材料力学第13章.

1、第十三章第十九章工程力学讲义（2）q学习与应该掌握的内容v材料力学的基本知识v基本变形的主要特点v内力计算及内力图v应力计算v二向应力状态及强度理论v强度、刚度设计q材料力学的研究模型v材料力学研究的物体均为变形固体，简称“构件”；现实中的构件形状大致可简化为四类，即杆、板、壳和块。v杆-长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的几何形状可用其轴线（截面形心的连线）和垂直于轴线的几何图形（横截面）表示。轴线是直线的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。各横截面相同的直杆，称为等直杆；v材料力学的主要研究对象就是等直杆。q变形v构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现象；变形固体的变形通常可分为

2、两种：l弹性变形-载荷解除后变形随之消失的变形l塑性变形-载荷解除后变形不能消失的变形v材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹性小变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形q变形固体的基本假设v连续性假设l假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质v均匀性假设l假设材料的力学性能在各处都是相同的。v各向同性假设l假设变形固体各个方向的力学性能都相同q材料的力学性能v-指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。q构件的承载能力：v强度-构件抵抗破坏的能力v刚度-构件抵抗变形的能力v稳定性-构件保持原有平衡状态的能力q内力的概念v构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点之间的相互作用力也

3、将随之改变，这个因外力作用而引起构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。其中：Mx、My、Mz为主矩在x、y、z轴方向上的分量。FNx、FQy、FQz为主矢在x、y、z轴方向上的分量。F FN Nx x使杆件延x方向产生轴向拉压变形，称为轴力F FQ Qy,Fy,FQ Qz z使杆件延y,z方向产生剪切变形，称为剪力Mx 使杆件绕x轴发生扭转变形，称为扭矩My、Mz使得杆件分别绕y z轴产生弯曲变形，称为弯矩利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图q截面法求内力步骤v将杆件在欲求内力的截面处假想的切开；v取其中任一部分并在截面上画出相应内

4、力；v由平衡条件确定内力大小。例：左图左半部分：Fx=0 FP=FN右半部分：Fx=0 FP,=FN,q已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面m-n上的内力解：1、假想从m-n面将机架截开（如图）；2、取上部，建立如图坐标系，画出内力FN，MZ （方向如图示）。（水平部分/竖直部分的变形？）3、由平衡方程得：Fy=0 FP-FN=0FN=FPMo=0 Fp a - Mz=0Mz =Fp a载荷特点：受轴向力作用变形特点：各横截面沿轴向做平动内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN轴力正负规定：轴力与截面法向相同为正FN=P载荷特点：作用力与截面平行（垂直于轴线）变形特点：各横截面发

5、生相互错动内力特点：内力沿截面方向（与轴向垂直），简称 剪力剪力FQ剪力正负规定：左下（右上）为正左下：指左截面（左半边物体）剪力向下载荷特点：受绕轴线方向力偶作用（力偶作用面平行于横截面）变形特点：横截面绕轴线转动内力：作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩T正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系T=M载荷特点：在梁的两端作用有一对力偶，力偶作用面在梁的对称纵截面内。变形特点：梁的横截面绕某轴转动一个角度。中性轴（面）内力：作用面垂直横截面的一个力偶，简称弯矩M弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。（形象记忆：盛水的碗）q应力的概念v单位面积上内力的大小，称为应力v平均应力P

6、m，如图所示FAPm=正应力 单位面积上轴力的大小，称为正应力；切应力 单位面积上剪力的大小，称为切应力应力单位为：1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡)常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2A截面面积对于一个单元，在其相互垂直的两个面上，沿垂直于两面交线的切应力必成对出现，且大小相等，方向均指向或背离两面的交线，此关系称为切应力互等定律或切应力双生定律。 在研究变形体内某一点的应力时，通常围绕该点作一个无限小的正六面体，简称 单元（体）；此单元的各截面分别代表该点在不同方向截面的应力。 单元受力最基本也是最简单的形式有两种：单向拉压和纯剪切-简称单向应力状态（如图）q构件

7、在外力作用下，其变形的大小用位移和应变来度量。q如图：vAA连线称为A点的线位移v角度称为截面m-m的角位移，简称转角v注意，单元K的形状也有所改变q分析单元Kv单元原棱长为x，u为绝对伸长量，其相对伸长u/ x的极限称为沿x方向的正应变。u x即： x=limx2. a点的横向移动aa，使得oa直线产生转角，定义转角为切应变=aaoa=aax)q实验证明：v当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在线性关系，即：=称为胡克定律，E为弹性模量，常用单位：Gpa（吉帕）v同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变也存在线性关系即：=此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa钢与合金钢E

8、=200-220GPaG=75-80GPa铝与合金铝E=70-80GPaG=26-30GPa木材E=0.5-1GPa橡胶E=0.008GPaq第十四章杆件的内力v14-1轴向拉伸或压缩杆件的内力v14-2扭转圆轴的内力q定义v以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为轴向拉伸或压缩q内力的计算v截面法l如左图q内力的表示v轴力图-形象表示轴力沿轴线变化的情况q例14-1 F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。解：1)截面法求AC段轴力，沿截面1-1处截开，取左段如图14-1-2所示Fx=0 FN1-F1=0得：FN1=F1=2.5kN2)求BC段轴力，从2-2截面处截开，取右段，

