第二章系统的数学模型1

1、2022-5-301第二章 控制系统的数学模型数学模型数学模型是指描述系统当中各变量之间相互关系的数学表达式是指描述系统当中各变量之间相互关系的数学表达式控制系统数学模型具有非唯一性控制系统数学模型具有非唯一性，主要形式有，主要形式有微分方程、传递微分方程、传递函数、频率特性、结构图函数、频率特性、结构图和和信号流图信号流图等。等。同一系统不同形式的数学模型之间可以相互转换同一系统不同形式的数学模型之间可以相互转换建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的基础。建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的基础。2022-5-302控制工程中将建立系统的数学模型的过程简称为控制工程中将建立系统

2、的数学模型的过程简称为建模建模建模的方法：建模的方法：机理分析法（解析法）机理分析法（解析法）和和实验法实验法建模的原则：建模的原则：一个合理的数学模型应该折中考虑一个合理的数学模型应该折中考虑模型的简化模型的简化性性与与分析结果的准确性分析结果的准确性。建模时，必须对控制系统的工作原理以及构成系统的各个建模时，必须对控制系统的工作原理以及构成系统的各个部分有一个全面的了解，这就要求设计人员必须具备扎实部分有一个全面的了解，这就要求设计人员必须具备扎实的理论基础，并且掌握一定广度的专业知识。的理论基础，并且掌握一定广度的专业知识。2022-5-303第二章 控制系统的数学模型2-l 微分方程微

3、分方程2-2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 2-3 传递函数传递函数 2-4 结构图结构图 2-5 信号流图信号流图 2-6 利用利用MATLAB描述和求解系统数学模型描述和求解系统数学模型2022-5-3041.将系统划分为若干个将系统划分为若干个单向环节单向环节，确定每一环节的输入和输出信号。，确定每一环节的输入和输出信号。 所谓单向环节是指此环节的运动状态与后面环节的存在与否没有系所谓单向环节是指此环节的运动状态与后面环节的存在与否没有系。 2.根据个环节的工作原理和遵循的物理学的基本定律（根据个环节的工作原理和遵循的物理学的基本定律（基尔霍夫定律、基尔霍夫定律、牛顿定律

4、、热力学定律、电磁感应定律、能量守恒定律等牛顿定律、热力学定律、电磁感应定律、能量守恒定律等）建立各）建立各环节的数学模型（微分方程或代数方程）。环节的数学模型（微分方程或代数方程）。3.联立描述各环节变量之间关系的微分方程，消除中间变量，最后得到联立描述各环节变量之间关系的微分方程，消除中间变量，最后得到描述整个系统输入输出之间关系的微分方程。描述整个系统输入输出之间关系的微分方程。4.通常还按照惯例把微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项通常还按照惯例把微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项写在方程的右边，而与输出量有关的各项写在方程的左边，方程两写在方程的右边，而与输出量有关

5、的各项写在方程的左边，方程两边各导数项均按降幂排列。边各导数项均按降幂排列。2.1 2.1 微分方程微分方程一、建立控制系统微分方程的步骤一、建立控制系统微分方程的步骤2022-5-305例例2-1 图图2-1所示为所示为RLC串联电路，串联电路， ui(t)为输入量，为输入量， uo(t)为输出量。为输出量。 列写该电路的微分方程。列写该电路的微分方程。RLCui(t)uo(t)i(t)图图2-1 RLC串联电路串联电路解解:1.引入中间变量。设回路电流为引入中间变量。设回路电流为i(t) (t)u(t)udtdi(t)LRi(t)io3.消去中间变量。将电路中电容元件的约束关系方程带入上式

6、消去中间变量。将电路中电容元件的约束关系方程带入上式dt(t)duCi(t)o整理可得：整理可得：(t)u(t)udt(t)duRCdt(t)udLCioo2o2RLT1RCT2(t)u(t)udt(t)duTdt(t)udTTioo22o221若令若令可得：可得：2.列写回路的列写回路的KVL方程方程二、环节和系统建模举例二、环节和系统建模举例1、电气系统、电气系统 2022-5-3062、机械系统、机械系统 例例2-2 图图2-2是弹簧是弹簧质量质量阻尼器的机械位移系统。设外作用力阻尼器的机械位移系统。设外作用力F为为输入量，位移输入量，位移x为输出量，试求该系统的微分方程。为输出量，试求

