折射和反射定律、菲涅耳公式

1、1第七、八次课、折射和反射第七、八次课、折射和反射定律、菲涅耳公式定律、菲涅耳公式 一、折射和反射定律一、折射和反射定律二、菲涅耳公式二、菲涅耳公式三、根据三、根据Fresnel公式讨论反射波和公式讨论反射波和透射波的性质透射波的性质 内容内容2一、折射和反射定律一、折射和反射定律1、折射和反射定律内容、折射和反射定律内容2、分析、分析内容内容31、折射和反射定律的内容是：折射和反射定律的内容是：时间频率是不变的；反射波和折射波均在入射面内；反射角等于入射角。折射定律折射定律：折射介质折射率与折射角正弦之积等于入射介质折射率与入射角正弦之积。 2、分析：分析： 图1rtOxzOi12界面niE

2、rEikrktEtk)(exp0trkiEEiiii)(exp0trkiEErrrr)(exp0trkiEEtttt4界面两侧的总电场为： 100exp ()exp ()iriiirrrEEEEi k rtEi krt 20exp ()ttttEEEi k rt 电场的边界条件0)(12EEn)(exp)(exp)(exp000trkiEntrkiEntrkiEntttrrriii欲使上式对任意的时间t和界面上 均成立，则必然有： rrkrkrktri(2)tri(1)可见，时间频率是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反射而变化；50)(rkkir0)(rkkit由于

3、可以在界面内选取不同方向，上式实际上意味着矢量 和 均与界面的法线 平行，由此可以推知， 、 、 与 共面，该平面称为入射面入射面。r)(irkk)(itkknikrktkncnki/1cnkr/1cnkt/2r=i (3)n2sint=n1sini (4)rkrkrktri(2)写成标量形式，并约掉共同的位置量)2cos()2cos()2cos(ttrriikkk结论：反射波和折射波均在入射面内反射波和折射波均在入射面内。反射角等于入射角折射定律6二、菲涅耳公式二、菲涅耳公式1、公式的推导2、公式的另外两种形式内容内容71、 Fresnel公式的推导折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传

4、播方向传播方向之间的关系。而反射波、折射波和入射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel公式来描述。 只推导反射波、折射波和入射波的电场 的Fresnel公式。 E方法和步骤的内旨方法和步骤的内旨电场 是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于入射面，称为s分量，另外一个振动方向在或者说平行于入射面，称为p分量。E首先首先研究入射波仅含s分量和仅含p分量这两种特殊情况。当两种分量同时存在时，则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场；然后然后根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。 81)、单独存在、单独存在s分量的分量的情形情形规定规定：电场和磁场的s分量垂直于纸面

5、，向外为正，向内为负。 图2tOri12界面nisErsEikrktsEtkipHrpHtpH在界面上电场切向分量连续： 0)(12EEn0)(12HHnstsrsiEEE000(5) tptrpripiHHHcoscoscos000(6) 在界面上磁场的切向分量连续： 9非磁性各向同性介质中 、 的数值之间的关系： EHEcnBH00EHtstrsrisiEnEnEncoscoscos020101(7)tptrpripiHHHcoscoscos000(6) stsrsiEEE000(5) s分量的透射系数titisisrsnnnnEErcoscoscoscos212100(8)010122c

6、oscoscost sisi sitEntEnn(9)s分量的反射系数102)、单独存在、单独存在p分量的分量的情形情形规定规定：p分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。 图3tOri12界面nipErpEikrktpEtkisHrsHtsHstsrsiHHH000(10) tptrpripiEEEcoscoscos000(11) E即： 的p分量的切向分量一致向右EkH组成右手坐标系H的正方向如图所示EH根据 的边界条件得：11再利用 、 的数值关系以及 、 之间的正交性，得到： EHEHititpiprpnnnnEErcoscoscoscos212100(12) 010122c

7、oscoscostpipi ptiEntEnn(13) 公式(8)、(9)、(12)、(13)称为Fresnel公式公式： titisisrsnnnnEErcoscoscoscos212100(8)tiisisrsnnnEEtcoscoscos221100(9)ititpiprpnnnnEErcoscoscoscos212100(12) itipiprpnnnEEtcoscoscos221100(13) p分量的透射系数p分量的反射系数122、公式的另外两种形式titipiprpnnnnEErcoscoscoscos212100101202coscoscoscoscostpiipi ptitn

8、EtnnE(14) (15) 令： isncos11(16) tsncos22(17) titisisrsnnnnEErcoscoscoscos212100(8)tiisisrsnnnEEtcoscoscos221100(9)ititpiprpnnnnEErcoscoscoscos212100(12) 010122coscoscostpipi ptiEntEnn(13) 将它们变形 ipncos11(18) tpncos22(19) 13于是得Fresnel公式的公式的另外一种形式：sssssisrsEEr212100ssssisrsEEt211002pppppiprpEEr212100010

