随机信号分析复习_20140504.

1、随机信号分析复习随机信号分析复习2022-5-312第第1章章 概率论基础概率论基础1.1 概率公理与随机变量概率公理与随机变量1.2 多维随机变量与条件随机变量多维随机变量与条件随机变量1.3 随机变量的函数随机变量的函数1.4 数字特征与条件数学期望数字特征与条件数学期望1.5 特征函数特征函数1.6 典型分布典型分布2022-5-3131.1 概率公理与随机变量1()(),1,2,() ()kkkniiiP A P B AP A BknP B A P A()iP A()kP B A贝叶斯（贝叶斯（Bayes）公式）公式：任取事件B，先验概率(Priori Probability)：后验概

2、率(Transition Probability)：转移概率(Posteriori Probability)：()kP A B2022-5-3141.2 多维随机变量与条件随机变量 12121122,nX XXnnnFx xxP Xx XxXxn维随机变量维随机变量：n个随机变量放在一起，构成n维随机变量。其概率特性由n维联合概率分布函数与密度函数描述。X1，X2，Xn的概率特性为121212121,nnnX XXnX XXnnfx xxFx xxxx2022-5-3152022-5-3161.3 随机变量的函数 函数形如12n() Z=g(X ,X ,X )Yg X或构成从样本空间到实数域的

3、复合映射，产生新的随机变量。2022-5-317一元函数形如：Y=g(X)，其概率特性为：: ( )( ) (): ( )( )YXx g xyFyP g XyP Xx g xyfx dx式中，a=ming(-),g(+), b=maxg(-),g(+), h(y)是g(x)的反函数。对于连续型随机变量，如果对于连续型随机变量，如果g(xg(x) )是单调递增或单调递减函是单调递增或单调递减函数，则满足下面定理。数，则满足下面定理。2022-5-318 二元函数：二元函数表示为z=g(X,Y), 其分布函数为 x,y :,( )(, ),: ( , ) = ,ZXYg x yzFzP g X

4、YzPX Yx yg x yzfx y dxdy2022-5-3191.4 数字特征与条件数学期望 ( )f x( )x f x dx ( )( )E xxf x dx定义1.1 若随机变量X的密度函数为 ，且 ，则称为X的数学期望(Expectation)，或统计(集)平均(Ensemble Average)()iiiixpxx dxx p( )iiiE xx p当X为离散型随机变量时，f(x)完全由冲击函数组成，更为简洁的书写方式为EX, EX2, Eg(X)。2022-5-3110基本性质（1）线性（2）若X1,X2,Xn 独立，（3）对于Z=g(X)，有()( )E aXbYcaE X

5、bE Yc1212() ()()nnE X XXE X E XE X()( )( )( )( )ZXE g XE Zzfz dzg x fx dx其中a、b、c为任意常数。11212,121_(,)( ,)( ,)nnnXXnnE g XXXg x xxfx xx dxdx类推，2022-5-3111 K阶矩(Moment)和(k+r)阶联合矩（或混合矩）(Joint Moment)定义如下： 绝对原点矩： 原点矩： 中心矩：kEXkrEXYkkmE Xkrk rmE X YkkE XEX krk rEXEXYEY2022-5-3112重要数字特征 均方值： 方差： 联合矩： 协方差： 相关系

6、数：22mEX22()E XEX11()mE XY11()()(, )E XEX YEYCov X Y(, )XYXYCov X Y 2022-5-3113方差和协方差的性质222i121()() ;()(), ac,1,2, ,()()()nnVar XEXEXVar aXca Var XinVar XXXVar XVar X和 为任意常数；若X两两独立，则(, )()() ( );(,)(,)( ,)Cov X YE XYE X E YCov XY ZCov X ZCov Y Z。方差的基本性质：协方差的基本性质：2022-5-3114无关、正交、独立三者之间的关系（1）随机变量X与Y无关

