微分方程第一次 概念可分离量齐次方程

1、1differential equation2利用函数关系可以对客观事物作定量分析利用函数关系可以对客观事物作定量分析.但在许多实际问题中但在许多实际问题中,而根据问题所服从的客观而根据问题所服从的客观含有未知函数的导数或微分的关系式含有未知函数的导数或微分的关系式,关系式称为关系式称为对它进行研究确定出未知对它进行研究确定出未知实际上就解决了最实际上就解决了最不能直接找出所需要的函数关系不能直接找出所需要的函数关系,只能列出只能列出把这样的把这样的牛顿和莱布尼茨牛顿和莱布尼茨)(xfy 求解问题求解问题.微分方程微分方程. .规律规律,函数的过程就是函数的过程就是确定的微积分运算的互逆性确定

2、的微积分运算的互逆性,简单的简单的微分方程微分方程解微分方程解微分方程. .3 本章主要介绍本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法种常用的微分方程的解法, , 1. 微分方程的基本概念微分方程的基本概念;2. 一阶一阶微分方程微分方程; 3. 几种可积的高阶几种可积的高阶微分方程微分方程;4. 线性线性微分方程及其通解的结构微分方程及其通解的结构;5. 常系数齐次线性常系数齐次线性方程方程;6. 常系数非齐次线性常系数非齐次线性方程方程. .讨论如下几个问题讨论如下几个问题: :4(differential equation)第一节 微分方程的基

3、本概念一、问题的提出一、问题的提出二、微分方程的概念二、微分方程的概念三、小结三、小结5解解xxy2dd xxyd2,2Cxy 即即求得求得可直接积分的方程可直接积分的方程.12 xy, 1 C)(xyy 例例1. 一曲线通过点一曲线通过点),2 , 1(且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为处的切线的斜率为,2x求这曲线的方程求这曲线的方程.设所求曲线为设所求曲线为所求曲线方程为所求曲线方程为一、问题的提出6解解4 . 0dd22 ts,0时时 ttsvdd 2122 . 0CtCts , 0 s14 . 0Ct ,201 C02 C20dd tsv).(tss 可

4、直接积分的方程可直接积分的方程例例2.列车在平直的线路上以列车在平直的线路上以秒秒米米20的速度行驶的速度行驶,当制动时列车获得加速度当制动时列车获得加速度,4 . 02秒秒米米 问开始制动问开始制动后多少时间列车才能停住后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间以及列车在这段时间内行驶了多少路程内行驶了多少路程?设制动后设制动后 t 秒钟行驶秒钟行驶 s 米米,7,202 . 02tts ,204 . 0dd ttsv故故 4 . 020t).(5005020502 . 02米米 s得到开始制动到列车完全停住共需时间得到开始制动到列车完全停住共需时间),(50 秒秒, 0 v令令,50 t

5、得到列车在这段时间内行驶的路程得到列车在这段时间内行驶的路程8 我们所学习的不定积分我们所学习的不定积分,实际上就是求解实际上就是求解有些微分方程虽不象有些微分方程虽不象但经过化简但经过化简, 可以变成以上的形式可以变成以上的形式. 这些方程也可看作可直接积分的方程这些方程也可看作可直接积分的方程.这样简单这样简单,最简单的一类微分方程最简单的一类微分方程.9如如xyy 0dd)(2 xxtxtxeyyy 32yxxz 二、基本概念含有未知函数的导数含有未知函数的导数(或微分或微分)的方程的方程未知函数是一元函数的方程为未知函数是一元函数的方程为方程中所出现的导数方程中所出现的导数(或微分或微

6、分)的最高阶数称的最高阶数称微分方程微分方程: :常微分方程常微分方程(ODE);(ODE);未知函数是多元函数的方程为未知函数是多元函数的方程为偏微分方程偏微分方程(PDE).(PDE).微分方程的阶微分方程的阶. .一阶一阶一阶一阶二阶二阶一阶一阶10代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数微分方程的解微分方程的解: :Cxy 2.12 xy,2ddxxy , 4 . 0dd22 ts2122 . 0CtCts .202 . 02tts 一般的一般的n阶微分方程为阶微分方程为, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy或或11微分方程的