7、该系统的微分方程。mFxkf图图2-2 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统解：解：中间变量：为了方便，在建模过程中引入的一中间变量：为了方便，在建模过程中引入的一些变量些变量:消去中间变量的方法：消去中间变量的方法： maF根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律用输入量和输出量表示中间变量，带入基用输入量和输出量表示中间变量，带入基本方程中。本方程中。kFfF2022-5-30kxFkdtdxfFf22dtxda 22dtxdmdtdxfkxFfkFFFFi maFiFkxdtdxfdtxdm22消去中间变量消去中间变量整理成标准形式整理成标准形式系统的数学模型系统的数学模型元件约束关系方程元

8、件约束关系方程基本数学关系方程基本数学关系方程mFxkf图图2-2 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统2022-5-308例例2-2(书上书上) 图2-2所示由质量、弹簧和阻尼器构成得机械位移系统。其中m为物体的质量，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数。要求确定外力F(t)为输入量，位移y(t)为输出量时，系统的数学模型。解：解： f质量-弹簧-阻尼器系统mkyFkyFkdtdyfFf（2-9） （2-8） 2022-5-30922)(dtydmFFtFfk)(22tFkydtdyfdtydm（2-11） （2-10） 根据牛顿第二定律，可以写出物体的受力平衡方程为 将式（2-8）

9、和式（2-9）带入式（2-10）中，消去中间变量并将所得方程整理成标准形式，有显然，这也是一个二阶线性定常系统。 2022-5-30103. 液位系统出水流量Q2 图2-3 液位控制系统示意图阀门目标水位H0实际水位H进水流量Q1 例例2-3考虑图2-3所示液位控制系统，其中水箱水位H为被控量，忽略次要因素，引起水箱水位变化的物理量主要是输入流量Q1和负载流量Q2。试确定该系统，节流阀开度一定时水箱水位与输入流量的关系方程。 2022-5-3011解：解：根据物质守恒定律，列出液位系统流体过程的关系方程tQQHAd)(d21HKQ 211QAHAKdtdH非线性微分方程 式中，A为容器截面积。

10、当节流阀开度一定时，通过包含连接导管和容器的液体流量为 式中，K为节流阀的流量系数。 将式（2-14）代入（2-13）中可得水箱水位与进水流量的关系方程（2-13）（2-14）2022-5-3012例（补）例（补） 求图所示他激直流电动机在电枢控制情况下的微分方程。求图所示他激直流电动机在电枢控制情况下的微分方程。图中，图中， 为电动机角速度（为电动机角速度（rad/s），），Mc为折算到电机轴上的总负载转矩为折算到电机轴上的总负载转矩 （N.m），），Ua为电枢电压（为电枢电压（V）。设激磁电流恒定，并忽略电枢效应。）。设激磁电流恒定，并忽略电枢效应。ia图图2-3 电枢控制的他激直流电动机

11、电枢控制的他激直流电动机-UaMceaUf解：解：图所示他激直流电动机在电枢控制情况图所示他激直流电动机在电枢控制情况 下：下： Ua为输入，为输入， 为输出量，为输出量， Mc为扰动量为扰动量为了便于列写方程，引进中间变量为了便于列写方程，引进中间变量：电动机电枢两端的反电势电动机电枢两端的反电势ea（V）；电）；电枢电流枢电流ia（A）；电动机轴上产生的电）；电动机轴上产生的电磁转矩磁转矩M（N.m）。）。 2022-5-3013 电枢回路电枢回路KVL方程：方程： 反电动势与转速的关系方程：反电动势与转速的关系方程：电动机轴上产生的电磁转矩电动机轴上产生的电磁转矩：电动机轴上的动力学方程