7、(Uncorrelated)：Cov(X,Y)=0或 XY0，即E(XY)=E(X)E(Y)；（2）随机变量X与Y正交(Othogonal)：E(XY)=0。独立、无关与正交的关系2022-5-31151.5 特征函数 （一维）特征函数1. 基本概念定义1.2 随机变量X的特征函数定义为式中( )jvXXvE e1j 当X为连续型或离散型随机变量时，分别计算如下： ( )( )ijvxXXjvxXiivefx dxvep2022-5-3116定理定理1.4 随机变量随机变量X的密度函数的密度函数fX(x)与特征函与特征函数数X(v)是一对傅立叶变换。是一对傅立叶变换。 fX(x) X(-v),

8、 fX(-x) X(v)2022-5-3117 利用傅立叶变换求特征函数 先求密度函数的傅立叶变换，然后将结果中的w更换为-v； 先将密度函数的自变量x反号后再求傅立叶变换，然后将结果中的w更换为v。 特征函数既是复随机变量特征函数既是复随机变量ejvX的数学期望，也是的数学期望，也是fX(x)的傅立叶变换的傅立叶变换；特征函数必然存在，通常是复数，以另外一种方式全面地描述随机变量的特性。定理定理1.5 （唯一性定理）密度函数（唯一性定理）密度函数fX(x)与特征与特征函数函数X(v)相互唯一确定。相互唯一确定。2022-5-31182、基本性质、基本性质 性质性质1： 独立随机变量之和的特征

9、函数是它独立随机变量之和的特征函数是它们各自的特征函数之积。们各自的特征函数之积。 X1+X2+Xn (V)= X1(V) X2(V ) Xn(V)独立随机变量之和的密度函数是各密度函数的卷积。独立随机变量之和的密度函数是各密度函数的卷积。2022-5-3119性质性质3 ：若随机变量：若随机变量X的的r阶绝对矩有穷，即阶绝对矩有穷，即E|X|r 0。2022-5-3170互功率谱密度互功率谱密度互功率谱通常是复函数，反映了两个信号的关联互功率谱通常是复函数，反映了两个信号的关联性沿性沿w轴的密度状况。轴的密度状况。2022-5-3171（1)两种互功率谱的实部相同，而虚部反号；（2)实信号的

10、互相关函数为实函数，因此，互功率谱的实部都是偶函数，虚部都是奇函数。 性质性质2 互功率谱具有对称性。互功率谱具有对称性。*( )( )XYYXSwSw*( )()XYXYSwSw2022-5-31723.5 白噪声与热噪声 2022-5-3173 1,00,000CRCR 白噪声通常均值为零，因此C()=R()。相关系数为：白噪声有时也通俗地称为“纯随机的”： （1）无限带宽的理想随机信号 （2）功率（即方差）为无穷大 （3）而不同时刻上彼此不相关 2022-5-3174 若白噪声的每个随机变量都服从高斯分布，则称其为高斯白噪声（信号）（WGN, White Gaussian Noise）。

11、它是无关信号，也是独立信号，代表信号“随机性”的一种极限。02NR mm0()/2jwjwmmS eR m eN如果平稳序列对所有m满足或者则该序列是白噪声序列。2022-5-3175 各态历经性的定义各态历经性的定义：在一定条件下，随机信号的任何一个样本函数的时间平均（观察时间足够时间平均（观察时间足够长）长），从概率意义上趋近于或等于统计平均值趋近于或等于统计平均值（或集平均）（或集平均），称为各态历经性(Ergodicity)(或埃尔哥德性或遍历性)。1,( )2TTTAX tX tdtE X tT第4章 各态历经性与随机实验2022-5-3176各态历经性或遍历性的理解各态历经性或遍历

