材料力学-弯曲内力.

1、第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4.1 平面弯曲平面弯曲4.2 剪力与弯矩剪力与弯矩4.3 剪力方程剪力方程 弯矩方程弯矩方程 剪力图剪力图 弯矩图弯矩图4.4 剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系4.5 刚架的弯曲内力刚架的弯曲内力4.1 一、工程实例一、工程实例1 1、受力特点、受力特点 横向外力作用在与杆件的纵向对称面（形心主横向外力作用在与杆件的纵向对称面（形心主惯性平面）内。惯性平面）内。2 2、变形特点、变形特点 杆件的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，杆件的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，变形后的梁轴线与力的作用线在同一平面内，故这类弯曲变形后

2、的梁轴线与力的作用线在同一平面内，故这类弯曲叫叫平面弯曲平面弯曲。二、基本概念二、基本概念对称轴对称轴轴线轴线纵向对称面纵向对称面以弯曲为主要变形形式的杆件称为以弯曲为主要变形形式的杆件称为梁梁。lABF试问各梁是否产生平面弯曲？试问各梁是否产生平面弯曲？2 2、可活动的铰支座、可活动的铰支座1 1、固定铰支座、固定铰支座3、固定端、固定端三、支座分类三、支座分类限制沿支承面水平和限制沿支承面水平和垂直方向的移动垂直方向的移动。限制杆件沿垂直于支承面限制杆件沿垂直于支承面方向的移动。方向的移动。 限制杆件沿支承限制杆件沿支承面水平和垂直方向面水平和垂直方向的移动和绕固定端的移动和绕固定端点的转

3、动。点的转动。四、载荷分类四、载荷分类1 1、集中载荷、集中载荷载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。2 2、分布载荷、分布载荷沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用q q表示单位长表示单位长 度上的载荷度上的载荷, ,称为载荷集度称为载荷集度. . 如风力如风力, ,静水压力静水压力, ,重力重力. .3 3、集中力偶、集中力偶M（Nm）, ,一般由力系简化可得，如圆锥齿轮。一般由力系简化可得，如圆锥齿轮。特例：均布载荷，线性分布载荷，如水对坝的压力特例：均布载荷，线性分布载荷，如水对坝的压力轴线：杆件横截面形心的连线。轴线：杆件横

4、截面形心的连线。用轴线代替实际杆件用轴线代替实际杆件FF五、梁的计算简图五、梁的计算简图 静定平衡梁的支反力数目与平衡方程式的数目相同静定平衡梁的支反力数目与平衡方程式的数目相同则为静定梁则为静定梁. .1 1、简支梁、简支梁 一端为固定铰支座一端为活动铰支座。一端为固定铰支座一端为活动铰支座。2 2、外伸梁、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。一端或两端向外伸出的简支梁。注：注：组合梁组合梁，由上述三种简单静定梁彼此铰接而成。，由上述三种简单静定梁彼此铰接而成。3 3、悬臂梁、悬臂梁 一端固定支座一端自由。一端固定支座一端自由。六、静定梁的基本形式六、静定梁的基本形式注注: : 弯矩和扭矩的

5、比较弯矩和扭矩的比较共同点共同点: :力偶矩力偶矩不同点不同点: :作用面和所绕的轴不同作用面和所绕的轴不同; ;作用不同作用不同, ,抵抗扭转还是弯曲抵抗扭转还是弯曲. .一、梁的内力的引入一、梁的内力的引入F例：悬臂梁截面内的内力例：悬臂梁截面内的内力FFs (x) 剪力剪力Fs( (x): ): 抵抗剪切作用的内抵抗剪切作用的内力力, , 是与横截面相切的分布内力系是与横截面相切的分布内力系的合力的合力. . 弯矩弯矩M( (x): ): 抵抗弯曲作用的矩抵抗弯曲作用的矩, , 是与横截面垂直的分布内力系的合是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩力偶矩.M(x)4.2 F1F2F3ABa步

6、骤：步骤：FAyFByx , 0yFAySFFF10SAyFFF1 , 0OM()AyF xF xaM10()AyMF xF xa1xyF1Am mxFAyaxF2F3m mFBm mx二、梁的内力计算二、梁的内力计算Fs MFs M1.剪力：剪力：2.弯矩：弯矩：左上右下为正左上右下为正左顺右逆左顺右逆 (上凹下凸上凹下凸) 为正为正+m mF1AFAyxF2F3m mFB+Fs MFs MFAFBSF1M1FAFFAFm1m2S2FM2m1m2FBS1FM1取左段梁取左段梁-50SAFFFN1取右段梁取右段梁-50SBFFN 1-50SABFFFFN 21yF 0ASFFF10yF 0BS