12、：电动机轴上的动力学方程：J折算到电动机轴上的总转动惯量（折算到电动机轴上的总转动惯量（kgm2）。）。)(122cmeacmeaaemeameaMCCRdtdMCCLuCdtdCCJRdtdCCJL联立、消去中间变量，并整理成标准形式联立、消去中间变量，并整理成标准形式 -UaMceaUfaaaaaaueiRdtdiLeaCe amiCM cMMdtdJCe电动机的电势常数（电动机的电势常数（Vs/rad）；）；Cm电动机的转矩常数（电动机的转矩常数（Nm/A）；）；2022-5-3014电动机的电动机的电磁时间常数电磁时间常数，单位，单位: saaaRLT meaMCCJRT euCK1m

13、eamCCRK 将所得数学模型中的参数组合写成具有一定实际意义的物理量，即令将所得数学模型中的参数组合写成具有一定实际意义的物理量，即令电动机的电动机的机电时间常数机电时间常数，单位，单位：s电动机的电动机的电压作用系数电压作用系数，单位，单位: rad/(Vs)电动机的电动机的负载作用系数负载作用系数，单位：，单位：)/(mkgsrad2022-5-3015电动机的转速随时间的变化规律电动机的转速随时间的变化规律(t)(t)取决于两种输入信号取决于两种输入信号电枢电压电枢电压和负载转矩的变化规律。根据线性系统的和负载转矩的变化规律。根据线性系统的叠加原理：两种输入信号同时作叠加原理：两种输入

14、信号同时作用下转速的变化，等于各输入信号单独作用时转速变化的叠加。用下转速的变化，等于各输入信号单独作用时转速变化的叠加。)(22ccamauMMaMdtdMTKuKdtdTdtdTT电动机的数学模型电动机的数学模型2022-5-3016三、相似系统、相似量三、相似系统、相似量Fkxdtdxfdtxdm22 例例2-2机械位移系统数学模型机械位移系统数学模型 例例2-1的的RLC串联电路中，串联电路中，Cquoq作为输出时的数学模型作为输出时的数学模型i22uqC1dtdqRdtqdL量量q作为被控量作为被控量，则，则(t)u(t)udt(t)duRCdt(t)udLCioo2o2若以电容元件

15、极板上的电荷若以电容元件极板上的电荷2022-5-3017象这样象这样具有相同形式数学模型的不同性质的物理系统称为相似系统具有相同形式数学模型的不同性质的物理系统称为相似系统。相相似系统数学模型中位于对应位置上的变量或参数称为相似量。似系统数学模型中位于对应位置上的变量或参数称为相似量。机械位移系统机械位移系统mfkxFRLC串联电路串联电路LR1/CqUi按照输入量定义相似系统：按照输入量定义相似系统： 力力-电压相似系统电压相似系统 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系，利用相似系统的概念可相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系，利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来研究与其相

16、似的复杂系统，并依此出现了仿以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统，并依此出现了仿真研究方法。真研究方法。i22uqC1dtdqRdtqdLFkxdtdxfdtxdm222022-5-3018四、四、微分方程的增量化表示微分方程的增量化表示 微分方程也称动态特性方程。当输入为恒定值，电动机处于平衡状态微分方程也称动态特性方程。当输入为恒定值，电动机处于平衡状态时，变量的各阶导数均为时，变量的各阶导数均为0，可得电动机的静态特性方程，可得电动机的静态特性方程当电动机在工作在某静态工作点当电动机在工作在某静态工作点(Uao,o o,M,Mcoco)附近的一个小范围内时，如附近的一个小范围内

17、时，如果系统受到扰动，电动机将偏离当前的平衡状态，系统各变量都将发生果系统受到扰动，电动机将偏离当前的平衡状态，系统各变量都将发生变化。用变化。用表示变化量，电动机在原平衡状态附近运动的各变量的增量表示变化量，电动机在原平衡状态附近运动的各变量的增量表示式为表示式为这是一个代数方程，它表示平衡状态下输入量、输出量之间的关系，也称这是一个代数方程，它表示平衡状态下输入量、输出量之间的关系，也称为为静态数学模型静态数学模型。线性系统的静特性可以用一个。线性系统的静特性可以用一个线性代数方程线性代数方程描述。描述。)(22ccamauMMaMdtdMTKuKdtdTdtdTTcmauMKuK2022