9、如图14-1-3所示Fx=0 FN2-F3=0得：FN2= - F3=-1.5kN（负号表示所画F FN2N2方向与实际相反）3)图14-1-4位AB杆的轴力图q为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表示轴力的大小，这样得到的图形称为轴力图。q扭转变形的定义v横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转v以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴v本课程主要研究圆截面轴q功率、转速和扭矩的关系vM=9549 q扭矩图v仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，就是扭矩图。 nP其中：M为外力矩(N.m)P为功率(kW)n转速(r/min)v如图，主动轮A的输

10、入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图解：1)1)由扭矩、功率、转速关系式求得MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.mMB=MC=350N.m；MD=446N.m2)2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图a)、b)、c);均有Mx=0 得：T1+MB=0T1=-MB= -350N.mMB+MC+T2=0T2=-MB-MC=-700N.mMD-T3=0 T3=MD=446N.m3)3)画出扭矩图如 d)v14-3弯曲梁的内力

11、v14-4弯曲梁的内力图-剪力图和弯矩图q弯曲梁的概念及其简化v杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。q常见梁的力学模型简支梁一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座外伸梁一端或两端伸出支座支外的简支梁悬臂梁一端为固定端，另一端为自由端的梁。q梁的内力v剪力FQv弯矩MCq梁内力的正负规定内力方向梁的变形例14-3 简支梁如左图，已知a、q、M=qa2；求梁的内力FAyFBy12 3aqF65AYaqF61BY2）1-1截面内力：(0 x1 a)3）2-2截面内力

12、： (ax22a)解：1）求得A、B处反力FAY,FBY；1651AY1xaqxFMaqFF65AyQ122AYQ2xqaq611a)(xqFF222222AY2a)(xq21-xaq65a)(xq21-xFM4）3-3截面内力：(0 x3 a，此处x3的起点为B点，方向如图)aq61FFBYQ3323BY3xaq61aqxFMM1.当：0 x1a 时AC段 FQ1=5q.a/62.当：ax22a 时,即CD段FQ2=11q.a/6-q.x2 ，直线x2 =a；FQ2 = 5q.a/6 （= FQ1 ）x2 =2a；FQ2 = -q.a/6 （= FQ3 ）3.当： 0 x3a (起点在B点）

13、FQ3=-q.a/6v当：0 x1a 时，M1=5q.a.x1/6为直线2651C11A1aqMax点：C0；M0 x点：A2672D22652C2q.a M, a2 xD q.a M, a xC点：点：MaqM, 0 xBMaqM, axD2B33D2267D33点：点：v当：ax22a 时，为二次曲线；M2=5qax2-q(x2-a)2/2v当： 0 x3a时（原点在B点，方向向左），M3为直线M3=qa2+q.a.x3/6; q已知：G,a,b,l,画梁AB内力图解：1求A,B支座反力( a+b=l )lGbAyFlGaByF2求x截面内力a) 0 xalGbAyQFF1xxFMlGbA

14、y1b) axa)（或CB,ab）段Qmax=Gb/ll最大弯矩在C截面处Mmax=Gab/l本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯矩方程；即：FQ=FQ(x)Mc=M(x)q简支梁受力偶作用1.求支座反力FAY,FBY得：FAY=- FBY =M/l2.AC段X截面处剪力FQ=Fay,3.同理可求得BC段剪力与AC段相同，剪力图如左4.AC段弯矩方程M1M1=FAYx=M x /L5.BC段弯矩方程M2M2=FAY x-M=M(x - L)/L悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图写出A点x处截面的剪力方程和弯矩方程剪力图、弯矩图如右，

15、最大剪力、弯矩均发生在B点，且xqFQxqM21qlMqlFmaxmaxQ21v设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），现分析剪力、弯矩与载荷集度的关系。取x处一小段dx长度梁，如图，由平衡方程得：Fy=0; FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0(a)MC=0;M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0(b)在上式中略去高阶微量后，得q(x)dx(x)dFQ(x)FQdxdMq(x)dxdFQdxMd22q(x)=0的区间q(x)=C的区间集中力F作用处力偶M作用处FQ 图水平线q(x)0,斜直线，斜率0q(x)0,斜直线，斜率0,斜直线，斜率0FQ 0,斜直线，斜率0,抛

16、物线，上凹q(x)0,抛物线，下凹FQ =0,抛物线有极值斜率由突变图形成折线有突变突变量=MvM=3kN.m,q=3kN/m,a=2m解：求A、B处支反力FAY=3.5kN;FBY=14.5KN剪力图：如图，将梁分为三段AC：q=0,FQC= FAYCB：q0,FQB=-8.5kNBD：q0,直线,MC=7KN.MCB：q0,抛物线,FQ=0,MB=6.04BD：q0;MBC|x=3a/4=021289aqA、B支反力：FA=qa/2;FB=5qa/2AB段：q0；斜直线（左上右下）A点：FQA=FA=qa/2；B点：FQB=FA-2qa=-3qa/2D点：FQAB=0；x=a/2BC段：q