7、解的分类微分方程的解的分类(1) 通解通解 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意且任意常数的个数与微分方程的阶数相同常数的个数与微分方程的阶数相同.(2) 特解特解确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.如方程如方程Cxy 2.12 xy,2ddxxy 通解通解, 4 . 0dd22 ts2122 . 0CtCts 通解通解特解特解特解特解.202 . 02tts 注注一般而言一般而言，通解和特解是，通解和特解是一般和一般和特殊特殊的关系的关系.12初值问题初值问题( (柯西问题柯西问题) )求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的

8、问题.解的图象解的图象通解的图象通解的图象微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.积分曲线族积分曲线族.定解条件定解条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.11(1, 2),|2(1)2xyy 例例 中中 曲曲线线过过点点或或00020,0,20|0|20ttttssssv例例 中中 当当时时或或, ,初值条件初值条件0000|()xxyyy xy 或或00010001|,|(),()xxxxyyyyy xyy xy或或13是过定点的积分曲线是过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶二阶二阶0001( , ,),x xx xyf x y yyyyy是过定点且在定点的切线的

9、斜率为定值是过定点且在定点的切线的斜率为定值几何意义几何意义几何意义几何意义的积分曲线的积分曲线.14试求下列微分方程在指定形式下的解试求下列微分方程在指定形式下的解:., 023的解的解形如形如rxeyyyy 例例解解,yeyrx 求求将将得得,rxrey ,yeyrx 求求将将得得,2rxery yyy ,将将代入微分方程中代入微分方程中, 得得0232 rr0)1)(2( rr1, 221 rr得两个解得两个解.,221xxeyey 15例例 求含有两个任意常数求含有两个任意常数C1, C2的曲线族的曲线族满足的微分方程满足的微分方程.解解xxeCeCy221 将将 求导得求导得xxeC

10、eCy221 ,2221xxeCeCy .4221xxeCeCy 所求的微分方程所求的微分方程,的式子联立的式子联立、将将yyy . 02 yyy便得到便得到 求曲线族满足的微分方程求曲线族满足的微分方程,具体方法是具体方法是求导数求导数,并消去任意常数并消去任意常数.所以所以,若曲线族中含若曲线族中含有两个任意常数有两个任意常数,则需求到二阶导数则需求到二阶导数.最后最后,看一个相反的问题看一个相反的问题,21CC 、消去消去16微分方程微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程的解微分方程的解通解通解初始条件初始条件特解特解初值问题初值问题积分曲线积分曲线(族）族） 微分方程的基本概念微分方

11、程的基本概念: :三、小结三、小结17思考题思考题 (是非题是非题)微分方程的通解是否包含它所有的解微分方程的通解是否包含它所有的解?非非解答解答微分方程的通解不一定否包含它所有的解微分方程的通解不一定否包含它所有的解.例如例如, 微分方程微分方程0d)3(d)4(234 yyxxyx的通解为的通解为.112132Cyyxx 其中其中C为任意常数为任意常数.的通解为的通解为但它不能包含方程的解但它不能包含方程的解:. 00 yx或或18可分离变量方程可分离变量方程齐次微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程全微分方程全微分方程一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法19一阶微分方程一阶

12、微分方程0),( yyxF( , )yf x y 或或( , )(0)( , )dyP x yQdxQ x y ( , )(0)( , )dxQ x yPdyP x y ( , )( , )0P x y dxQ x y dy 20 xxyyd)(d)( 等式的每一边仅是一个变量的函数与这个等式的每一边仅是一个变量的函数与这个 可分离变量的方程可分离变量的方程)()(ygxfy 0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM或或如果可以写成如下形式如果可以写成如下形式或或特点特点变量的微分之积变量的微分之积.可分离变量的方程可分离变量的方程解法：分离变量法解法：分离变量法第二节第二节 可分

13、离变量方程可分离变量方程21可分离变量的方程求通解的步骤是可分离变量的方程求通解的步骤是: :分离变量分离变量,两边积分两边积分其中其中C为任意常数为任意常数.就是方程的通解就是方程的通解分离变量法分离变量法. .的形式；的形式；把方程化为把方程化为xxyyd)(d)( 1.2.由上式确定的解，由上式确定的解，(隐式通解隐式通解).这种解方程的方法称为这种解方程的方法称为将上式将上式;d)(d)( Cxxyy 22xydxdy2 解解xxydyd2 21|xCeey 2xCey 12|lnCxy 例例 求方程求方程 的通解的通解.21xCeey 2xCey 简化：简化：2lnlnln2xCeC