7、FF1012=100 N,= 20 N m, =10 N m=100 mm, =150 mm, = 50mmFmmaxx12Bm11122x2aFm2Ax1aaa50ABFFN取左段梁取左段梁() = 2.5AMF xF xaN m111取右段梁取右段梁()=2.5BMmmFa xN m11214OM0()AF xF xaM1110OM0()BMmmFa x112140()()=2.5AB 2MFa xFa xmmF xN m2221243FAFBSF1M1FAFFAFm1m2S2FM2m1m2FBS1FM11122x2aFm2Ax1aaam1B注注: :当取截面较多时，可以当取截面较多时，可

8、以“总结规律，加以提炼总结规律，加以提炼”。从 = -F知：FS 在数值上等于一侧外力的代数和。由M1 = x-F(x-a)知: M在数值上等于一侧外力对该截面形心力矩的代数和. 关键在于确定外力符号。 横截面上的剪力横截面上的剪力= =此截面左侧（或右侧）梁上所有外力的代数和此截面左侧（或右侧）梁上所有外力的代数和. .左侧梁：向上的外力取正值，向下取负值左侧梁：向上的外力取正值，向下取负值右侧梁：向下的外力取正值，向上取负值右侧梁：向下的外力取正值，向上取负值横截面上的弯矩横截面上的弯矩= =此截面左侧（或右侧）梁上所有外力对此截面左侧（或右侧）梁上所有外力对 该截面形心的力矩的代数和该截

9、面形心的力矩的代数和左侧梁：外力对左侧梁：外力对 截面形心的力矩顺时针取正值截面形心的力矩顺时针取正值右侧梁：外力对右侧梁：外力对 截面形心的力矩逆时针取正值截面形心的力矩逆时针取正值 SF1M1FAF外力对剪力的影响：左上右下外力对剪力的影响：左上右下为正为正力偶对弯矩的影响：左顺右逆力偶对弯矩的影响：左顺右逆为正为正外力对弯矩的影响：只要向上的外力便产生外力对弯矩的影响：只要向上的外力便产生正正的弯矩。的弯矩。外力、外力偶对弯曲内力符号的影响外力、外力偶对弯曲内力符号的影响FSM左左侧侧右右侧侧+-RBRD11223344 , 0BMqaRD45 , 0yFqaRB41qaFS1qaFS2

10、BR)41(qaqaqa45BSRqaF3qa45BSRqaF4DRqa45aqaM211221qaaqaM2120BR221qaaqaM233aRBaqaqa)41(232247qaaRDmM322453qaqa 247qaaRMD4aqa45245qam=3qa2ADBCqaaa4.3 )(xFFSS)(xMM 表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。要将剪力图和弯矩图画在梁受力图的正下方，而不要画在要将剪力图和弯矩图画在梁受力图的正下方，而不要画在其它地方。这样就可以很方便地了解梁中内力的变化规律，其它地方。这样就可以很方便地了解梁中内力的变化

11、规律，以及得到梁中任意截面上的剪力和弯矩值。以及得到梁中任意截面上的剪力和弯矩值。有集中载荷（力和力偶）或外力不连续处，则要分段。有集中载荷（力和力偶）或外力不连续处，则要分段。作图时请注意：作图时请注意：xy 已知已知:P 、l求：梁的剪力图和弯矩图。求：梁的剪力图和弯矩图。1.剪力方程和弯矩方程：剪力方程和弯矩方程：PxFS)(0MlABPSFxMxPl)0(lx PxxM)()0(lx PPlMFS(x)为一常量为一常量2.绘出剪力图和弯矩图绘出剪力图和弯矩图xx 0时xl 时PFSmaxPlMmaxxy1.先求约束反力：先求约束反力：2qlFFBAlABq 已知已知:q 、l 求：梁的

12、求：梁的FS图和图和M图。图。x2.列剪力方程和弯矩方程：列剪力方程和弯矩方程：( )SAqlF xFqxqx2)0(lx ( )AxqlxqxM xFxqx 2222)0(lx SFxMx3.画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图2| )(0qlxFxS2| )(qlxFlxS0| )(0 xxM0| )(lxxM222)(xqqlxdxddxxdMqxql20时时 求得求得2lx ( )|lxqlM x228maxMql2ql2ql28l /2BFAF+xy画出图示梁的画出图示梁的FS 图和图和M图。图。1.列剪力方程和弯矩方程：列剪力方程和弯矩方程：SFxMxqlql22qxxFS)(2)(xqx

13、xMlx 0221qxlx 02.画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图0|0 xSFqlFlxS|0|0 xM221|qlMlxqlFSmax22maxqlMqxlABxyBFAFABPlbCa（1）先求出约束反力：）先求出约束反力：lPbFAlPaFBSFx（2）剪力方程和弯矩方程：）剪力方程和弯矩方程：1( )SAPbFxFl)0(ax 1( )APbxMxF xl)0(ax（3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图CB段：段：2( )SABPaFxFPFl )(lxa2( )()()()ABPaM xF xP xaF lxlxl)(lxaMxxx画出图示梁的画出图示梁的FS 图和图和M图。图。AC