17、=0；直线（水平）C点：FQC=F=qa=FQB弯矩图：AB段：q0；抛物线，上凸A点： MC=0，D点： MD= FA a/2 q.a2/8=qa2/8B点： MB=FA.2a-2qa2=-qa2；BC段:q=0 直线（左下右上）MC=0,MB=-F.a=-qa2Dq第一讲v15-1轴向拉压杆件的应力与变形q第二讲v15-2扭转圆轴的应力与应变q第三讲v15-3弯曲梁的正应力q第四讲v15-4弯曲梁的切应力v15-5弯曲梁的变形q15-1轴向拉压杆件的应力与变形v杆件轴向拉压时横截面上的应力v杆件轴向拉压时的轴向变形与变形公式v横向变形与泊松比q平面假设v杆件的横截面在变形后仍保持为平面，且

18、垂直于杆的轴线。1.横截面上各点只产生沿垂直于横截面方向的变形，故横截面上只有正应力。2.两横截面之间的纵向纤维伸长都相等，故横截面上各点的正应变都相等；根据胡克定律，其正应力也相等，即横截面上的正应力均匀分布。v杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公式AFNFN轴力A-横截面面积的正负号与FN相同；即拉伸为正压缩为负v一中段开槽的直杆如图，受轴向力F作用；已知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；试求杆内的最大正应力解：求轴力FN;FN=-F=-20kN=-20 x103N求横截面面积：A1=bh=20 x25=500mm2A2=b(h-h0)=20 x(25-10)=30

19、0mm2求应力由于1-1，2-2截面轴力相同，所以最大应力应该在面积小的2-2截面上=FNA=-20X103300=-66.7MPa （负号表示为压应力）设等截面直杆原长l0，截面面积A0，在轴力F作用下，其长度变为l1，截面面积变为A1；其轴向绝对变形l和轴向（相对变形）线应变分别为：l=l1-l00010lllll直杆横截面上的正应力：AFAFN当应力不超过某一值时，正应力与线应变满足胡克定律：=E由以上可以得到：EAlFlN式中EA称为杆件的抗拉压刚度此式称为拉压变形公式如果等直杆在变形前后的横向尺寸为：b0、b1； 那么其横向绝对变形和横向线应变分别为b和;b=b1-b0= b /b0

20、实验表明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小， 为负 ；杆件轴向压缩时，横向尺寸增大， 为正；可见， 轴向线应变和横向线应变恒为异号实验还表明：对于同一种材料，当应力不超过某一极限时，杆件的横向线应变与轴向线应变之比为一负常数：即：,或,比例系数称为泊松比，是量刚为一的量q一板状试样如图，已知：b=4mm，h=30mm，当施加F=3kN的拉力时，测的试样的轴向线应变=120 x10-6,横向线应变=-38x10-6；试求试样材料的弹性模量E和泊松比解：求试件的轴力FN=F=3kN;横截面面积A=bh=120mm2,横截面上的应力=F/A)(251201033MPaxAFN根据胡克定律=E得：泊松比：

21、316701203810120103866.xx,(GPa)3320812102500101202536.Exx钢制阶梯杆如图所示；已知轴向力F1=50kN，F2=20kN，杆各段长度l1=120mm，l2=l3=100mm，杆AD、DB段的面积A1、A2分别是500和250mm2，钢的弹性模量E=200GPa，试求阶梯杆的轴向总变形和各段线应变。解：画出杆件的轴力图求出个段轴向变形量AC段：CD段：DB段：mmEALFlN3331111036500102001201030mmEALFlN3333331040250102001001020总变形：l=(-36+20+40)x10-3=0.024

22、mm由=L/L得：1= -300 x10-62= 200 x10-63= 400 x10-6mmEALFlN3332221020500102001001020qP269v15-5q一、圆轴扭转时横截面上的应力v切应变、切应力v切应力分布v圆轴的扭转变形计算公式v截面的几何性质q二、圆轴扭转时的变形v应力计算 例15-4q平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍为直线v横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。v横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪应力存在。v各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直推断结论

23、：q横截面上任意一点的切应变与该点到圆心的距离成正比由剪切胡克定律可知： 当切应力不超过某一极限值时，切应力与切应变成正比。即：dxdGGdxddxdR横截面上任意一点的切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，切应力的方向垂直于该点和转动中心的连线q根据以上结论：v扭转变形横截面上的切应力分布如图a)所示扭矩和切应力的关系： TdA如图b)所示：微面积dA上内力对o点的矩为dM=dA整个截面上的微内力矩的合力矩应该等于扭矩即：由推导的结论式TIGdAGdApdxddxd2dxdGG TdA可以得到：或：pGITdxd变形计算公式于是有：PIT扭转变形横截面任意点切应力计算公式外边缘最大切应力计算