18、-5-3019在平衡状态附近工作时，电动机微分方程的增量化表示式在平衡状态附近工作时，电动机微分方程的增量化表示式线性系统微分方程的变量表示和增量表示线性系统微分方程的变量表示和增量表示具有相同的形式，非线性系统则不然。具有相同的形式，非线性系统则不然。0)(22ccamaummaMdtMdTKuKdtdTdtdTTaaauuu0cccMMM0)(22ccamauMMaMdtdMTKuKdtdTdtdTT变量形式微分方程：变量形式微分方程：推导过程2022-5-30202.2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化以上列举的各元件，都假设其具有线性特性，因而求得的数学模型均是线以上列举的各

19、元件，都假设其具有线性特性，因而求得的数学模型均是线性微分方程。求解线性常微分方程，可得输入信号作用下系统的性微分方程。求解线性常微分方程，可得输入信号作用下系统的时域响应，时域响应，即被控量的实际值随时间变化的规律即被控量的实际值随时间变化的规律。但是。但是l实际系统多多少少都有非线性，严格地讲，其特性只能用非线性方程描述实际系统多多少少都有非线性，严格地讲，其特性只能用非线性方程描述l目前还没有求解非线性方程的统一的方法目前还没有求解非线性方程的统一的方法l在一定条件下对非线性特性进行线性化，将非线性方程用近似的线性方程在一定条件下对非线性特性进行线性化，将非线性方程用近似的线性方程来代替

20、，就可以利用线性系统理论对系统进行分析和设计，从而避免了非来代替，就可以利用线性系统理论对系统进行分析和设计，从而避免了非线性造成的数学处理上的困难，而且所得到的结果可以在一定范围内近似线性造成的数学处理上的困难，而且所得到的结果可以在一定范围内近似地反映系统的真实特性。地反映系统的真实特性。2022-5-3021非线性数学模型线性化的条件非线性数学模型线性化的条件1.静态非线性特性。静态非线性特性。)(xfy3.系统在某个静态工作点附近的小范围内工作，即：微偏系统在某个静态工作点附近的小范围内工作，即：微偏)(00 xfy 2.非线性特性不严重，在工作点处连续，没有非线性特性不严重，在工作点

21、处连续，没有 折断点、跳跃点等。折断点、跳跃点等。y0 x0yxxy图2-5 非线性函数的线性化yyyxxxoo这样，在这样，在 处将非线性函数展开成泰勒级数处将非线性函数展开成泰勒级数)f(xy00202200)()(! 21)()()()(00 xxdxxfdxxdxxdfxfxfyxx2022-5-3022当当 足够小时，忽略足够小时，忽略 的二阶以上高阶无穷小量得的二阶以上高阶无穷小量得0 xx 0 xx )()()(000 xxdxxdfxfyx)(00 xxKyy或)(00 xfy 0)(xdxxdfK 其中非线性元件的线性化数学模型这种线性化的方法也叫微偏法，其实这种线性化的方法

22、也叫微偏法，其实质是在系统工作点附近的小偏差范围质是在系统工作点附近的小偏差范围内，以切线代替实际曲线对系统进行内，以切线代替实际曲线对系统进行研究。使用时应注意其适用范围。研究。使用时应注意其适用范围。xyy0 x0yx图图2-5 非线性函数的线性化非线性函数的线性化xy2022-5-3023例例2-6 三相桥式可控硅整流电路的输入量为控制角三相桥式可控硅整流电路的输入量为控制角，输出量为整流电，输出量为整流电压压Ud。输入。输入-输出之间的关系为输出之间的关系为 。UI为输入交流电电为输入交流电电压的有效值。求其线性化的书写模型。压的有效值。求其线性化的书写模型。cos34. 2IdUU