14、段：段：PblPalPabllPbFSmaxlPabMmax+SFxxxABMlbCalMFAlMFB1( )SAMFxFl)0(ax 1( )AMxM xF xl)0(ax 2( )SAMFxFl)(lxa2( )AMMxF xMxMl)(lxaMx画出图示梁的画出图示梁的FS 图和图和M图。图。（1）先求出约束反力：）先求出约束反力：（2）剪力方程和弯矩方程：）剪力方程和弯矩方程：AC段：段：CB段：段：（3）画出剪力、弯矩图）画出剪力、弯矩图0|0 xMlmaMax|lmbMax|0|lxMMlMallMbBFAF+lABqSFxMxql2ql2ql28l /2lABPSFxMxPlPA

15、BPlbCaMxPblPalPablSFxSFxMxqlql22qlABABMlbCaMxMlMalSFx结论：结论： 凡是集中力（包括支反力）作凡是集中力（包括支反力）作用处，剪力图有突变，突变值即为用处，剪力图有突变，突变值即为该处集中力的大小；该处集中力的大小； 在集中力偶作用处，弯矩图有在集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变值即为该处集中力偶矩突变，突变值即为该处集中力偶矩的大小；的大小； 剪力图为剪力图为0次曲线时，弯矩图次曲线时，弯矩图为为1次曲线；剪力图为次曲线；剪力图为1次时，弯次时，弯矩图为矩图为2次曲线；次曲线；SFxxyABCPq3m1m（1）求约束反力；）求约束反力；FA

16、FBkNAF 2kNBF 7（2）列剪力和弯矩方程；）列剪力和弯矩方程；x( )SAF xFqxx2230 x1( )2AM xF xqxx22xx30 xPxFS)(xkN343 x)4()(xPxM)4(3x43 x（3）作剪力和弯矩图；）作剪力和弯矩图；kN2kN4kN3mkN3xdxxdM22)(0时时 当当 m1xmkN1|m1xM1mmkN1Mx1( )( )( )( )( )02SF x dxM xq x dxdxM xdM x4.4 载荷集度、载荷集度、00yF0)()()()(xdFxFdxxqxFSSS)()(xqdxxdFS0CM)()(xFdxxdMS)()()(22x

17、qdxxdFdxxMdS( )SF x( )( )SSF xdF x（1）FS图上各点的斜率等于梁上对图上各点的斜率等于梁上对应位置处的分布载荷集度应位置处的分布载荷集度（2）M图上各点的斜率等于梁上对图上各点的斜率等于梁上对应截面上的剪力应截面上的剪力（3）由）由q的正负判断的正负判断M图的凹凸性。图的凹凸性。)()(xqdxxdFS)()(xFdxxdMS)()()(22xqdxxdFdxxMdS1、当、当 q=0 时时FS=常量常量0时，M图0（M图图M图图图图当当q0（图图( )SdF xdx0( )SdMF xdxSdMFdx 03、若梁的某一截面上、若梁的某一截面上 即：即：弯矩的

18、极值发生在剪力为零的截面上弯矩的极值发生在剪力为零的截面上。记忆：记忆：弯矩图的开口方向与弯矩图的开口方向与q(x)指向一致指向一致。 从左向右画：从左向右画： PFFS左S左S右S右从左向右画：从左向右画： （1）先求约束反力；）先求约束反力；FAFB. kNAF 3 5. kNBF 14 5（2）从左到右作剪力图；）从左到右作剪力图；AC段：段：0AMmkN7左CMCB段：段：kN5 . 8SB左SB左F8.5kNBD段：段：0左左SDSDF6kNA点点AF图向上图向上ABCD3kN/m3kNm2m4m2mSFxB点点BF图向上图向上（3）从左到右作弯矩图；）从左到右作弯矩图；AC段：段：

19、7kNmMxm6130AMmkN7左CM（3）从左到右作弯矩图；）从左到右作弯矩图；AC段：段：C点点mM图向下图向下mkN43C左C左C右C右MMCB段：段：6kNm6.04kNm633 4 26BAMFkN m 由由图确定图确定=0的截面位置：的截面位置：xm136BD段：段：0DMD点为顶点点为顶点7kNmMx4kNmFAFB8.5kN6kNABCD3kN/m3kNm2m4m2mSFxABCDaaaqm1.先求约束反力：先求约束反力：FAFBkNAF 35kNBF 150kN2kN15mkN10mkN5mkN15从左到右作剪力图；从左到右作剪力图；从左到右作弯矩图从左到右作弯矩图MSFxMxFqa114Fqa274qa14qa74241qa245qa223qaa4123249qaSFxMxF1F2ABMqa2Caaaa2Pqaq1.求约束反力；求约束反力；AFBFDFD12AFqa= -qaFB25=qaFD=2.绘制剪力图绘制剪力图SFxqa21qa23qaqa3.绘制弯矩图绘制弯矩图MxqaFS23=max2qa2max2= qaM221qa22qa221qammFSxxMmFSxm/axMmm4.5 ABC2aaq 连结点连结点C C