24、公式ppWTrITmaxq极惯性矩p扭转截面系数pdAdAIAp22rIWpp4164322.01.044dWdIdpdp434164443212 .0111 .0134DWDIDpDpDd其中d为圆截面直径（d、D为圆环内外径）dxGITdp由扭转变形计算公式可以计算出，两个相距dx的横截面绕轴线的相对角位移，即相对扭转角drad对于相距L的两个横截面间的相对扭转角可以通过积分求得：dxdllGITp0rad对于等截面圆轴，若在长度为l的某两个截面之间的扭矩均为T，那么该两截面的相对扭转角为pIGlTrad单位长度相对扭转角pIGTlrad/m在图示传动机构中，功率从B轮输入，再通过锥齿轮将

25、一半传递给铅垂轴C，另一半传递给水平轴H。若已知输入功率P1=14kW，水平轴E和H的转速n1=n2=120r/min，锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36，z2=12，图中d1=70, d2=50, d3=35.求各轴横截面上的最大切应力.分析：此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。由题意可知，E、H、C轴所传递的功率分别为：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW.E、H轴转速为120r/min,由传动比可计算出C轴的转速为：n3=(z1/z2)n1 =3n1=360r/min再通过公式：nWM95

26、49可以求得各轴所受到的外力矩M1M2M3解：1、求各轴横截面上的扭矩：)(111412014954995491111mNnPMTE 轴：)(5571207954995492222mNnPMTH 轴：)(7.1853607954995493333mNnPMTC 轴：2、求各轴横截面上的最大切应力：)(24.16702 .01011143311maxMPaWTPEE 轴：)(28.22502 .0105573322maxMPaWTPHH 轴：)(66.21352 . 0107 .1853333maxMPaWTPCE 轴：如图所示,已知：M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;AB

27、=200mm;BC=250mm,AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa1、求此轴的最大切应力2、C截面相对于A截面的扭转角CA；3、相对扭转角AB、 BC；解：1、求最大切应力扭矩图如左：TAB=-5kN.m;TBC=-1.8kN.m根据切应力计算公式MPaWTABABAB83.48802 . 010536maxMPaWTBCBCBC72502 . 0108 . 136max2、求C截面相对A截面的扭转角扭转角计算公式：)(1005. 310801 . 0108010200105343933radGILTpABABABBA)(10510501.0108010250108.1343933

28、radGILTPBCBCBCCB)(1005. 810)505. 3(33radCBBACAC截面相对A截面的扭转角为：3、相对扭转角为：)/(100 .210250105)/(10525.1102001005.3233233mradLmradLBCBCCBABBAAB扭转圆轴的切应力计算公式：pIT最大切应力公式pWTmax扭转圆轴的横截面上切应力分布规律相对扭转角dxGITdp单位长度相对扭转角)(mradpGITlpGITl)(180180mpGITlqP269v15-9v15-13q第三讲 弯曲梁正应力v弯曲正应力公式v弯曲梁截面的最大正应力v惯性矩的平行轴定理v平行轴定理应用举例1v

29、平行轴定理应用举例2v弯曲正应力计算 习题15-14p271v作业平面弯曲横力弯曲纯弯曲剪力FQ0弯矩M 0剪力FQ=0弯矩M 0纯弯曲：平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度纯弯曲正应力公式推导：如上图1、2得纵向变形：ydddydxdxbb)(根据胡克定律，可知：yEE由图3得：几何关系物理关系MdAy即zEIdAyEdAyM2对照以上各式，得：yIMz其中：Iz为截面对z轴的惯性矩由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正应力应该在其上下边缘：即|y|的最大值处.maxmaxyIMz引入弯曲截面系数Wz=Iz/ymax，最大正应力公式为：zW

30、Mmax惯性矩计算：A 定义式：dAyIz2B 积分式：AzdAyI2矩形截面Iz的计算： 如图12)(32222bhbdyydAyIAzhh622maxbhIyIWhzzz由惯性矩的定义式可知：组合截面对某轴的惯性矩，等于其组成部分对同一轴惯性矩的代数和即：Iz=Iz1+Iz2+Izn=Izi设某截面形心在某坐标系的坐标为(a,b),如图，则其对坐标轴的惯性矩为：AbIIzcz2对于z轴的惯性矩：AaIIycy2对于y轴的惯性矩：工字形截面梁尺寸如图，求截面对z轴的惯性矩。解：可以认为该截面是由三个矩形截面构成，所以：Iz=Iz1+Iz2+Iz3（-）（+）（+）)(102433109129

31、040124443331mmbhIz)(1067.1703108128040124443332mmbhIz)(1053.8610812802124433333mmbhIz123Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104 (mm4)平行轴定理应用举例2求图示截面对z轴的惯性矩解： 截面可分解成如图组合，A1=300 x30=9000mm2A2=50 x270=13500mm2 yc1=-75-15=-90mmyc2=135-75=60mmA1、A2两截面对其型心轴的惯性矩为：I1cz=300 x303/12=0.675x106mm4I2cz=50

