移12个单位长度个单位长度D向右平移向右平移12个单位长度个单位长度解析解析根据函数根据函数 f(x)sin(x)的部分图象知，的部分图象知，T471234，T，即，即2，解得解得2.根据根据“五点作图法五点作图法”并结合并结合|0，22的部分图象如图所示，则的部分图象如图所

23、示，则的值为的值为()A3B.3C6D.6解析解析：选选 B由题意由题意，得得T2362，所以所以 T，由由 T2，得得2，由图可知由图可知 A1，所以，所以 f(x)sin(2x)又又 f3 sin230，22，所以，所以3.3 (2019 届高三届高三西安八校联考西安八校联考)已知函数已知函数 f(x)cos(x)(0)在在 x3时取得最小值时取得最小值，则则 f(x)在在0，上的单调递增区间是上的单调递增区间是()A.3，B.3，23精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业C.0，23D.23，解析：解析：选选 A因为因为 0，所以，所以330)在区间在区间4，23 上单调递上单调递增

24、，则增，则的取值范围为的取值范围为()A.0，83B.0，12C.12，83D.38，2解析：解析：选选 B法一：法一：因为因为 x4，23 ，所以，所以x646，236 ，因为函数因为函数 f(x)sinx6 (0)在区间在区间4，23 上单调递增，上单调递增，所以所以462k2，kZ，2362k2，kZ，即即8k83，kZ，3k12，kZ.又又0，所以，所以 012，选，选 B.法二法二： 取取1， f4 sin46 sin120， f3 sin36 sin21， f23 sin236 sin5612，不满足题意，排除，不满足题意，排除 A、C、D，选，选 B.二、填空题二、填空题7(20

25、18惠州调研惠州调研)已知已知 tan 12，且，且，32 ，则，则 cos2 _.解析：解析：法一：法一：cos2 sin ，由，由，32 知知为第三象限角，为第三象限角，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业联立联立tan sin cos 12，sin2cos21，得得 5sin21，故，故 sin 55.法二：法二：cos2 sin ，由，由，32 知知为第三象限角，由为第三象限角，由 tan 12，可知点，可知点(2，1)为为终边上一点，由任意角的三角函数公式可得终边上一点，由任意角的三角函数公式可得 sin 55.答案：答案：558已知函数已知函数 f(x)sin(x)|0的图象

26、在的图象在 y 轴右侧的第一个最高点轴右侧的第一个最高点为为P6，1，在原点右侧与，在原点右侧与 x 轴的第一个交点为轴的第一个交点为 Q Q512，0，则，则 f2 的值为的值为_解析：解析：由题意得由题意得T451264，所以，所以 T，所以，所以2，将点将点 P6，1代入代入 f(x)sin(2x)，得得 sin261，所以，所以62k(kZ Z)又又|6 ，若，若 f(x)的值域是的值域是1，32 ，则，则 m 的最大值是的最大值是_解析：解析：由由 x6，m，可知，可知563x33m3，f6 cos5632，且，且 f29 cos 1，要使要使 f(x)的值域是的值域是1，32 ，需

27、要需要3m376，即，即29m518，即即 m 的最大值是的最大值是518.答案：答案：518精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业三、解答题三、解答题10(2018石家庄模拟石家庄模拟)函数函数 f(x)Asinx61(A0，0)的最小值为的最小值为1，其图象相其图象相邻两个最高点之间的距离为邻两个最高点之间的距离为.(1)求函数求函数 f(x)的解析式；的解析式；(2)设设0，2 ，f2 2，求，求的值的值解：解：(1)函数函数 f(x)的最小值为的最小值为1，A11，即，即 A2.函数函数 f(x)的图象的相邻两个最高点之间的距离为的图象的相邻两个最高点之间的距离为，函数函数 f(x

28、)的最小正周期的最小正周期 T，2，故函数，故函数 f(x)的解析式为的解析式为f(x)2sin2x6 1.(2)f2 2sin6 12，sin6 12.02，660)，函数，函数 f(x)mn 3，直线，直线 xx1，xx2是函数是函数 yf(x)的图象的任意两条对称轴，且的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为的最小值为2.(1)求求的值；的值；(2)求函数求函数 f(x)的单调递增区间的单调递增区间解解：(1)因为向量因为向量 m(2sin x，sin x)，n(cos x，2 3sin x)(0)，所以函数所以函数 f(x)mn 32sin xcos xsin x(2 3sin x) 3sin 2x2 3sin2x 3sin 2x 3cos 2x2sin2x3 .因为直线因为直线 xx1， xx2是函数是函数 yf(x)的图象的任意两条对称轴的图象的任意两条对称轴， 且且|x1x2|的最小值