9、122coscostppipi ppptEtE(20)(21)(22)(23)14利用折射定律，Fresnel公式还可以写成如下的形式： )sin()sin(titisr)tan()tan(titipr)sin(sincos2titist)sin()sin(sincos2ititiipt(24)(25)(26)(27)15三、根据三、根据Fresnel公式讨论反射波和公式讨论反射波和透射波的性质透射波的性质1. n1n2的情况的情况 内容内容161. n1t 。(1)、反射和透射系数的变化：图4tptsrprsn2/n1=2.0 1)、两个透射系数ts和tp都随着入射角i增大而单调单调降低降低

10、，即入射波越倾斜，透射波越弱，并且在正向规定下，ts和tp都大于零。 172)、rs始终小于零，其绝对值随着入射角单调增大。根据正方向规定可知，在界面上反射波电场的s分量振动方向始终与入射波s分量相反。 位相跃变位相跃变( (半波损失半波损失) ) )sin()sin(titisr负号写成在界面上任何一点，反射波s分量与入射波s分量间都有一个的位相差别。 图4n2/n1=2.0 exp()i|exp()ssrri00exp ()isi siEEi k rt 0000exp ()|exp ()rsi ssri ssrEEri krtEri krt 位相跃变位相跃变 srprstpt这样，位相差相

11、当于电磁波(光)传播半个波长的距离，所以该现象又可称为半波损失半波损失。 0exp ()ri krt 2|rkrr |2r18图4n2/n1=2.0 srprstpt3)、对于rp，它的代数值随着入射角i单调增大，但是经历了一个由负到正的变化。 )tan()tan(titipri=特定值B ，rp=0 布儒斯特布儒斯特定律定律利用折射定律 121nntgB90iB布儒斯特角布儒斯特角 (28) 如果平面波以布儒斯特角入射，则不论入射波的电场振动如何，反射波不再含有p分量，只有s分量； 如果平面波以布儒斯特角入射，反射角与折射角互为余角，所以rtkk19、当i较小时， rp0，但因它们的正向规定

12、基本相反，所以实际上仍有Eip和Erp的主要成分相反向；因此说，n1n2时，反射波电场方向总与入射波电场方向相反或接近相反。 图3tOri12界面nikrktpEtkisHrsHtsHipErpErpE20i =0的情形是一个特殊的情况，称为正入射正入射。这时，折射角t=0，由Fresnel公式容易算出在正入射时s和p分量的差别消失，用r0和t0分别表示正入射时的反射和透射系数，则有： 21210nnnnr(29) 21102nnnt(30) (29)、 (30)两式可以看出，两媒质折射率的差别越大，r0的绝对值越大，而t0值越小。从图4可以看出，四条曲线在i =0处的斜率都是零，所以公式(2

13、9)、(30)还可以用来估计小i(15)处的系数。例如，对于n2/n1=1.5，r0=-0.2，t0=0.8，在i =10时，直接由Fresnel公式计算可得到：rs=-0.2041，rp=-0.1959，ts=0.7969，tp=0.7973，可见它们分别与r0和t0接近。4)、i =0和和90的情况的情况图4n2/n1=2.0 srprstpt对于n2/n1=2.0，r0=-0.33，t0=0.67i =90的情形也是一个特殊的情况，此时，rs=-1，rp=1。ts=tp=0，这表示电磁波仅仅在界面上掠过，并未真正进入第二媒质里因此称这种入射为掠入射掠入射。这些数值画出了图4各曲线的终点。

14、 21(2)、反射率和透射率的变化波的横截面面积与投射在界面上的面积存在着关系 12As2001|2siisEcnI(31) Wis=IisA0cosi (32) 2001|2sttsEcnIWts=ItsA0cost AtAitiA02001|2srrsEcnIWrs=IrsA0cosr=IrsA0cosi 定义：定义：s分量的分量的反射率反射率Rs为为Wrs与与Wis之比；之比；s分量的分量的透射率透射率Ts为为Wts与与Wis之比之比。22于是有： 2|sisrsisrssrIIWWR212|coscoscoscossitistsitistsstnnIIWWT(33) (34) 类似地，

15、当入射波只含有p分量的时，可以求出p分量的反射率Rp和透射率Tp： 2|piprpiprpprIIWWR(35) 212|coscoscoscospitiptpitiptpptnnIIWWT(36) 将Fresnel公式代入上面四式，即可分别得到Rs、Rp、Ts、Tp与入射角i的函数关系。 23图6TpTsRpRs Rs与Ts之间、Rp 与Tp之间均存在互补关系，即：Rs+Ts=1 (37)Rp+Tp=1 (38)这表明，在界面处，入射波的能量全部转换为反射波和折射波的能量。条件：界面处没有散射、吸收等能量损失界面处没有散射、吸收等能量损失。24当入射波同时含有s分量和p分量时，由于两个分量的