32、 x2703/12=82.0125x106mm4 由平行轴定理得：I1z= I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4I2z= I2cz+yc22A2= 82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4 Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4,A1A2p271已知：A=40MPa(拉),y1=10mm; y2=8mm; y3=30mm求：1) B, D ；2) max(拉）解：A=40MPa(拉),y1=10mm; 由公式： AzAyIMAAzyIM由于A点应力为正，因此该梁上半部分

33、受拉，应力为正，下半部分受压，应力为负，因此有： maxmaxyyyyIMDDBBAAz32MPa40108yyAABBMPa120-401030yyAADD最大拉应力在上半部边缘MPa60401015yyAAmaxmaxqP269v15-15q15-4 弯曲梁的切应力q15-5 弯曲梁的变形q横力弯曲时，梁的横截面上切应力分布。q横力弯曲时，梁的横截面上切应力计算公式如图所示，已知6120柴油机活塞销的外径D=45mm，内径d=28mm，活塞销上的载荷作用尺寸a=34mm，b=39mm，连杆作用力F=88.4kN。求活塞销的最大正应力和最大切应力。解：活塞销所受的载荷简化为均布载荷，其均布集

34、度为mkNbFq3311027.210394 .88mkNaFq3321030. 1103424 .88剪力图如例15-11 b）FQmax=44.2kN弯矩图如例15-11 c)Mmax=1.18kN.m363445283431075. 76 .7746)(1451 . 0)(11 . 0mmmDWDdz已知活塞销截面为薄壁圆环，那么：2222268.9744/ )2845(4/ )(mmdDA活塞销的最大正应力为弯矩最大处，即销子中心点：MPaWMz32.1526 .77461018.16maxmax由切应力近似计算公式可以得出，活塞销的最大切应力为：MPaAF7 .9068.974102

35、 .44223maxmaxq梁弯曲变形的概念挠度-梁的横截面形心在垂直雨量轴线方向的位移称为挠度，用w表示。正负规定：图示坐标中上正下负转角-梁的横截面相对于变形前后初始位置转过的角度，用表示。正负规定：逆时针为正，反之为负挠曲线-梁在弹性范围弯曲变形后，其轴线变成一条光滑连续曲线，称为挠曲线，其表示式为转角与挠度w的关系如图所示：tan =dw(x)/dx=w即：横截面的转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率w=w(x)q积分法求梁的变形挠曲线公式简单推导zEIxMx)()(1由前可知：而在数学中有：232) (1 )(1wwx略去高阶无穷小，得到：zEIxMw)( 挠曲线近似微分方程积分后：C

36、dxEIxMdxxdwz)()( DxCdxEIxMwz)(式中的积分常数C、D由梁的边界条件和连续条件确定习题15-20，q=8kN/m，l=2m，E=210GPa，求max，wmax；解：求A,B支座反力FA=FB=ql/2=8kN写出梁的弯矩方程（如图b)：M(x)=FAx-qx2/2=(qlx/2)-qx2/2EIzw=M(x)=q(l-x)x/2-(1)CqxqlxwEIz6/4/32积分后得到:DCxqxqlxwEIz24/12/43CONTINUE)(1065. 71016601021024210824489333maxradEIqlz)(1078. 41662138464010

37、166010210384210853845489434maxmEIqlwzFINE边界条件：x=0, w=0；D=0； x=l , w=0；C=-ql3/24由（1）可知： max 为 M(x)=0的点；即 x=0 和 x=l 处（A,B端点）max=Amax=Bmax=C/(EIzz)=(ql3)/(24EIzz)w=qx(l3+x32lx2)/(24EIz)；w=0；x=l/2；w x=l=5ql4/(384EIz)q叠加法求梁的变形v叠加法l当梁受多个载荷作用时，梁的变形是每个独立载荷作用时变形的叠加。v理论基础l（略）参见教材P261v常见简单载荷作用下梁的变形l教材P261。q用叠加

38、法求图示梁B截面的转角和C截面的挠度zbzBbEIMlwEIMll16;322zczBcEIFlwEIFll48;16322叠加结果为)316(48FlMEIlzBcBbB)3(482FlMEIlwwwzCcCbC查表qP272v习题15-21q16-1材料拉压时的力学性能q16-2轴向拉压时斜截面上的应力q低碳钢拉伸时的力学性能v试件v仪器l压力实验机l游标卡尺q应力应变曲线v比例极限pv弹性极限ev屈服极限sv抗拉强度b滑移线颈缩q伸长率q断面收缩率v塑性材料： 5% v脆性材料：5%100001LLLq铸铁拉伸v铸铁等脆性材料在拉伸时，变形很小，应力应变曲线图没有明显的直线部分，通常近似

39、认为符合胡克定律。其抗拉强度b是衡量自身强度的唯一指标。%100001AAA时衡量材料塑性的一个重要指标q低碳钢压缩q铸铁压缩q对于没有明显屈服阶段的塑性材料，在工程上常以卸载后产生0.2%的残余应变的应力作为屈服应力，称为名义屈服极限，用P0.2来表示q冷作硬化v对于这种对材料预加塑性变形，而使其比例极限或弹性极限提高，塑性变形减小的现象称之为冷作硬化。q轴向拉压横截面正应力计算公式v=F/Aq对于和横截面有夹角的斜截面，其面积之间有关系式A=Acos如图2：p=F/ A=cosq将p向斜截面法向和切向分解，可得到：=pcos=psin如图3所示图1图2图3q即斜截面上应力公式为：)2cos