12、性的理解 随机过程的各样本函数都同样经历了随机过程的各种可能状态，或者说彷佛“遍历”信号的全部状态； 从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息； 任何一个样本函数的特性可以充分代表整个随机过程的特性。2022-5-3177 如果随机信号的所有参数都具有各态历经性，则称该信号为严格（或狭义）各态历经的。 如果随机信号的均值和相关函数同时具有各态历经性，则称该信号为广义各态历经的或广义遍历的，简称为各态历经的或遍历的。严格各态历经和广义各态历经严格各态历经和广义各态历经2022-5-3178各态历经（或遍历）过程与平稳过程的关系各态历经（或遍历）过程与平稳过程的关系l 各态历经

13、(或遍历)过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是遍历的。l 只有平稳随机过程才可能具有各态历经性l 在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。2022-5-3179 lim0,0CC 且 1lim02TTTCdT 221lim1022TTTCdTT定理4.1 若实信号X(t)广义平稳，协方差函数为C()，则其均值具有各态历经性的判断条件如下。充分条件：充要条件：充要条件：2022-5-3180定理定理4.2 若实信号若实信号X(t)广义平稳，相关函数为广义平稳，相关函数为RX()，其相关函数各态历经性的充要条件为，其相关函数各态历经性的充要条件为: 2201lim102TZX

14、TuRuRduTT其中Z(t)=X(t+)X(t)， RX()=EZ(t) 。2022-5-3181第5章 随机信号通过线性系统5.1 具有随机输入的线性时不变系统 5.2 平稳白噪声通过LTI系统 5.3 信号功率谱与带宽 5.4 噪声中的信号处理 2022-5-31821 1221122( )( )( )( )L a x ta x ta L x ta L x t若系统输入之线性组合的响应等于各自响应之线性组合，则称该系统为线性系统线性系统。对于线性系统, 若输入信号x(t)有时移, 使输出y(t)也有一个相同的时移，即y(t-)=Lx(t-), 则称该线性系统为线性时不变线性时不变(LTI

15、)系统系统, 满足以下性质：l 线性性线性性：对于任何a1, a2, x1(t), x2(t)与，有l 时不变性时不变性：()()L x ty t系统完全由算子L 确定。2022-5-3183几种特殊情形下几种特殊情形下Y(t)的概率分布的概率分布 如果X(t)是高斯过程，则Y(t)也是高斯过程，且X(t)与Y(t)是联合高斯的； 若窄带随机信号通过宽带系统，当在信号X(t)的通带内H(jw)几乎不变时，即Y(t)kX(t)，k为常数，则Y(t)与X(t)具有相似的概率特性； 如果宽带随机信号X(t)通过窄带系统，当X(t)的带宽大于系统带宽约7-10倍时，可近似认为Y(t)总是高斯的，即使X

16、(t)是一般随机信号。2022-5-3184 对于时不变系统，若过程X(t)与X(t+)的分布特性相同，则过程Y(t)与Y(t+)的分布特性也相同。 如X(t)是严格平稳的，则Y(t)也是严格平稳的。如X(t)是广义平稳的，则Y(t)也是广义平稳的。而且X(t)与Y(t)是联合广义平稳的。2022-5-3185定理定理5.2 若若X(t)为平稳过程，为平稳过程，h(t)为实为实LTI系系统，统，Y(t)=X(t)*h(t)，则，则X(t)与与Y(t)是联合广义是联合广义平稳过程，并且有平稳过程，并且有 (1) mY = mXH(j0) (2) RYX() = RX()*h() (3) RXY(

17、) = RX()*h(-) (4) RY() = RX()*h()*h(-)2022-5-3186推论推论 若若LTI系统的频响函数为系统的频响函数为H(jw)，则其互，则其互功率谱与功率谱关系如下：功率谱与功率谱关系如下：（1） SYX(w) = SX(w)H(jw)（2）SXY(w) = SX(w)H*(jw)（3） SY(w) = SX(w)|H(jw)|22022-5-31872022-5-31885.2 5.2 平稳白噪声通过平稳白噪声通过LTILTI系统系统平稳白噪声的均值为0，相关函数与功率谱为：0( )( )2NNR 0( )2NNSw 白噪声通过系统h(t)的输出噪声为Y(t