16、方向互相垂直，所以在任何地点、任何时刻都有： 222|ipisiEEE从而有： Ii=Iis+Iip Wi =Wis+ Wip类似地，有：Wr =Wrs+ WrpWt =Wts+ Wtp可以定义反射率R和透射率T为： irWWR itWWT 注意：入射光波的入射光波的s分量分量(p分量分量)只对折射率、反射率的只对折射率、反射率的s分量分量(p分分量量)有贡献有贡献如果入射波中s和p分量的强度比为，Wis= Wip，则有： 11psRRR11psTTT即R和T分别是Rs、Rp和Ts、Tp的加权平均。 但是仍然有： R+T=1 25正入射时，s分量和p分量的差异消失。若用R0和T0表示此时的反射

17、率和透射率，则有： 22121200)(nnnnrR221222120120)(4nnnntnnT利用这两个等式可以估算非正入射但是入射角很小(in2的情形的情形 这种情形即由光密媒质光密媒质入射到光疏媒质光疏媒质的情形。由折射定律可知，ic两种情况来讨论。 1)、当ic时此时t90，可以直接用Fresnel公式来讨论反射波和折射波的性质，分析方法和n1n2的情形完全相同。27图7rprstpts|tp|ts|-|rp|rs|n1/n2 =1.5结论结论a)、反射系数rs、rp和n1n2的情形相反，说明s分量不再存在位相跃变；b)、sinc=tanB=n2/n1，所以必然是Bn2还是n1c时1

18、12221222cos(1 sin)() sin1ttinin(40) (41) 复数形式的反射系数 1212coscosiininnin2121coscosiininnin (42) (43) 因为i始终是实参量，形式上有：sint1，t在实数范围内不存在，可以将有关参量扩展到复数领域。 12sinsintinni 212221 1sin)(inn1212coscoscoscositsitnnrnn1212coscoscoscostiptinnrnn|exp()srsri|exp()prpri29)exp(|coscos2121rssiisirinninnr)exp(|coscos1212r

19、ppiipirinninnr(42) (43) 首先讨论|rs|、|rp|反射系数的模值|rs|、|rp|仍然可以理解为反射波和入射波对应分量的振幅比；此时， |rs|=|rp|=1，因而Rs=Rp=R=1；所以当ic时，入射波的能量全部返回到n1媒质里，这种现象称为全反射全反射或者全内全内反射反射。 图7rstp|tp|-|rp|rs|n1/n2 =1.5|ststpr30即当入射波发生全反射时，反射波中的s分量的位相跃变为： )cosarctan(212irsnn)cosarctan(21irpnn(44) (45) 它们可以理解为反射波和入射波对应分量在界面处的位相跃变。|exp()ss

20、rsrri|exp()pprprri(42) (43) 接下来讨论 和rsrpp分量的位相跃变为： s分量和p分量的位相跃变之差为： 221cos2cot()sinirsrpinarcn(46) 反切函数取主值反切函数取主值Fresnel最早设计了消色差波片的Fresnel棱镜，用来改变入射波的偏振态。这项试验的成功，说明s分量和p分量的位相跃变之差确实存在。31|rs|=|rp|=1，发生全反射。似乎光疏媒质中不存在任何折射电磁波；但是当把ts、tp的Fresnel公式推广到复数域进行计算，将会发现ts、tp都不等于零，亦即光疏媒质内有折射光波；从右图7也可直观看出， ts、tp都不等于零，

21、说明光疏媒质内有折射光波。这个折射光波有其自身的特殊性质，这种性质使折射波不能深入地进入光疏媒质内。 接下来我们进行分析。图7rstp|tp|-|rp|rs|n1/n2 =1.5|ststpr321、光疏媒质内的电磁波倏逝波(瞬逝波) )(exptrkiEEttotxzOtksincostttttkrkxkz21()cositnkn)sin(exp)/(sinexp)sin(expexp)exp()sin(exp21212221212txkiznnkEtxkiknnzEtiknnizxkiEEiiiitoiiitoiiitot(47) 倏逝波或瞬逝波 21sintiiinkrxkizkn212

22、221 1sin)(inn122122cos() sin1tiniin 2211()()iinnkiiknn 332、倏逝波的性质 1222221exp(sin)exp (sin)ttoiiiinEEkzi xktn仍然是，没有改变；说明光波的时间频率不随环境改变。 振幅21exptoinEzkn特点：折射波的振幅随着z(即随着波深入光疏媒质内部)的增大而作指数衰减，等振幅面与界面平行。 位相位相的空间分布上只与x有关，所以等相面与x轴垂直，并且沿着x方向传播，与一维波的位相表达式类似，这个波的波长是： iiiiksinsin2*(48) 倏逝波的位相速度是： *0|sinsinidiiidxdtk(49) 是光密媒质中入射波的速度。因为存在x方向上的分量，所以这个倏逝光波已经不是横波。34下面，定量估计一下倏逝波的衰减情况2222211(sin)iiinnAkknn 在n2/n1=1/1.5的情况下，衰减系数值如右表：122222211expexp(sin)toitoiinnEzkEkznn 定义为振幅的衰减系数 振幅第二媒质中深度z处的波振幅与界面处振幅之比 35可见，全反射时的折射波随着向光疏媒质深入而很快减弱，这也是倏逝波倏逝波或瞬逝波瞬逝波命名的原因，因而这种波有的参考书上称为衰逝波衰逝波。倏