40、1 (2cos2正应力公式为：2sin2sincos切应力公式为：q由以上公式可以看出：v在横截面上，即=00 时=max=；=0对于如铸铁这种脆性材料，其抗拉能力比抗剪能力差，故而先被拉断对于低碳钢这种塑性材料，其抗拉能力比抗剪能力强，故而先被剪断；而铸铁压缩时，也是剪断破坏。v当=450 时：=/2；=max=/2q单元体v围绕某研究点所截取的一个微小六面体，其三个对应面上的应力情况，就是该点在空间的应力情况。v主平面l切应力等于零的平面v主应力l主平面上对应力的正应力； 1 2 3;q应力状态v单向应力状态l三个主平面上只有一对主应力不等于零。v二向应力状态v三向应力状态q胡克定律v当正

41、应力不超过某一极限值时： =E; = -；q广义胡克定律v设三向应力状态下主应力1方向的伸长应变1；主应力2 、3引起1方向的应变为1 、1，结合上式并利用叠加原理则有： 1=1- (2 +3)/E；即：)(1);(1)(1213313223211EEE；这就是广义胡克定律q如图为二向应力状态：考虑平衡可得到：2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyxq强度理论v就是关于材料在不同的应力状态下失效的假设q第一强度理论（最大拉应力理论）v只要有一个主应力的值达到单向拉伸时 b，材料就发生屈服；即： 1 b；引入安全系数后，其强度设计准则（强度条件）为： r1 1，v式中： r1称为第

42、一强度理论的相当应力； 为单向拉伸时的许用应力v实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或三向受压等没有拉应力的情况则不适合。q第二强度理论（最大伸长线应变理论）v这一理论认为，最大伸长线应变1达到单向拉伸的极限值1jx ，材料就发生脆性断裂；即： 1=1jx ；或： 1-（ 2 + 3 ）/E = b/E；v引入安全系数：其强度设计准则为： r2= 1-（ 2 + 3 ） 式中： r2 为第二强度理论的相当应力。v实验证明，该强度理论较好地解释了石料、混凝土等脆性材料受轴向拉伸时，沿横截面发生断裂的现象。但是，其实验结果只和很少材

43、料吻合，因此已经很少使用。q第三强度理论（最大切应力理论）v材料无论处在什么应力状态下，只要最大切应力max达到了单向拉伸时切应力屈服极限s (= s /2)；材料就出现屈服破坏，即： max (13)/2;s=s/2其强度设计准则为： r3 =1 3式中： r3 称为按第三强度理论计算的相当应力v实验证明，这一理论可以较好的解释塑性材料出现塑性变形的现象。但是，由于没有考虑2的影响，故按这一理论设计构件偏于安全。q第四强度理论（形状改变比能理论）v这一理论认为，形状改变比能Ux是引起材料发生屈服破坏的原因。也就是说，材料无论处在什么应力状态下，只要形状改变比能Ux达到材料在单向拉伸屈服时的形

44、状改变比能Uxs，材料就发生屈服破坏。即：(p291)Ux=Uxs其强度条件为：式中： r4是按第四强度理论计算的相当应力。v实验证明，第四强度理论比第三强度理论更符合实验结果，因此在工程中得到广泛的应用。 2132322214)()()(21rq在三向拉伸应力状态，无论是脆性材料还是塑性材料，都会发生断裂，应采用最大拉应力理论，即第一强度理论。q在三向压缩应力状态，无论是脆性材料还是塑性材料，都会屈服破坏裂，适于采用形状改变比能理论或最大切应力理论，即第四或第三强度理论。q一般而言，对脆性材料宜采用第一、第二强度理论。q一般而言，对塑性材料宜采用第三、第四强度理论。q17-1杆件的强度设计准

45、则v强度失效判断l当构件承受的载荷达到一定的大小时，其材料就会在应力状态最危险的一点处发生强度失效。其表现形式如：铸铁拉伸和扭转时的突然断裂、低碳钢拉伸、压缩、扭转时产生的较大的塑性变形等。l建立材料的失效判据，是通过对材料的有限试验完成的。如低碳钢材料在拉伸和压缩时，以出现显著塑性变形的屈服极限s或以出现断裂的抗拉强度 b作为材料的失效判据；而铸铁材料在拉伸和压缩时，以出现破坏的抗拉强度 b作为材料的失效判据。v许用应力l在工程实际中，为了保证受力构件的安全，用大于1的系数除以失效极限应力，做为构件工作应力的极限值，成为许用应力，记做： bbssnn；或 bbn l对于塑性材料：l对于脆性材