14、xy C为任意常数为任意常数23例例 求初值问题求初值问题. 1|0d)1(d)1(022xyyxyxyx解解xxxyyyd1d122 yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy )1(ln)1ln(22xCy )1(122xCy Cln21 隐式通解隐式通解 xxxd120|12xyC 将将代代入入上上式式，得得2221xy 特解特解24解解xxyyyd1dln1 xxyyd1lndln1Cxylnlnlnln Cxln Cxy lnCxey 通解为通解为.ln 的通解的通解求方程求方程yyyx 252121dyxydxxy 求求方方程程的的通通解解. .例例. .解解. .2,2,d

15、udyuxydxdx令令则则132,11duuudxuu1,3ududxu 2ln|3|,uuxC2ln|23|.xyxyC原方程可化为原方程可化为分离变量分离变量并积分得并积分得2uxy将将代代回回得得通通解解 2(1)3duu 26, 2lnd2)()(20 ttfxfxfx满足关系式满足关系式设设).()( xf则则; 2ln.xeA; 2ln.2xeB; 2ln. xeC2ln.2 xeD分析分析 有两种方法有两种方法其一，其一， 将所给选项代入关系式直接验算，将所给选项代入关系式直接验算，B(B)正确正确.其二，其二， 对积分关系式两边求导化为微分方程对积分关系式两边求导化为微分方程

16、,并注并注意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程所应满足的初始条件所应满足的初始条件.27,2lnd2)(20两边求导两边求导将关系式将关系式 ttfxfx一般一般,未知函数含于未知函数含于变上限的积分变上限的积分中时中时,常可常可通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出初始条件而解之初始条件而解之.解解 )(xf)(2)(xfxf fx222 可分离变量方程可分离变量方程xxfxfd2)()(d 两边积分两边积分Cxxfln2)(ln xCexf2)( 由原关系式由原关系式2ln)0( f, 2ln C得得得得

17、. 2ln)(2xexf 分离变量分离变量1fnl28( )d( )dyyxx )()(ygxfy 0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM( )d( )d;yyxxC 可分离变量方程可分离变量方程小结：小结：分离变量法29第三节第三节 齐次微分方程齐次微分方程如果一阶微分方程可以写成如下形式如果一阶微分方程可以写成如下形式 xygxydd齐次方程齐次方程. .则称之为则称之为22ddyxyxxy 如如, ,21 xyxy30即即,uxy 得到得到 u 满足的方程满足的方程).(dduguxux 即即,xyu 作变量代换作变量代换 ux可分离变量的方程可分离变量的方程,)(ddxu

18、ugxu xxuugud)(d 分离变量分离变量两边积分两边积分,求出通解后求出通解后, .uxy代代替替用用就得到原方程的通解就得到原方程的通解. xydd xygxyddxudd 31例例 解方程解方程解解 将方程写为将方程写为22ddyxxyxy 齐次方程齐次方程,xyu 令令,uxy 则则xuxuxydddd 方程变为方程变为21dduuxuxu 即即xxuuud1d132 积分得积分得Cxuu lnln21221 xyxy可分离变量方程可分离变量方程 xygxydd22ddyxxyxy 32带入上式得方程通解带入上式得方程通解将将xyu Cxuu lnln212Cxxyyx lnln222Cyxy 222ln33分析分析.,求求解解比比较较方方便便的的函函数数看看作作把把yx解解 yxdd,yxu 令令,uyx 则则,ddddyuyuyx 方程变为方程变为 yuyudd)1(11 ueu 齐次方程齐次方程可分离变量方程可分离变量方程 yxfyxdd)1(11 yxeyx.d)(d)1(的通解的通解求方程求方程yyxxyeyx 34两边积分两边积分Cyeuulnln)ln( 即即Ceuyu )(得通解得通解Cyexyx 分离变量分离变量yyueueuud1d1 yuyudd)1(11 ueu35