18、)，功率谱为2022-5-3189( )0Ym t 00( )( )( )* ()( )22YYhNNRChhr 20( )()2YNSwH jw200(0)()(0)42YYhNNPRH jwdwr输出信号输出信号Y(t)的均值、相关函数与功率谱的均值、相关函数与功率谱2022-5-3190系统的等效噪声带宽系统的等效噪声带宽2022-5-3191202000022002020201()22()1()2()111()2 2()(0)2()YNiwhNH jwdwPBN GNH jwH jwdwH jwH jwedwH jwrH jw由实值系统频率响应的偶对称性WN=2BN正好是系统功率传递函

19、数|H(jw)|2的矩形等效带宽。2022-5-3192随机信号的带宽随机信号的带宽000001( )11(0)( )2()2 () 22 ()j weqS wRBdwS w edws wS wS w 平稳信号平稳信号X(t)的（矩形）等效带宽的（矩形）等效带宽(Equivalent Bandwidth)定义为：定义为：对于低通信号，对于低通信号，w0 = 0；对于带通信号，；对于带通信号，w0通通常取在常取在S(w)的最大值处。的最大值处。2022-5-31931/22000()( )12( )rmswwS w dwBS w dw000( )( )wS w dwwS w dw平稳信号X(t)

20、的均方根带宽均方根带宽(RMS Bandwidth)定义为对于低通信号，w0 = 0；对于带通信号，w0等于S(w)的重心，即2022-5-3194第第6章章 带通随机信号带通随机信号6.1 希尔伯特变换与解析信号希尔伯特变换与解析信号6.2 复（值）随机信号复（值）随机信号6.3 带通信号与调制带通信号与调制6.4 窄带高斯信号窄带高斯信号2022-5-31956.1 希尔伯特变换与解析信号希尔伯特变换与解析信号 dtXttxtxHtx)(11*)()()( )( tx定义：信号定义：信号x(t)的希尔伯特（的希尔伯特（Hilbert）变换为）变换为记为 或Hx(t)，是x(t)通过LTI系

21、统h(t)=1/(t)的输出，该系统的频率响应函数为希尔伯特变换的实质是对信号的正频率移相希尔伯特变换的实质是对信号的正频率移相/2，对信号的负频率移相对信号的负频率移相+ /2。0 wj,0 w,)sgn()(jwjjwH2022-5-3196定义6.2 由实信号x(t)与它的Hilbert变换 构成的复信号为 ，称为x(t)的解解析信号析信号（Analytic Signal）或信号预包络（Pre-envelope）。)( tx)( )()(tx jtxtz)(1)()(txtjttz)(2)sgn(11)(wuwjjtjt式中u(w)是频域的阶跃函数。2022-5-3197 如果如果x(t

22、)是确定信号，则解析信号是确定是确定信号，则解析信号是确定的的，并且其频谱为Z(jw) = 2X(jw)u(w)； 如果如果x(t)是平稳随机信号，则解析信号是是平稳随机信号，则解析信号是随机的随机的，其功率谱为 SZ(w) = Sx(w)?2u(w)?2 = 4Sx(w)u(w)。2)()()()(*tztztzRtxe根据下式由解析信号求出原信号解析信号本质上是还原信号的正频率部分，解析信号本质上是还原信号的正频率部分，是实现信号的一种简洁形式。是实现信号的一种简洁形式。2022-5-3198)()(XXRR)()(XXXRR)()(XXXRR 0)( )(dttsts)0()0(XXRR