46、料： bbssnn；或l对于扭转时强度失效判断则有：其中ns、nb称为塑性材料和脆性材料的安全系数v杆件的强度设计l危险截面：可能最先出现强度失效的截面称为危险截面。l危险点：可能最先出现强度失效的点称为危险点。l强度设计的计算内容： 校核强度 选择截面尺寸 确定许可载荷q拉压杆的强度设计准则为v拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的，而且各点均为单向应力状态，根据材料的失效判据，拉压杆的强度设计准则为：)(maxmaxAFN式中vmax为拉压杆横截面上的最大工作应力v为材料的许用应力1.对于塑性材料= s/ns2.对于脆性材料拉= b拉/nb; 压= b压/nb；q对于等截面杆，其强度准则可以写

47、成maxmaxAFN1、强度校核max2、选择截面尺寸maxNFA 3、确定许可载荷max AFN某铣床工作台的近给液压缸如图示，缸内工作压力p=2MPa，液压缸内径D=75mm，活塞杆直径d=18mm，已知活塞杆材料的许用应力=50MPa，试校核活塞杆的强度。解：求活塞杆的轴力：NdDpApFN3221033.8)(4横截面上的应力为：7.32181033.8243MPaAFN活塞杆强度足够注：在工程中，允许工作应力大于许用应力但不可超出5。习题173，已知：h=2b，F=40kN，=100MPa；试设计拉杆截面尺寸h、b。解：求出拉杆的轴力FN;FN=F=40kN拉杆的工作应力 FN/A根

48、据强度准则，有 , 即 AFN/；而A=hb=2b2 所以：2b2 40103/100=400mm2求得：b 14.14mm；h=2b=28.28mm考虑安全，可以取 b=15mm，h=30mm结束如左图，已知：木杆面积A1=104mm2， 1=7MPa钢杆面积A2=600mm2，2=160MPa,确定许用载荷G。解：1、求各杆的轴力如图b)列平衡方程，得Fx=0 FN1FN2cos300=0Fy=0 FN2sin300G=0求解上式，得：FN1= 1.73G, FN2=2G2、用木杆确定G由强度准则： 1 =FN1/A1 1 得：G 1 A1 /1.73=40.4kN3、校核钢杆强度即： 2

49、 =FN2/A2= 2G/A2=80.8103/600 =134.67MPa2 强度足够，故许可载荷G=40.4kN结束q梁在弯曲变形时，其截面上既有正应力也有切应力，故有：)(maxmaxzWM和max对于等截面梁，可以写成：maxmaxzWM对于脆性梁，其抗拉、抗压性能不等时，应分别予以设计。maxmaxzIyMmaxmaxzIyM通常在设计计算时，先以弯曲正应力强度准则设计出截面尺寸，然后按照弯曲切应力强度准则进行校核。q弯曲正应力图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力30MPa，许用压应力60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性矩Iz763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。

50、分析：1、画出梁的弯矩图（确定最大弯矩及其所在截面）2、求出梁的最大拉应力和最大压应力值3、校核强度解：1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN，画出弯矩图如 b)，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即：C点为上压下拉，而B点为上拉下压FAFB2、求出B截面最大应力最大拉应力（上边缘）：最大压应力（下边缘）：27.26MPa1076352104461zBBIyMMPa13.641076388104462zBBIyM3、求出C截面最大应力最大拉应力（下边缘）：最大压应力（上边缘）：MPa83.821076388105 .2462zCCIyMMPa04.171076352105.24

51、61zCCIyM由计算可见：最大拉应力在C点且Cmax=28.83MPa=30MPa最大压应力在B点且Bmax=46.13MPa60MPa故梁强度足够简支梁AB如图所示，已知：=160MPa，=100MPa，a=0.2m，l=2m，F=200kN，试选择工字钢型号。FAFB解：1、计算梁的约束力FA、FB;由于机构对称，所以FA=FB=210kN2、画出梁的剪力图可以看出FQmax=FA=FB=210kN3、画出梁的弯矩图，其最大弯矩在梁的中点，计算得：Mmax=45kN.m4、应用梁的弯曲正应力准则选择截面尺寸：max(Mmax/Wz)变形可以得出：336625.2811028125.016

52、01045cmmmMWz查附录C选取22a工字钢，其Wz=309cm3;h=220mm;d=7.5mm；t=12.3mm。校核梁的切应力强度：工字钢腹部切应力最大，对应面积A1=(h-2t)d；则有：100MPa143.3MPa5.7)3.122220(1021031maxmaxAFQ由于切应力大出其许用应力很多，故再选大一号，选22b并校核其切应力强度。相应尺寸：h=250,d=10,t=13,那么：100MPa93.75MPa10)132250(1021031maxmaxAFQ切应力强度足够，故选22b号工字钢fineq如图所示为一台钻床，分析其立柱上截面m-m的内力。截面法：将立柱假想从

53、m-m处截开；分析可知，截面m-m上有内力：FN轴力和 M弯矩称此变形为拉（压）弯组合变形。拉弯组合变形强度计算对于如上所述的组合变形，通常其强度计算采用叠加原理。即横截面上任意一点的正应力为：zNIyMAFmax弯拉注意：塑性材料脆性材料q上钻床的钻削力F=15kN，偏心距e=0.4m，立柱为铸铁材料，其直径d=125mm，许用拉应力35MPa，许用压应力120MPa，试校核立柱强度解：2.最大拉应力：3.最大压应力：求立柱m-m截面的轴力FN和弯矩M：FN=F=15kN；M=F.e=150.46kN.m则有：30.72MPa1251 .01061.22MPa125101536max243z