23、解：解：显然显然Ud是是的非线性连续函数，且各阶导数存在。的非线性连续函数，且各阶导数存在。 设额定工作点为设额定工作点为0， Ud0，当控制角当控制角在在0附近的小范围内变化时，将非线性函数在附近的小范围内变化时，将非线性函数在0处展开成处展开成泰勒级数并取其线性部分泰勒级数并取其线性部分)(000ddUUUdddKddUd0令令 即非线性函数即非线性函数 在工作点（在工作点（ 0， Ud0 ）处）处切线的斜率切线的斜率 ，则有则有cos34. 2IdUU KUd用变量表示增量，可得用变量表示增量，可得KUd2022-5-3024线性化是相对于某一额定工作点（平衡点）进行的。工作点不同，则对

24、线性化是相对于某一额定工作点（平衡点）进行的。工作点不同，则对应的切线斜率不同，线性化微分方程的系数也就不同，因此，在线性化之应的切线斜率不同，线性化微分方程的系数也就不同，因此，在线性化之前，必须确定元件的静态工作点。前，必须确定元件的静态工作点。变量的变化必须是小范围的。变量只有在足够小的范围内变化，才能保变量的变化必须是小范围的。变量只有在足够小的范围内变化，才能保证线性化具有足够的精度。证线性化具有足够的精度。线性化方程通常是以增量方程描述的。线性化方程通常是以增量方程描述的。如果元件或系统存在本质非线性，即函数具有间断点、折断点，微偏理如果元件或系统存在本质非线性，即函数具有间断点、

25、折断点，微偏理论不再适用，而只能利用非线性系统理论解决。论不再适用，而只能利用非线性系统理论解决。求取非线性环节的线性化数学模型时应注意下列几点求取非线性环节的线性化数学模型时应注意下列几点2022-5-3025六、线性系统的微分方程六、线性系统的微分方程控制系统是由多个元件组成的。在编写控制系统的微分控制系统是由多个元件组成的。在编写控制系统的微分方程时，通常是方程时，通常是先先列写组成系统的各单向元件的方程，列写组成系统的各单向元件的方程，然后然后按照它们在系统中的连接情况将方程合并，消去中按照它们在系统中的连接情况将方程合并，消去中间变量；间变量；最后最后整理出只包含系统输出变量（即被控

26、量）整理出只包含系统输出变量（即被控量）和输入变量（包括给定输入和扰动输入）的微分方程，和输入变量（包括给定输入和扰动输入）的微分方程，并写成标准形式。在列写过程中，为使信号的传送关系并写成标准形式。在列写过程中，为使信号的传送关系更加明确，往往还要画出相应的方块图。更加明确，往往还要画出相应的方块图。2022-5-3026例例2-8 编写图编写图2-11所示转速控制系统的微分方程所示转速控制系统的微分方程功率放大器电动机负载减速器运算放大器运算放大器电位器测速发电机uf反馈连接ugu1u2Mc图图2-11 转速自动控制系统原理图转速自动控制系统原理图2022-5-3027解：解：系统中电动机

27、为被控对象，电动机的转速系统中电动机为被控对象，电动机的转速为为被控量，电位器的输出被控量，电位器的输出Ug为给定输入，负载转矩为给定输入，负载转矩Mc为扰动输入。控制系统由为扰动输入。控制系统由输入电位器、运算放输入电位器、运算放大器大器、运算放大器、运算放大器、功率放大器、被控对象、功率放大器、被控对象和和测速反馈装置测速反馈装置等组成。等组成。运算放大器运算放大器起信号求差并放大的作用；运算放大器起信号求差并放大的作用；运算放大器（连同（连同RC网络）网络）起倒相和校正的作用，它使系统稳定工作且有较好的动态性能。该系统的起倒相和校正的作用，它使系统稳定工作且有较好的动态性能。该系统的方块图如图方块图如图2-12所示。所示。 运算放运算放大器大器运算放运算放大器大器功率功率放大器放大器电动机电动机测速测速发电机发电机ugufueu1u2uaMc图图2-12 转速自动控制系统方块图转速自动控制系统方块图2022-5-30281.运算放大器运算放大器 efguKuuKu111)(2.运算放大器运算放大器 )(1122udtduKu3.功率放大器功率放大器 23uKua4.电动机电动机 )(22ccamaummaMdtdMTKuKdtdTdtdTT5.测速发电机连同分压器测速发