23、0)()()0(tXtXERXX若X(t)是平稳随机信号，则其希尔伯特变换也是平稳的，并且)()(XXRHR输入信号是正交变换，当输入是平稳信号时，有X(t)与X(t)的希尔伯特变换 功率相等且彼此正交。对于确定信号s(t)，有其中)(tX2022-5-31996.2 复（值）随机信号复（值）随机信号 复（值）随机变量复（值）随机变量：Z = X + jY，两个实变量作为实部和虚部，其特性由X与Y的联合统计特性FXY(x,y)所决定。 复（值）信号复（值）信号：Z(t) = X(t) + jY(t), t T，两个实信号X(t)与Y(t)其特性由X(t)与Y(t)的联合特性FXY(x,y; t

24、1,t2)所决定。2022-5-31100复随机信号的数字特征复随机信号的数字特征222)()(),()(tYEtXEttRtZEZ)()(),()()()()()(),(),(2*121*22112121tmtmttRtmtZtmtZEtZtZCovttCZZZZZZ)()(),(),(212121212121ttttCttZZZZZZ)()(),(),(212121ttttCttZZZZ复随机信号的均方值为：协方差函数为：相关系数为：互相关系数为：2022-5-31101),(),(C ),(),(12*2112*21ttCttttRttR0),()(2ttRtXE0)(),()(22tm

25、ttRt1),(, 1),(21tttt性质性质1复（或实）信号复（或实）信号X(t),t T的自相关函数与协方的自相关函数与协方差函数等满足：差函数等满足：共轭对称性：均方值为非负实数：方差为非负实数：相关系数：2022-5-31102性质性质2 2),(),(12*21ttRttRYXXY)()(),(),(2*12121tmtmttRttCYXXYXY1),(21ttXY两个复（或实）信号X(t),t T与Y(t),t T的联合矩特性满足：共轭对称性：协方差函数：相关系数：2022-5-31103复（值）随机信号的广义平稳性复（值）随机信号的广义平稳性2121),(),()(ttRttR

26、mtXE复常数若复随机信号X(t),t T的均值和相关函数满足称X(t)是广义平稳的。R()=EX(t+)X*(t)或R()=EX(t)X*(t+)，对于实信号没有差异，但对于复信号则有所不同。2022-5-31104复平稳随机信号的性质复平稳随机信号的性质 若复信号的实部与虚部联合广义平稳，则复信号是广义平稳的，反之则不一定成立。222*)0( ,)()( ),()(mRmRCRR*)()( ),()(YXXYXYYXXYmmRCRRTttX),(TttX),(TttY),(性质1 若 是复（或实）平稳信号，则性质2 若 与 是复（或实）联合平稳信号，则2022-5-31105复信号的功率谱

27、和互功率谱复信号的功率谱和互功率谱)()(wSR)()(*wSwSYXXY复信号的功率谱与互功率谱同实信号相似，并服从维纳辛钦定理，即 。它的功率谱总是正的实函数，但不一定是偶函数。互功率谱通常是复函数，仍具有共轭对称性：2022-5-31106tjwtjwetx jtxetzta00)( )()()(其中i(t)与q(t)称为同相与正交信号；r(t)与(t)称为包络与相位信号。)()()()()(tjetrtjqtita定义定义 6.3 带通信号带通信号x(t)的复包络的复包络(Complex envelop)为为包络可能为复信号，记为包络可能为复信号，记为2022-5-31107)(sin

28、)()()(cos)()(ttrtqttrti)()(arctan)()()()(22titqttqtitrtjwetatz0)()()(00)()()()( )()(ttwjtjwetretjqtitx jtxtztwtqtwtitx00sin)(cos)()()(cos)()(0ttwtrtxi(t)、q(t)、r(t)与(t)都是低频带限信号，其关系为显然则信号信号x(t)的莱斯表示的莱斯表示为：2022-5-31108)()(,)()(00wwSwSeRRazjwaz性质性质1 复信号复信号a(t)与与z(t)之间满足之间满足定理定理 6.2 带通信号带通信号x(t)广义平稳的充要条广义平稳的充要条件是件是i(t)与与q(t)满足满足)()(qiRR)()(qiiqRR2022-5-31109调制与解调调制与解调 在频带通信中，形成x(t)的过程