54、NWMAF弯拉MPaMPa3594.3122. 172.30max拉弯MPaMPa1205 .2922. 172.30max拉弯立柱强度足够钢板如图所示，试校核强度（不考虑应力集中影响）已知：F80kN,b=80,t=10,=10,=140MPa解：如图b)；FNF=80kN,eb/2(b-t)/2=80/2(80-10)/2=5M=FNe=400kN.mmFN引起的应力114.3MPa)1080(101080)(3tbFAFNFM引起的应力48.98MPa6)1080(10510806)(232tbeFWMzM因此，最大拉应力为（上缺口最低点）：MPaMPaMF1403 .16398.483

55、 .114max下边缘应力为：)(3 .6598.483 .114max拉应力MPaMF讨论：显然，钢板的强度不够；引起应力增大的原因是偏心距造成的。因此，解决此类问题就是消除偏心距，如左：正应力分布图如下：MPaMPatbFAFN1403 .133)10280(101080)2(3maxq纯扭圆轴横截面切应力分布q圆轴扭转的强度设计准则q等截面圆轴扭转的强度设计准则maxmaxPWTmaxmaxPWT为许可切应力；通常，对于塑性材料 （0.50.6) ；对于脆性材料： （0.81.0) q某传动轴所传递的功率P=80kW，其转速n=580prm，直径d=55mm，材料的许可切应力=50MPa

56、，试校核轴的强度。解：传动轴的外力偶矩为：1317.1N.m5808095499549nPM工作切应力的最大值：50MPa39.58MPa552 . 0101 .13172 . 0333maxdMWpT强度足够！q汽车传动轴由45无缝钢管制成。已知：=60MPa，若钢管的外径D90mm，管壁厚t=2.5mm，轴所传动的最大扭矩M=1.5kN.m.试：1、校核传动轴的强度；2、与同性能实心轴的重量比。解：1、校核强度)(12.0105.1)1(2.0423643maxDtDPDDMWT带入数据后得：max50.33MPa60MPa;强度足够2、设计实心轴直径D1（两轴的最大工作切应力相等)mmT

57、DDTWTP03.533 .502 . 0105 . 12 . 02 . 0363max3max；即3、两轴重量比21. 3859053222222121dDDLALAGG空心轴实心轴传动机构传动轴如图17-13e为轴CE段横截面的应力分布；边缘上a点为截面的危险点，a点的应力状态为二向应力状态，如图f）q强度公式推导：v由应力公式（参考教材P287 ）22minmax)2(2xyxyx得：2231421q第三强度理论：vr3 =1-3 得： 2234rq第四强度理论：v. 2132322214)()()(21r得： 2243r通常考虑到：;2;WzWpWTWMpZ则：75.0224223Wz

58、TMWzTMrr其中：222275. 0TMTM和称为应用第三和第四强度理论进行强度计算时所对应的相当弯矩应用第三强度理论时：应用第四强度理论时：注意：q传动轴为塑性材料q传动轴为中心对称的圆轴图示为圆轴AB，在轴的右端联轴器上作用有一力偶M。已知：D=0.5m，F1=2F2=8kN, d=90mm, a=500mm,50MPa，试按第四强度理论设计准则校核圆轴的强度。解：简化机构如图b)，计算相应值：M1=(F1-F2)D/2=1kN.m分别画出轴的扭矩图和弯矩图c),d)可以看出C截面为危险界面。由第四强度准则，；强度足够！MPaMPaWzTMr5083.42901 . 0)101 (75

59、. 0)103(75. 032626224；强度足够！MPaMPaWzTMr5043.4901 . 0)101 ()103(32626223已知：F1=5kN,F2=2kN,a=200,b=60,d0=100,D=160,=200;=80MPa;按第三强度理论设计轴的直径。解：1、画出受力图如b)2、空间力系投影法 xy面：如 c),画出弯矩图如d)求得：MCz=35N.mMBz=420N.mxz面：如图e),画出弯矩图如f)求得：MCy=480N.m3、扭矩图如图h)T=240N.m4、危险点为C点：mNTTmNMMMCCZCYC.240.3 .4813548022225、设计轴径：由第三理

60、论得：)(1023.67801 . 0)10240()103 .481(1 . 0332323223mmTMdCC所以：42mmd;7 .401023.6733取：mmdq轴向拉伸杆件：lEAlFlN式中：l为轴向拉伸的许可伸长量或缩短量q平面弯曲梁：maxmax式中：为许用挠度；为许用转角。q扭转变形圆轴：)(180)(maxmaxmaxmaxmPmradPGITGIT。；或式中：max为许用扭转角。q飞机系统中的钢拉索，其长度为l=3m，承受拉力F=24kN，弹性模量E=200GPa，需用应力=120MPa，要求钢拉索在弹性范围内的许用伸长量l=2mm，试求其横截面面积至少应该为多少？解：